精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2025-2026学年高一下学期6月测试（一）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 3. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 6. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A. B. C. D. 7. 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则| C. D. 10. 在中，角所对的边分别为 ，且，为的中点，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的周长的取值范围是 D. 的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 在区间上单调递减 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称，但不关于点对称 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是斜二测画法下水平放置的平面图形 的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形 的周长为______． 13. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 14. 如图，与 存在对顶角，，且，若，则 _________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形 构成平行四边形，求点的坐标. 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 17. A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的. （1）求的值； （2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？ （3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值. 18. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第 题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． （1）求甲得10分的概率； （2）求甲得3分的概率； （3）若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 19. 如图①，已知等腰梯形 的外接圆圆心 在底边上，，， 是上半圆上的动点（不包含，两点），点 是线段上的动点，将半圆 所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面 所成角的正弦值； （3）若，平面平面 ，设与平面 所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2025-2026学年高一下期06月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算求得复数，进而利用复数的模的计算公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知直线a，b，c，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，则a，b，c共面 C. 若，则 D. 若a，b异面，b，c异面，则a，c异面 【答案】C 【解析】 【分析】A. 由直线与直线的位置关系判断；B.举例判断；C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条判断；D.举例判断. 【详解】A. 若 ，则 ，a与b相交或异面，故错误； B.若，a，b，c不一定在同一平面内， 如在正方体中，，,但 不共面，故错误； C. 由一条直线垂直于平行线中的一条则垂直另一条，故正确； D.若a，b异面，b，c异面，则a，c不一定异面， 如在正方体中，与 异面， 与异面，但，故错误； 故选：C 3. 已知平面向量，满足，且，则向量与向量的夹角余弦值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的数量积运算性质即可得出． 【详解】 平面向量，满足，且， ，解得. 故选：C 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和夹角公式，属于基础题. 4. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数与对数函数的单调性可得答案. 【详解】根据幂函数在上为增函数，可得，即 ， 又，所以. 故选：B 5. 已知样本数据a，b，c的平均数为3，方差为2，则，，的平均数为（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， ，， 则，解得. 6. 已知三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，，，则三棱锥外接球的体积为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可以将其补成一个长方体，该三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球，外接球的直径等于长方体的体对角线长度. 已知，，则长方体的体对角线 ， 因此，外接球半径. 球的体积 7. 已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和事件概率计算公式即可求解. 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理：  ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 8. 设函数的定义域为为偶函数且.若时，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】通过为偶函数推出关于对称，通过推出函数的周期为4，再联立等式可求，，故可求值. 【详解】因为为偶函数，所以， 即（①）可知关于对称， 通过（②）， 可知（③）， 联立①②式可得：， 联立②③式可得：， 易得周期为4， ①中令,②中令 可得； 故， 所以， 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则| C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合题意得到，进而举反例判断A，D，利用复数模的性质与模长公式判断B，C即可. 【详解】对于A，因为，所以， 得到，化简得， 设，，则，满足， 但此时，故A错误， 对于B，因为，所以，则，故B正确， 对于C，设 ， ， 则， 而， ，故C正确， 对于D，当设 ，，由模的公式得， 而，不满足，故D错误. 10. 在中，角所对的边分别为 ，且，为的中点，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的周长的取值范围是 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题设结合正弦定理、两角和的正弦公式化简求解即可判断；对于B，先由余弦定理得，进而结合基本不等式可得，再结合平面向量的线性运算、数量积的运算律可得，进而求解判断即可；对于C，结合B及基本不等式可得，进而判断即可；对于D，根据正弦定理及三角恒等变换公式可得，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由， 根据正弦定理得，， 则， 即， 在中， ，则， 即，又，则，故A正确； 对于B，由余弦定理得，， 则，即，当且仅当 时等号成立， 由于为的中点，则， 所以 ， 则的最大值为，故B正确； 对于C，由B知，， 解得，当且仅当 时等号成立，又， 则的周长的最大值为3，故C错误； 对于D，由正弦定理得， 则， 所以 ， 因为，所以， 则，即时，，取得最大值为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 在区间上单调递减 C. 的值域为 D. 的图象关于直线对称，但不关于点对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数表达式为，对于A，在定义域内，由诱导公式可得；对于B，利用代入检验法，即可判断；对于C，注意到，由此即可判断；对于D，利用代入检验法，并注意定义域是否相应的关于直线或点对称即可判断. 【详解】 ． 对于A，的定义域且， 对任意 恒有，A正确． 对于B，在有意义， 当时，，该区间为正弦函数的单调递减区间， 所以在单调递减，B正确． 对于C，因为，且， 所以的值域是，C错误． 对于D，， 的图象关于直线对称，且的定义域关于对称，所以的图象关于直线对称． 又， 的图象关于点对称， 但的定义域不关于对称，所以的图象不关于点对称，D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是斜二测画法下水平放置的平面图形 的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形 的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】将直观图还原为原来的图形，然后根据斜二测画法横等纵半计算即可. 【详解】将直观图还原为原来的图形，则四边形 如下图： 所以 ，，则， 所以平面图形 的周长为. 13. 某样本中5个数据的平均数为10，方差为6．现增加一个数据10，则这6个数的方差为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据原5个数据的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特点，计算新样本的方差. 【详解】设原5个数据为， 由原平均数为10，得，因此； 由原方差为6，根据方差定义得，因此； 加入数据10后，新样本的平均数，与原平均数相等； 新样本的方差. 14. 如图，与 存在对顶角，，且，若，则 _________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理将几何边长转化为关于未知线段的三角函数表达式，再通过整体代换解出已知恒等方程，最终求得线段长度. 【详解】由题意得点 共线，点 共线， 设 ，则，设 ，则 ， 在中， ， 在 中，， ， ， ， ， 因为，令， 则 ， ， 所以，，即点 是线段 的中点， 将代入的方程有: ，， 设 ， 在中，，则， ， 在 中，， ， 则，即， ， 设 ，则， 则原式为， ， 整理得 ，解得， 因为，所以 ，故舍去负根，取， 即，，整理得 ， 解得或，因为 ，所以， 则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形 构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1）5 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【小问1详解】 ， 又，三点共线，设， 则，故，故； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知，， 故， 又，，故； （ⅱ）四边形 构成平行四边形，故， 又，设，则， 故，所以，解得， 故点的坐标为 16. 内角，，的对边分别为，，，满足． （1）求证：； （2）当角取得最大值时，的面积为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论. （2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到 ．利用三角形的面积公式求出的值． 【小问1详解】 由，可得． 由正弦定理可得． 故． 由余弦定理可得． 化简得． 【小问2详解】 因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则， 当且仅当即 时取等号． 此时最大，且． 所以． 解得． 17. A校和B校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A校学生和2000名B校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的满足函数关系（n为组数序号，）；关于B校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为），假定每组组内数据都是均匀分布的. （1）求的值； （2）若B校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？ （3）现在设置一个标准来判定某一学生是属于A校还是B校，将成绩小于的学生判为B校，大于的学生判为A校，将A校学生误判为B校学生的概率称为误判率A，将B校学生误判为A校学生的概率称为误判率B，误判率A与误判率B之和称作总误判率，记为.若，求总误判率的最小值，以及此时的值. 【答案】（1）； （2）72分以上 （3）最小为， . 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求解. （2）根据频率分布直方图可知所求的分数应该在；列出方程求解即可. （3）写出的解析式，根据函数的单调性求的最值. 【小问1详解】 由频率之和为1，故之和为， 解得：. 【小问2详解】 根据B校学生成绩的频率分布直方图，设所求的分数为， 则，解得 ，所以应该奖励72分以上的学生. 【小问3详解】 ，则时， ， 时， ， 由的单调性知，当最小，此时，所以总误判率最小为，此时. 18. 某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第 题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的． （1）求甲得10分的概率； （2）求甲得3分的概率； （3）若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解即可. （2）将甲得3分分为两种情况，再结合互斥事件的概率公式求解即可. （3）将甲答辩成功这个事件合理拆分，再结合互斥事件和独立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得每道题目能否答对都是相互独立的事件， 由独立事件概率公式得甲得10分的概率为． 【小问2详解】 甲得3分有两种情况：甲答对第1题和第2题，甲答对第3题．且两种情况互斥， 故甲得3分的概率为． 【小问3详解】 若甲恰好答对2道题目答辩成功，则甲必定答对第3题和第4题． 甲答辩成功的概率为． 若甲恰好答对3道题目答辩成功，则甲答对第2题、第3题、第4题， 或者答对第1题、第3题、第4题，或者答对第1题、第2题、第4题． 甲答辩成功的概率为． 由（1）可知甲得10分的概率为，所以甲答辩成功的概率为． 19. 如图①，已知等腰梯形 的外接圆圆心 在底边上，，，是上半圆上的动点（不包含，两点），点 是线段上的动点，将半圆 所在的平面沿直径折起，得到图②所示图形，据此解答下列各小题： （1）当平面时，求的值； （2）若，，求与平面 所成角的正弦值； （3）若，平面平面 ，设与平面 所成的角为，二面角的平面角为，求取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）与平面 所成角的正弦值 （3）取得最大值时 【解析】 【分析】（1）连接交 于点M，连接，则有，可得，即可得答案； （2）由题意可得平面，可得平面平面，过作于，连接，可得为与平面 所成的角，求解即可； （3）作 于，连接，所以即为与平面 所成的角为，过作 ，垂足为，连结 ，为二面角的平面角，进而计算可得的最大值即此时的的值. 【小问1详解】 连接交 于点M，连接， 因为，，所以， 则平面 平面， 依题意，平面，平面 ，所以， 所以，等腰梯形 中，， 所以； 【小问2详解】 因为等腰梯形 的外接圆圆心 在底边上，所以， 所以，又因为 ， 平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作于，连接，所以平面， 则为与平面 所成的角， 由（1）可得， ，， 因为，所以， 所以，所以，解得， 所以， 所以与平面 所成角的正弦值； 【小问3详解】 作 于，连接， 因为平面平面 ，平面 平面， 所以 平面 ，所以 是在平面 内的射影， 因为，所以， 所以即为与平面 所成的角为，则， 过作 ，垂足为，连结 ， 又，，平面，所以 平面， 又平面，.所以， 所以为二面角的平面角， 所以，所以，， 所以， 当且仅当时，取得最大值，即取的最大值， 所以取得最大值时. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $