问题解决活动：利用相似三角形测高（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“利用相似三角形测高”，通过提问“怎样测量高大物体高度”导入，复习相似三角形判定与性质，搭建从理论到实际应用的学习支架，引导学生将实际问题转化为数学模型。 以小组合作探究（影子、标杆、镜子反射三种方法）和《海岛算经》历史案例为特色，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）和数学语言（模型观念），习题分层设计，提升解决实际问题能力与应用意识。

第3章 图形的相似 问题解决活动：利用相似三角形测高 【学习目标】 1.通过测量旗杆高度的实践活动，巩固相似三角形的判定定理和性质，能运用相似三角形的知识解决实际问题，加深对相似三角形的理解． 2.经历设计方案、实际测量、计算验证的过程，体会将实际问题转化为数学模型的思想方法，提高解决实际问题的能力． 3.通过小组合作探究，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学在生活中的广泛应用． 学习重点：利用相似三角形测高的原理及应用. 学习难点：将实际问题转化为数学模型，准确构造相似三角形并进行计算. 【复习导入】 怎样测量这些非常高大物体的高度？ 【合作探究】 探究点1：利用相似三角形测量高度 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. [合作探究] 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆 (或路灯杆) 的高度. 活动方式：分组活动、全班交流研讨. 活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具. 你能想到哪些方法测量？ 根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由. 方法1： 方法2： 方法3： 想一想 你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 议一议 上述几种测量方法各有哪些优缺点？ 读一读 刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一.《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产. 《海岛算经》最早附于《九章算术注》之后，唐初开始单行. 刘徽在该书中精心选编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，其中第一个问题是测算海岛的高、远问题，因此得名.《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著也是中国古代高度发达的地图学的数学基础. 《海岛算经》第一个问题的大意是： 如图，要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH，立两根高 3 丈的标杆 BC 和 DE，两杆之间的距离 BD = 1 000 步，D，B，H 成一线；从 B 处退行 123 步到 F，人的眼睛贴着地面观察 A 点，A，C，F 三点成一线；从 D 处退行127 步到 G，从 G 观察 A 点，A，E，G 三点也成一线. 试计算山峰的高度 AH 及 HB 的长 (这里 1 步 = 6 尺，1 丈 = 10 尺，结果用丈表示). 怎样利用相似三角形求得线段AH 及 HB 的长呢？请你试一试! 练一练 1. 如图小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端 C 处，已知 AB = 2 米，且测得 BP = 3 米，DP = 12 米，那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6 米 B. 8 米 C. 18 米 D. 24 米 2. 如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得 AC = 2米，AB = 10米，则旗杆的高度是_____米． 当堂反馈 1. 小明身高 1.5 米，在操场的影长为 2 米，同时测得教学大楼在操场的影长为 60 米，则教学大楼的高度应为 ( ) A. 45 米 B. 40 米 C. 90 米 D. 80 米 2. 小刚身高 1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶 ( ) A. 0.5 m B. 0.55 m C. 0.6 m D . 2.2 m 3. 如图 ，利用标杆BE测量建筑物的高度. 如果标杆BE高1.2 m，测得 AB = 1.6 m，BC = 12.4 m，楼高CD是多少？ 4. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点A在同一直线上，已知 DE = 0.5米，EF = 0.25米，目测点D到地面的距离DG = 1.5米，到旗杆的水平距离DC = 20米，求旗杆的高度. 参考答案 合作探究 一、要点探究 知识点：利用相似三角形测量高度 方法1：利用阳光下的影子 如图，每个小组选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测量该同学的影长，另一部分同学测量同一时刻旗杆的影长. 表达式：物1高 ：物2高 = 影1长 ：影2长 方法2：利用标杆 如图，每个小组选一名 同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆. 观测者适当调整自已所处的位置，使旗杆的顶端、标杆的顶端与自已的眼睛恰好在一条直线上，这时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高. 解：过点 A 作 AN∥BD 交 CD 于 N，交 EF 于 M， ∵人、标杆、旗杆都垂直于地面， ∴∠ABF =∠EFD =∠CDF = 90°. ∴AB∥EF∥CD . ∴∠EMA =∠CNA. ∵∠EAM =∠CAN， ∴△AEM ∽ △ACN . ∴=．∵EM=EF－AB，CN=CD－AB，AM=BF，AN=BD，∴知道观测者身高AB，标杆高EF，观测者的脚到旗杆底端的距离BD，以及观测者的脚到标杆底端的距离BF，就可以求出旗杆的高度CD． 方法3：利用镜子反射 如图，每个小组选一名 同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合. 把图形抽象为数学模型，由平面镜反射可知，∠EDC=∠ADB，∵观测者、旗杆都垂直于地面， ∴∠C=∠B=90°．∴△EDC∽△ADB．∴=． ∴知道观测者身高CE，观测者到平面镜的距离CD，旗杆到平面镜的距离BD，就可以求出旗杆的高度CD． 想一想 你还有哪些测量旗杆高度的方法？ 读一读 CB = ED = 3丈 = 30尺，BD = 1 000步 = 6 000尺， BF = 123步 = 738尺，DG = 127步 = 762尺. 由 △AHF ∽ △CBF，得 由 △AHG ∽ △EDG，得 利用这两个比例式可以求得HB =184500 尺 = 18450 丈，AH = 7530 尺 = 753 丈. 练一练 1. B 2. 8 ． 当堂检测 1. A . 2.A . 3. 解： ∵EB⊥AC，CD⊥AC ，∴ EB∥CD. ∴△ABE∽△ACD. ∴CD = 10.5 m. 4. 解：由题意可，得 △DEF∽△DCA，则 ∵DE = 0.5 m，EF = 0.25 m，DG = 1.5 m，DC = 20 m ， ∴ 解得：AC = 10. 故 AB = AC + BC= 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗杆的高度为 11.5 m. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $