精品解析：江苏省泰州市靖江市2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷

江苏省泰州市靖江市2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗. 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. “向空中抛2枚同样的一元硬币，落地后朝上一面相同”的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 4. 下列说法不正确的是（　　） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形 5. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，其部分对应值如下表： … 1 2 … … … 下列判断不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分式中字母的取值范围是___________________． 8. 检测“嫦娥六号”登月探测器零件的质量，适合采用________________（填“普查”或“抽样调查”）． 9. 计算：___________________． 10. 已知＝，则的值是___． 11. 若关于的方程有增根，则________________． 12. 如图，对于一定质量的气体在温度不变的情况下，压强是体积的反比例函数.当体积为时，压强为48千帕，则当体积为时，压强为________________千帕． 13. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班． 14. 如图，在四边形中，、所在直线互相垂直，E、F分别是、的中点．当时，____________． 15. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为 60°的菱形，剪口与折痕所成的角 a 的度数应为_________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则______________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）． 18. 先化简，再求值：，且为满足的整数． 19. 垃圾分类已成新风尚．为调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，城区八年级学生小强随机对他所在初中的部分同学进行问卷调查．问卷设置了“非常了解”“了解”“基本了解”“不了解”四个选项，要求只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 解答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有___________人，其中对垃圾分类知识“了解”的学生有___________人； （2）小强了解到全市共有20000名初中生，根据抽查结果，他估计全市共有8000名初中生对垃圾分类知识“非常了解”，小强同学的想法是否正确？说明你的理由． 20. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 21. 如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分． 22. 某校需要购买A、B两种书共60本．已知A种书的单价与B种书的单价之比为，用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本． （1）两种书的单价分别为多少元？ （2）若学校购买A种书的数量不多于B种书的数量的一半，问如何购买费用最低，最低费用为多少元？ 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）点为轴上一点，的面积为2，求点的坐标． 24. 如图，矩形中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的面积． 25. 如图1，在菱形中，，点是上一点． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）将（1）中作图添加的线段作为辅助线，证明； （3）如图2，在（1）的条件下，若是AB中点，求的最小值． 26. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形且点，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，经过点，点恰好落在轴的正半轴上．若点A，D在反比例函数的图像上． （1）填空：__________，常数__________； （2）设点A关于轴的对称点为点．求证：点在直线上； （3）设是双曲线上的两点．设，试判断m，n的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州市靖江市2023-2024学年八年级下学期数学期末试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分. 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗. 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义及判断，熟练掌握概念是解决本题的关键． 根据中心对称图形和轴对称图形的定义来逐一分析每个选项，中心对称图形是图形绕某一点旋转后与原来的图形重合；轴对称图形是图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形； B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形； C选项：是中心对称图形，但不是轴对称图形； D选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 故选：C． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. “向空中抛2枚同样的一元硬币，落地后朝上一面相同”的概率是（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，列举出所有的可能性，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，两枚硬币落地后，朝上一面的情况有：（正，反），（正，正），（反，反），（反，正），共4种等可能的结果，其中落地后朝上一面相同的情况有2种， ∴； 故选C． 4. 下列说法不正确的是（　　） A. 一组邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线互相垂直的矩形是正方形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】A、一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不合题意； C、对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不合题意； D、有一组邻边相等、一个角是直角的平行四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的判定问题，掌握正方形的性质以及判定定理是解题的关键． 5. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 6. 已知反比例函数，其部分对应值如下表： … 1 2 … … … 下列判断不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由表格可知，若，根据函数的增减性可知，y随x的增大而减小，故，原说法正确，不符合题意； B、由表格可知，若，根据函数的增减性可知，y随x的增大而增大，故，原说法正确，不符合题意； C、由表格可知，若，根据函数图象分布可知，y随x的增大而增大，故，原说法错误，符合题意； D、由表格可知，若，根据函数图象分布可知，y随x的增大而减小，故，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分式中字母的取值范围是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的关键是分母不能为0． 通过分析分母，从而确定字母x的取值范围． 【详解】解：在分式中，分母为． 因为分式有意义时分母不能为0， 所以，解得． 字母x的取值范围是． 故答案为：． 8. 检测“嫦娥六号”登月探测器零件的质量，适合采用________________（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】普查 【解析】 【分析】求解本题的关键是理解普查和抽样调查概念，普查是对所有考查对象进行的全面调查，而抽样调查则是对部分考查对象进行的调查． 【详解】解：为了保障“嫦娥六号”登月探测器任务顺利完成，零件的质量需要严格把关，因此，采用普查的方法对零件进行质量检测． 故答案为：普查． 9. 计算：___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．二次根式的乘法法则．根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 已知＝，则的值是___． 【答案】5 【解析】 【分析】由＝，可得a＝2b，代入所求的式子化简即可． 【详解】解：由＝，可得a＝2b， 那么＝． 故答案为：5． 【点睛】本题可先根据已知条件得出a与b的关系，然后将其代入所求式子中，要注意的计算过程中要遵循分式基本性质的要求． 11. 若关于的方程有增根，则________________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程有增根的概念，解题的关键在于理解增根的概念． 根据增根的概念，即增根是使分式方程的分母为0的根，然后通过将分式方程化为整式方程，再结合增根即可求解． 【详解】解：对于分式方程，其分母为， ∵关于的方程有增根， ∴，解得， ∴该分式方程的增根为， 对于分式方程， 化简可得， 将代入上式，可得， 解得． 故答案为：1 ． 12. 如图，对于一定质量的气体在温度不变的情况下，压强是体积的反比例函数.当体积为时，压强为48千帕，则当体积为时，压强为________________千帕． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用．求解出反比例函数的解析式是解决本题的关键． 通过设出压强与体积的反比例函数关系式，利用已知的体积和压强数据求出函数中的常数，进而根据函数关系式求出指定体积下的压强． 【详解】解：设压强p与体积V的反比例函数表达式为． 已知当体积时，压强千帕， 将其代入反比例函数表达式中，可得． 得到． 所以，压强p与体积V的反比例函数表达式为． 当时，将代入中，可得（千帕）． 故答案为：80． 13. 某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是_____________班． 【答案】丙 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴、乙、丙、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数，则： ①，即甲、丁两个班级合格人数相同； ②，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ③，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙， 故答案为：丙． 14. 如图，在四边形中，、所在直线互相垂直，E、F分别是、的中点．当时，____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟记三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半是解决本题的关键． 通过构造辅助线，，，再由，，结合平行线的性质，即可求出的长度． 【详解】解：连接，取的中点H，再连接、，如图， 在中，因为E是的中点，H是的中点， 可得是的中位线， 所以， 已知，则， 在中，因为F是的中点，H是的中点， 同理可得是的中位线， 所以， 已知，则， 因为，，且、所在直线互相垂直， 所以，即， 在中，可得， 把，代入上式，可得， 所以． 故答案为：． 15. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为 60°的菱形，剪口与折痕所成的角 a 的度数应为_________． 【答案】30°或 60° 【解析】 【分析】根据内角为 60°的菱形性质，再通过纸片的对折可获得纸片的折痕正好通过该菱形的对角线，由此便可推导出. 【详解】∵内角为60°的菱形的特点，菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角， ∴其中一内角为60°的菱形，另一角为120°. 又∵长方形的纸片对折两次，纸片的折痕正好通过该菱形的对角线. ∴剪口与折痕所成的角应为30°和60°. 【点睛】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是关键. 16. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则______________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解反比例函数图像上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解决本题的关键． 分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，则，设出点的坐标，由平行四边形的性质及已知条件可得，证明四边形是矩形，可得，由是的中位线，可得，根据面积可得，表示出点M的坐标，再由点A在反比例函数的图象上求解即可． 【详解】分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，延长交于点N， 如图所示： ∴，， 设，， ∴点C的坐标是， ∵点M是的中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点C的坐标是，点M是的中点， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 三、解答题（本大题共有10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 先化简，再求值：，且为满足的整数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，除法变乘法，利用乘法分配律进行计算，化简后再代入一个使分式有意义的值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵且， ∴且， ∵且是整数， ∴， ∴当时，原式． 19. 垃圾分类已成新风尚．为调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，城区八年级学生小强随机对他所在初中的部分同学进行问卷调查．问卷设置了“非常了解”“了解”“基本了解”“不了解”四个选项，要求只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 解答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有___________人，其中对垃圾分类知识“了解”的学生有___________人； （2）小强了解到全市共有20000名初中生，根据抽查结果，他估计全市共有8000名初中生对垃圾分类知识“非常了解”，小强同学的想法是否正确？说明你的理由． 【答案】（1）50，15 （2）小强同学的想法正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用非常了解的人数除以所占的比例，求出调查的学生人数，用调查的学生人数减去其它类别的人数求出了解的人数即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）； （人）； 故答案为：50，15； 【小问2详解】 小强同学的想法正确，理由如下： （名）； 故估计全市共有8000名初中生对垃圾分类知识“非常了解”， ∴小强同学的想法正确． 20. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）估计摸一次球能摸到黑球的概率是__________（精确到，袋中黑球的个数约为__________只； （2）若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了多少个黑球？ 【答案】（1） （2）小明后来放进了25个黑球 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）利用频率估计概率，再根据概率公式求出黑球的个数即可； （2）根据频率估计概率，设后来放进了个黑球，根据概率公式列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，估计摸一次球能摸到黑球的概率是， 故袋中黑球的个数约为（只）； 故答案为：； 【小问2详解】 由题意，放入一些黑球后，摸出黑球的概率为， 设后来放进了个黑球，则， 解得：； 答：小明后来放进了25个黑球． 21. 如图，，分别是四边形的边，的中点，，是，的中点．求证：和互相平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形判定及性质．根据题意连接、、、，即可判定四边形是平行四边形，继而得到本题答案． 【详解】解：证明：连接、、、， ， 是四边形的边的中点，是的中点． ，， ∴，， 同理，， ∴，， ∴，， 四边形是平行四边形， 和互相平分． 22. 某校需要购买A、B两种书共60本．已知A种书的单价与B种书的单价之比为，用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本． （1）两种书的单价分别为多少元？ （2）若学校购买A种书的数量不多于B种书的数量的一半，问如何购买费用最低，最低费用为多少元？ 【答案】（1）A种书的单价为元，B种书的单价为元 （2）购买A种书20本，B种书40本时费用最低，最低费用为2000元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用以及考查一次函数的实际应用，掌握一次函数的增减性是解决本题的关键． （1）解题思路是先设出A、B两种书的单价，再根据“用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本”这一条件列出分式方程，最后求解并检验． （2）先设购买A种书的数量，再根据条件得出购买B种书的数量，然后列出费用的函数表达式，最后根据函数性质求出最低费用． 【小问1详解】 解：设A种书的单价为元，则B种书的单价为元． 可知用420元购买A种书的数量为本，购买B种书的数量为本． 已知用420元购买的A种书比用420元购买的B种书多2本， 可列方程：． 进行化简： 解得． 经检验，当时，，， 所以是原方程的解，且符合题意． 则A种书的单价为元，B种书的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A种书m本，则购买B种书本． 已知学校购买A种书的数量不多于B种书的数量的一半， 可列不等式． 解不等式得：． 设购买总费用为w元，已知A种书单价为30元，B种书单价为35元， 则． 化简： ， ． 因为，所以w随m的增大而减小． 又因为，所以当时，w取得最小值． 此时（本）， （元）． 所以购买A种书20本，B种书40本时费用最低，最低费用为2000元． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数关系式； （2）点为轴上一点，的面积为2，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数关系式为；反比例函数关系式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，一次函数的图像与性质；反比例函数解析式的求解，反比例函数的图像与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）将点代入一次函数和反比例函数关系式即可求解； （2）先根据一次函数关系式求出点B的坐标，再设出点C的坐标，根据三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图像交于点， ∴，解得， ∴一次函数关系式为； ∴，解得， ∴反比例函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，一次函数关系式为， ∵一次函数与轴交于点． ∴令，解得， ∴点， ∵点为轴上一点， ∴设点， 则， 的高为点A的横坐标，为2， ∴， ∴， 即或， 解得或 ∴点的坐标为或． 24. 如图，矩形中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查的是矩形性质、勾股定理及平行四边形的判定， （1）先根据矩形性质得出，得出，，即可证明结论； （2）连接交于点O，根据矩形性质结合勾股定理求出，进而求出结论． 【小问1详解】 证明：在矩形中，， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：连接交于点O， 在矩形中，， ， ， ， 在中，， ． 25. 如图1，在菱形中，，点是上一点． （1）在图1中用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）将（1）中作图添加的线段作为辅助线，证明； （3）如图2，在（1）的条件下，若是AB中点，求的最小值． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，点即为所求； （2）连接，，证明为等边三角形，进而得到，证明，进而得到，，进而推出为等边三角形，即可得证； （3）取的中点，作点关于的对称点，连接，证明，得到，进而得到，推出当三点共线时，的值最小，为的长，连接，交于点，延长，交于点，利用含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理推出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 连接， ∵菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问3详解】 取的中点，作点关于的对称点，连接，则：， 由（2）知：， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 连接，交于点，延长，交于点， ∵关于对称， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查尺规作图--复杂作图，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形且点，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形，经过点，点恰好落在轴的正半轴上．若点A，D在反比例函数的图像上． （1）填空：__________，常数__________； （2）设点A关于轴的对称点为点．求证：点在直线上； （3）设是双曲线上的两点．设，试判断m，n的大小，并说明理由． 【答案】（1）60， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识． （1）由旋转的性质及平行线的性质可得出，进而可得出为等边三角形，即可求出的度数，过点A作轴于点M，可求出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值； （2）根据两点间的距离公式得到，根据旋转的性质得到，设，求得（正值舍去），得到，得到，求得直线的解析式为，得到，当时，求得，于是得到点H在直线上； （3）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可用分别表示出a、b，则可比较m、n的大小关系． 【小问1详解】 解：由旋转，可知：． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 过点A作轴于点M，如图1所示， ∵点A，D在反比例函数的图象上， ∴点A，D关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， ∴． 故答案为：60，； 【小问2详解】 证明：连接， ∵点，点A的坐标为， ∴， ∵将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形， ∴， 设， ∴， ∴（正值舍去）， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点A关于x轴的对称点为点H， ∴， 当时，， ∴点H在直线上； 【小问3详解】 解：，理由如下： 设是双曲线上的两点， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $