3.5 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦平面直角坐标系中的位似变换，通过复习位似图形定义、性质及基本模型导入，搭建旧知与新知的桥梁，引导学生从已有位似概念过渡到坐标表示的学习支架。 以合作探究为主线，通过三角形、四边形的坐标变换操作培养几何直观与空间观念，结合归纳总结与典例精析发展推理意识，习题从基础到综合，注重用坐标语言表达变换规律，提升解决实际问题能力。

第3章 图形的相似 3.5 图形的位似 第2课时 平面直角坐标系中的位似变换 【学习目标】 1.理解位似图形的定义，能熟练地利用坐标变化将一个图形放大与缩小． 2.理解平移、轴对称、旋转和位似四种变换的基本性质，会按要求画出经变换后的图形． 3.在具体活动操作中，培养学生的动手操作能力，进一步增强用位似变换来解决实际问题的能力． 学习重点：用图形的坐标变化来表示图形的位似变换，能综合运用平移、轴对称、旋转和位似进行图案设计 学习难点：体会用图形的坐标变化来表示图形的位似变换的变化规律. 【复习导入】 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ，这个交点叫作 ． 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ， 对应线段 . 2. 基本模型： 【合作探究】 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(3，1)，B(2，3). (1) 将点 O，A，B 的横坐标、纵坐标都乘 2，得到三个点，画出对应的△A'OB' . (2) 点 A' 是否在直线 OA 上？点 B'是否在 直线 OB 上？△AOB 与△A'OB' 是位似图形吗？ 如果是，位似中心是哪个点？ 位似比是多少? (3) 如果将点 O，A，B 的横坐标、纵坐标都乘 -2 呢？ [操作·思考] 如图，在平面直角坐标系中四边形 ABCD 的顶点坐标分别为A (4，2)，B (8，6)，C (6，10)，D (-2 ，6). (1) 将点 A，B，C，D 的横坐标、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形 ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比. (2) 如果将点 A，B，C，D 的横坐标、纵坐标都乘 － 呢？ 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？ 【归纳总结】 练一练 1. 如图，线段AB两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的 后得到线段CD，则端点D的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ，－ )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . [典例精析] 例1 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC 的位似，且相似比是 2 : 3. 3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)， B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2. 探究点2：平面直角坐标系中的图形变换 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 练一练 4.将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心，将△ABC 放大1.5倍； (4) 以C为中心，将△ABC顺时针旋转180°． 当堂反馈 1.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(3，3)，D(4，1)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为(　　) A.(6，6) B.(6，8) C.(8，6) D.(8，2) 2.如图，在平面直角坐标系中，已知A(1.5，0)，D(4.5，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心.若DE＝7.5，则AB＝　　. 3.在平面直角坐标系中，已知点A(6，4)，B(4，－2)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是　 　. 4.[作图通关]如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(2，4)，C(4，5)，D(3，1)围成四边形ABCD，在第一象限作出四边形ABCD的位似图形，使得新图形与原图形对应线段的比为2：1，位似中心是坐标原点. 参考答案 【复习导入】 1. 位似图形 位似中心 相似比 平行或者在一条直线上 【合作探究】 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 练一练 1. D 2. 1 : 3 例1 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘 － ；在平面直角坐标系中描点O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. 练一练 3. 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形. 练一练 4. 当堂反馈 1.　D　 2.　2.5 3.　(3，2)或(－3，－2)　. 4.解：如图，四边形A'B'C'D'即为所求作的图形. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $