精品解析：河南省信阳高级中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可． 【详解】在集合A中 ，得x＜3，即A＝（，3）， 在集合B中y＝2x在（，3）递增，所以0＜y＜8，即B＝（0，8）， 则A∩B＝（0，3）． 故选D． 【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的值域，属于基础题． 2. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 3. 向量，，为第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量平行的性质可得，再由同角三角函数的平方关系可得，结合诱导公式可得，即可得解. 【详解】因为向量，，且， 所以，所以， 所以， 又为第三象限角，所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量平行、同角三角函数的平方关系及诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 4. 已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由直观图画出原平面图形，再结合梯形面积公式求解. 【详解】 由直观图中梯形，可知四边形为直角梯形. 所以梯形面积 5. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并判断单调性，再结合零点存在性定理推理判断作答. 【详解】令函数，显然函数在上单调递增， 而，又，因此， 令函数，显然函数在上单调递增， ，又，因此， 所以. 故选：D 6. 中，，是角的平分线，且，则的最小值为（ ） A. B. C. · D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等面积法得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】根据题意，设，如图， 因为，，则， 所以， 即， 所以，则，故，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 7. 正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以. 8. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值. 【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度, 可得 由, 可知 即 所以 的最大值为,的最小值为 则的最大值为,的最小值为 所以的最大值为 故选:A 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. ，为纯虚数的充要条件是 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据i的周期性可判断A，根据虚部概念判断B，根据复数乘方运算及纯虚数概念判断C，根据复数模的运算即可得到点的轨迹判断D. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：复数的虚部为2，而不是，错误； 对选项C：，则， 若为纯虚数，则，所以，错误； 对选项D：设，由可得，， 所以，平方化简得：， 所以在复平面内对应的点的轨迹为直线，正确. 故选：AD 10. 某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 艺术社的学生人数有120人 B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D. 调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人， 辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为， 又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为， 可知艺术社的学生人数有人，即A正确； 对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为， 因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确； 对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为， 因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误； 对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确. 11. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点M的运动轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平面展开即可判断A；过做平面平面，即可判断B；根据点的轨迹是圆弧，即可判断C；作出正方体被平面所截的截面即可判断D. 【详解】对于A，将正方体的下面和侧面展开可得如图图形， 连接，则，故A错误； 对于B，如图： 因为平面，平面，，又， ，，平面 ， 所以平面 ，平面 . 所以'，同理可得，，，平面 . 所以平面 . 所以过点作交交于，过作交交于， 由，可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面. 则平面平面. 设平面交平面于，则的运动轨迹为线段，由点在棱上，且，可得， 所以，故B正确； 对于C，如图： 若，则在以为球心，为半径的球面上， 过点作平面，则，此时. 所以点在以为圆心，2为半径的圆弧上，此时圆心角为. 点的运动轨迹长度，故C正确； 对于D，如图： 延长，交于点，连接交于，连接， 所以平面被正方体截得的截面为. ，所以. ，所以， 所以，所以，且， 所以截面为梯形， ，所以截面为等腰梯形. 故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】设圆锥的顶点为，底面圆心为，过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为，根据，圆锥体积为，求出，再用表示截面面积，根据二次函数知识可求出结果. 【详解】设圆锥的顶点为，底面圆心为，过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为， 为的中点，则，，， 则圆锥的体积为， 由题意得，解得，， ，， 所以 ， 因为，， 所以当，时，取得最大值为. 故答案为：. 13. 如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先确定灯亮时开关的闭合情况，再根据独立事件概率公式，即可求解. 【详解】若灯亮，则开关闭合，中至少一个闭合， 所以灯亮的概率为. 故答案为： 14. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】设，由仰角分别得到，根据求解. 【详解】因为平面，设雕像高度，根据仰角的直角三角形关系： 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故， 在处仰角，则，故，​ 如图可知，， 即， 解得：，因为高度为正，故. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，m为实数． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若，求m的值； （3）若﹐求的值． 【答案】（1）； （2）2； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列式计算得解. （2）利用复数是实数的充要条件，结合实数大于0，列式求解即得. （3）利用复数除法及复数模的意义求解即得. 【小问1详解】 由，得， 由z是纯虚数，得，解得， 所以m的值是. 【小问2详解】 由，得，解得， 所以m的值为2. 【小问3详解】 当时，，则， 所以. 16. 已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）设，由 和求解； （2）根据，得到，然后由，利用二次函数的性质求解. 【小问1详解】 设， 因为向量，的夹角为，且，， 所以， ，得， 又因为，所以， 即或. 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以， 所以， ， ， 所以，当时，有最小值为. 17. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 【答案】（1）30人 （2）①3人，2人，1人；② 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概念，求出身高在区间的频率。进而根据总人数，求出这一区间的学生人数； （2）根据分层抽样的概念和方法，分别求出这三组的人数，根据比例求出各组抽取的人数，再根据古典概率公式，求出事件的概率； 【小问1详解】 设的频率为， 由频率分布直方图可知，解得． 所以身高在区间的学生人数为（人）． 【小问2详解】 ①，，三组的人数分别为30人，20人，10人． 因此三组中每组各抽取（人），（人），（人）． ②设组的3位同学为，，，组的2位同学为，，组的1位同学为， 则从6名学生中抽取2人有15种可能： ，，，，， ，，，，，，，，，． 其中组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能： ，，，，，，，，． 所以组中至少有1人被抽中的概率为． 18. 如图，在中，，为边上一点且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的值，进而求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （2）利用正弦定理得出，，由三角形的内角和定理得出，且，利用三角恒等变换化简得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 ，，，且为锐角， 在中，由正弦定理得， 解得，， ， . 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，可得， 在中，由正弦定理得，可得， ， ，，且， ， ，，， 故的取值范围为. 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质定理即可证明； （2）①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，，可推得，从而得，求得结论； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为，可证为母线与下底面所成角，由可知，要使最小，只要最小即可，进而求得的最小值，即可求得结论． 【小问1详解】 证明：在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以； 【小问2详解】 ①将圆台的母线延长交于一点，连接，延长交底面于点，连接，， 在圆台中，平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又由（1）可知，所以， 又，，，，，平面， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 在圆台中，，， 所以，所以， 所以，所以， 连接，交于点，所以， 所以，到平面的距离之比， 所以； ②在等腰梯形中，过点作边的垂线，垂足为， 在平面内过点作的平行线交于点，连接， 易得，因为平面，所以平面， 所以为母线与下底面所成角， 因为，，所以，所以， 要使最小，只要最小即可， 因为，所以，所以， 设，因为为圆的直径，所以， 所以，，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以，因此为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 因为平面，平面，所以， 在中，由勾股定理得，所以， 所以二面角的正弦值为． 【点睛】关键点点睛：第（2）小题第②问的关键是，根据二面角的平面角的定义，做辅助线找到为母线与下底面所成角，并且发现，等价于使最小，只要最小即可，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 向量，，为第三象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知某平面图形OABC的直观图是如图所示梯形，且，则原图形OABC的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 5 5. 已知，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 中，，是角的平分线，且，则的最小值为（ ） A. B. C. · D. 7. 正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 复数的虚部为 C. ，为纯虚数的充要条件是 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A. 艺术社的学生人数有120人 B. 文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C. 从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D. 调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 11. 如图，正方体的棱长为4，M是侧面上的一个动点（含边界），点P在棱上，且，则下列结论正确的有（ ） A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为 B. 保持与垂直时，点M的运动轨迹长度为 C. 若保持，则点M的运动轨迹长度为 D. 平面被正方体截得截面为等腰梯形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为______． 13. 如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 14. 司马迁是我国西汉伟大的史学家、文学家，其雕像位于韩城市司马迁祠内．某学习小组开展数学建模活动，欲测量司马迁雕像的高度．如图，选取与司马迁雕像底部同一水平面内的三个共线的测量基点，，，且在，，处测得雕像顶端的仰角分别为30°，45°，60°，米，则司马迁雕像高度为________米． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，m为实数． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若，求m的值； （3）若﹐求的值． 16. 已知向量，的夹角为，且. （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值. 17. 某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如下图所示）． （1）求身高在区间的学生人数； （2）将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人． ①求从这三个组分别抽取的学生人数； ②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率． 18. 如图，在中，，为边上一点且，. （1）若，求的面积； （2）求的取值范围. 19. 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，E，F分别为上下底面圆周上的点，且B，E，D，F四点共面． （1）证明：； （2）已知，，四棱锥C-BEDF的体积为3． ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $