精品解析：江苏省泰州中学附属初级中学2026年春学期期末学情调查八年级数学试题

2026年春学期期末学情调查八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项正确，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把分式中的和的值同时扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 缩小为原来的 3. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生做调查，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是50名 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 该校八年级每名学生每周课外阅读时间是个体 D. 该校300名八年级学生是总体 4. 下列事件中，是随机事件的是（） A. 购买一张电影票，座位号是奇数 B. 在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化 C. 367人中至少有两人的生日相同 D. 太阳从西边落山 5. 已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三象限 B. 图象经过点 C. 图象关于轴对称 D. 随的增大而增大 6. 如图，在中，、、分别是各边的中点，是高，、交于点，若已经知道与度数的和，则可以求出下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共18分） 7. 在实数范围内，有意义，则x的取值范围是________ 8. 计算：_____． 9. 将一个样本的40个数据分成5个组，其中第组数据的频数分别是6、4、8、10，则第5组的频率为________． 10. 在实数范围内分解因式：__________． 11. 某种油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 301 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________．（精确到） 12. 若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 13. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 14. 将邻边长分别为2，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无剩余纸片）．有下列数：①；②2；③；④；⑤．其中，可以作为一个等腰三角形的腰长的是________（填序号）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是________． 16. 如图，矩形中，，，点E为上一个动点，以为边在直线的右侧作正方形，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程： ①； ②． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 20. 【项目背景】某校为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，开展了“科创筑梦新时代，强国有我启新程”为主题的科技嘉年华活动．其中编程设计比赛最能显示同学们的科技素养，为了了解同学们编程水平，数学小组对这次编程设计比赛成绩进行调查． 【数据收集与整理】随机抽取全校部分学生的编程设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 【数据处理和应用】 （1）任务1：本次共抽取了________名学生的编程设计成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为________； （2）任务2：请补全频数分布直方图； （3）任务3：请估计全校2000名学生的编程设计成绩不低于80分的人数； 21. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 22. 人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度 40 45 50 70 80 100 视野角度（度） 100 89 80 57 50 40 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． （2）【数学表达】请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度之间关系的函数表达式． （3）【问题解决】在相同测试条件下，若某高速最高限速为，那么驾驶员的视野角度在什么范围？ 23. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲、乙两组同学进行采摘．已知甲组每分钟采摘量是乙组的倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜． （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加．若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 24. 规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． （1）下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． （2）若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； （3）若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 25. 综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． （1）【操作探究】如图1，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转到矩形的位置，当经过点时，连接，线段的长度为________________； （2）【问题解决】如图2，将绕点旋转得，点与点对应且恰好落在边上（点与不重合）． ①求证：； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展提升】如图3，在中，，，，将绕着中点旋转到的位置时，的边与原的边或边相交于点，则的长为________________． 26. 如图，在四边形中，，，的横坐标为，其中．一次函数与反比例函数的图象经过、两点，一次函数经过点、． （1）若四边形为平行四边形． ①当，时，直接写出点的坐标__________； ②当时，点是否在轴上？请说明理由； （2）小明根据（1）中的发现，提出问题：若点在轴上，如何用尺规作图作出平行四边形？经过思考，他给出了如图2的作法：延长交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接、，四边形即为所求作的平行四边形．证明小明所作四边形即为所求作的平行四边形； （3）小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行四边形．请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由．（保留作图痕迹，不要求写作法） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期末学情调查八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项正确，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算法则，根据二次根式加减乘除的运算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：∵与不是同类二次根式，无法合并，∴A计算错误． B选项：∵，∴B计算错误． C选项：∵，∴C计算错误． D选项：∵，∴D计算正确． 2. 如果把分式中的和的值同时扩大为原来的倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 扩大为原来的6倍 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，将和同时扩大为原来的倍后代入原分式，化简后与原分式比较，即可得出结果． 【详解】解：原分式为，将和分别替换为和，得新分式， ∴新分式与原分式相等，即分式的值不变． 3. 某校为了解八年级300名学生每周课外阅读时间，从八年级6个班级中共抽取50名学生做调查，下列说法正确的是（ ） A. 样本容量是50名 B. 抽取的50名学生是总体的一个样本 C. 该校八年级每名学生每周课外阅读时间是个体 D. 该校300名八年级学生是总体 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A：样本容量是样本中个体的数目，为纯数字，不带单位，故A错误； 对于选项B：抽取的50名学生每周课外阅读时间才是总体的一个样本，不是50名学生本身，故B错误； 对于选项C：该校八年级每名学生每周课外阅读时间是个体，故C正确； 对于选项D：本次调查的总体是该校八年级300名学生每周课外阅读时间，不是300名八年级学生本身，故D错误． 4. 下列事件中，是随机事件的是（） A. 购买一张电影票，座位号是奇数 B. 在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化 C. 367人中至少有两人的生日相同 D. 太阳从西边落山 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义，先明确三类事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定发生的是必然事件，一定不发生的是不可能事件．逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：∵A选项中，购买一张电影票，座位号可能是奇数，也可能是偶数，结果不确定，∴A是随机事件； ∵B选项中，标准大气压下，温度低于0℃时冰一定不会融化，∴B是不可能事件； ∵C选项中，一年最多有366天，367人中一定至少有两人的生日相同， ∴C是必然事件；∵D选项中，太阳从西边落山是必然发生的自然规律，∴D是必然事件． 5. 已知反比例函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. 图象经过第一、三象限 B. 图象经过点 C. 图象关于轴对称 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，先根据已知点坐标求出反比例函数的值，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴函数解析式为， ∵，∴反比例函数的图象位于第二、四象限，仅在每个象限内随的增大而增大，图象关于原点中心对称，不关于轴对称；故A，C，D错误； ∵， ∴图象经过点，故B正确． 6. 如图，在中，、、分别是各边的中点，是高，、交于点，若已经知道与度数的和，则可以求出下列哪个角的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出和为等腰三角形，进而表示出与，结合三角形内角和定理推出，最后利用三角形中位线定理和平行四边形性质得出与的关系即可求解． 【详解】解：∵，、分别是、的中点，  ∴ 在 中，，在 中，， ∴，， ∴，， ∴， ∵ 在中，， ∴， ∵ 已知的度数 ， ∴ 可求出的度数 ， ∵、、分别是、、的中点， ∴，， ∴ 四边形是平行四边形， ∴， ∴可以求出的度数． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共18分） 7. 在实数范围内，有意义，则x的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内，有意义， ∴ ∴． 8. 计算：_____． 【答案】1 【解析】 【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9. 将一个样本的40个数据分成5个组，其中第组数据的频数分别是6、4、8、10，则第5组的频率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据各小组频数之和等于样本容量，先求出第5组的频数，再根据频率等于频数除以样本容量，计算得到第5组的频率． 【详解】解：由题意得，样本容量为．前4组的频数和为． 第5组的频数为． 则第5组的频率为． 10. 在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 某种油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 301 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为________．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据频率估计概率的原理，观察发芽频率随试验次数增加的稳定趋势，即可估计出概率值． 【详解】解：由表格数据可知，随着每批试验粒数的增加，该油菜籽的发芽频率逐渐稳定在附近， ∴该油菜籽种子发芽的概率为． 12. 若关于x的方程（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，可得二次项系数不为，且根的判别式大于，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：， 的取值范围是且． 13. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意易得是的中位线，，则有，然后可得四边形是平行四边形，则，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴． 14. 将邻边长分别为2，的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无剩余纸片）．有下列数：①；②2；③；④；⑤．其中，可以作为一个等腰三角形的腰长的是________（填序号）． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】分不同剪法将矩形剪成四个无重叠无剩余的等腰三角形，计算每种剪法中得到的等腰三角形的腰长，逐一验证所给数值即可判断． 【详解】解：设矩形中，，， 分情况讨论： 1． 连接矩形两条对角线，，交于点，由勾股定理得对角线长 ， 由矩形性质得， 得到的四个三角形均为等腰三角形，腰长为，因此⑤符合题意， 不可能为所得等腰三角形的腰长，因此④不符合题意． 2． 在边上取点，使，连接，，将沿斜边中线剪开得到两个等腰三角形，共得到四个等腰三角形： 中，，是腰长为的等腰三角形，因此①符合题意； 由勾股定理得， 中，，是腰长为的等腰三角形，因此②符合题意； 由线段和差得， 剪开可得到腰为的等腰三角形，因此③符合题意 ∵， ∴， ∴． 得到的四个三角形均为等腰三角形． 综上所述，可以作为一个等腰三角形的腰长的是①②③⑤． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用反比例函数的解析式求出点和点的坐标，进而得到，利用割补法表示出的面积，解方程求出．作点关于轴的对称点，连接、，由轴对称的性质可得，因此，当、、三点共线时，取得最小值，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴，， 由反比例函数比例系数的几何意义可知，， ∵， ∴， 整理，得， ∵， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，连接、， 由轴对称的性质可得，点的坐标为，， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 16. 如图，矩形中，，，点E为上一个动点，以为边在直线的右侧作正方形，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，设的长为，证明，求得，，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，交于点， ∵矩形， ∴，又， ∴四边形和都是矩形， ∴， 设的长为， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中， 由勾股定理得，即， 解得或（舍去）， ∴的长为3． 三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程 （1）计算：； （2）解方程： ①； ②． 【答案】（1） （2）① ；② ， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：①； 去分母得：， 解得：， 经检验，当时，， 分式方程的解为； ②， ， ， ， ， 解得：，． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， 当时，原式． 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 20. 【项目背景】某校为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，开展了“科创筑梦新时代，强国有我启新程”为主题的科技嘉年华活动．其中编程设计比赛最能显示同学们的科技素养，为了了解同学们编程水平，数学小组对这次编程设计比赛成绩进行调查． 【数据收集与整理】随机抽取全校部分学生的编程设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： A：，B：，C：，D：． 下面给出了部分信息： 【数据处理和应用】 （1）任务1：本次共抽取了________名学生的编程设计成绩，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为________； （2）任务2：请补全频数分布直方图； （3）任务3：请估计全校2000名学生的编程设计成绩不低于80分的人数； 【答案】（1）50， （2） （3） 1200名 【解析】 【分析】（1）由D组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数；360度乘以B组人数所占的百分率可得B组对应圆心角度数； （2）求出B组学生人数，补全频数分布直方图即可； （3）用2000乘以成绩不低于80分的人数占比即可； 【小问1详解】 解：本次共抽取了：（名） B组对应圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：B组的人数为：（名）， 补全频数分布直方图如图所示 【小问3详解】 解：估计编程设计成绩不低于80分的人数为:（名）． 21. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，从而得到，进而证明四边形为平行四边形，结合可得，四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质可得，，，由矩形的性质可得，使用勾股定理计算出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理可得，， ∴． 22. 人的视觉机能受运动速度的影响很大，汽车司机的视野随着车速的增加而变窄．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度 40 45 50 70 80 100 视野角度（度） 100 89 80 57 50 40 （1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． （2）【数学表达】请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度之间关系的函数表达式． （3）【问题解决】在相同测试条件下，若某高速最高限速为，那么驾驶员的视野角度在什么范围？ 【答案】（1）如图： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）描点，然后用平滑的曲线连接即可； （2）观察可得视野角度（度）与行车速度成反比例函数关系，使用待定系数法求函数解析式； （3）计算出时，的值，结合反比例函数的增减性求出的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知，视野角度（度）与行车速度成反比例函数关系， 设， 将，代入，得， ∴视野角度（度）与行车速度之间关系的函数表达式为； 【小问3详解】 解：将代入，得， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， ∴驾驶员的视野角度不小于度． 23. 为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为． （1）去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲、乙两组同学进行采摘．已知甲组每分钟采摘量是乙组的倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜． （2）该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加．若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】（1）甲组每分钟采摘千克蔬菜，乙组每分钟采摘千克蔬菜 （2）整数的值为或 【解析】 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克蔬菜，则甲组每分钟采摘千克蔬菜，再根据两组的时间差列分式方程，求解检验后即可得到结果； （2）设扩建后的基地面积是原来的倍（为正整数），根据长方形面积公式列出等式，整理得到关于的表达式，结合，和都是正整数的条件，求出的值． 【小问1详解】 解：设乙组每分钟采摘千克蔬菜，则甲组每分钟采摘千克蔬菜， 根据题意可得， 解得， 当，， 则是原方程的解， 故甲组每分钟采摘千克蔬菜，乙组每分钟采摘千克蔬菜． 【小问2详解】 解：设扩建后的基地面积是原来的倍（为正整数）， 已知劳动基地长为，宽为， 则扩建后的基地长为，宽为， 则扩建后的基地面积为， 根据题意可知， 由为整数且，可得， 若为正整数，可得且为的正约数， 则或， 可得或． 24. 规定：两个含有二次根式的代数式，，满足，且a，b，c，d，m，n，p是有理数，则称与是关于p的“和谐二次根式”．如，则称与是关于5的“和谐二次根式”． （1）下面两个含有二次根式的代数式是关于9的“和谐二次根式”的是________________（填序号）； ①与；②与；③与． （2）若与是关于12的“和谐二次根式”，求t的值； （3）若两个含有二次根式的代数式与是关于7的“和谐二次根式”，试判断与能否是关于x的一元二次方程的两个根，并说明理由． 【答案】（1）①③ （2） （3）能，理由如下： 由“和谐二次根式”的定义得， 整理得， 由题意得， 解得， ∴， 对于方程， ∴，，即， 符合根的判别式的要求； 当时，方程为， ∴， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 也符合根的判别式的要求； ∴与是关于x的一元二次方程的两个根． 【解析】 【分析】（1）根据定义，两个代数式乘积需等于9，据此分别计算即可判断； （2）根据定义，整理得到，则，求得； （3）根据定义，整理得到，求得，得到，再利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式判断即可． 【小问1详解】 解：①，符合题意； ②，不符合题意； ③，符合题意； 【小问2详解】 解：由定义得：， 整理得：， 由题意得， 解得； 【小问3详解】 解：略 25. 综合与探究 数学活动课上，老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． （1）【操作探究】如图1，矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转到矩形的位置，当经过点时，连接，线段的长度为________________； （2）【问题解决】如图2，将绕点旋转得，点与点对应且恰好落在边上（点与不重合）． ①求证：； ②若，试探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展提升】如图3，在中，，，，将绕着中点旋转到的位置时，的边与原的边或边相交于点，则的长为________________． 【答案】（1） （2）①证明：由旋转的性质可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图，作于点，设， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由①可知，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即． （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，使用勾股定理计算出，则，再使用勾股定理求出即可； （2）①由旋转的性质可证明，则，结合平行四边形的性质可得； ②作于点，设，由等腰三角形的性质可得，由可得，结合①的结论可得．使用勾股定理可计算出，进而计算出，因此； （3）分类讨论，当顺时针旋转时，延长交于点，容易证明四边形是平行四边形，进而可证明是等边三角形，则，因此；当逆时针旋转时，延长交于点，同样可以证明四边形是平行四边形，是等边三角形，则，因此． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转的性质可得，，，，，， 在中，， ∴， 在中，； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：①当绕着点顺时针旋转时，如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②当绕着点逆时针旋转时，如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， 由旋转的性质可得，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 26. 如图，在四边形中，，，的横坐标为，其中．一次函数与反比例函数的图象经过、两点，一次函数经过点、． （1）若四边形为平行四边形． ①当，时，直接写出点的坐标__________； ②当时，点是否在轴上？请说明理由； （2）小明根据（1）中的发现，提出问题：若点在轴上，如何用尺规作图作出平行四边形？经过思考，他给出了如图2的作法：延长交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接、，四边形即为所求作的平行四边形．证明小明所作四边形即为所求作的平行四边形； （3）小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行四边形．请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1）①； ②点在轴上，理由如下： 由①可得，反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 联立直线与反比例函数，得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴点在轴上． （2）证明：由题意可知，，， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可知，直线的解析式为，直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （3）如图，平行四边形即为所求： 【解析】 【分析】（1）①先求出反比例函数的解析式，再求出点和点的坐标，利用平行四边形的性质求出点的坐标即可； ②分别计算出点和点的坐标，由平行四边形的性质可计算出，因此点在轴上； （2）由尺规作图容易得到，，进而得到，因此．利用（1）中的直线解析式可计算出，，由可得．由勾股定理可得，，，结合可得，从而证明四边形是平行四边形； （3）延长交轴于点，延长交轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，连接、、，四边形即为所求作的平行四边形． 【小问1详解】 解：①将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作轴于点，作轴于点， 将代入，得， ∴点的坐标为， 由（2）可知，点的坐标为， ∴，， ∵，， 又∵轴，轴， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由尺规作图可知，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $