精品解析：天津市西青区兴华中学2025-2026学年高一第二学期日常练习2（6月）数学试题

兴华中学2025—2026学年度第二学期日常练习2 高一 数学学科 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 2. 复数下列说法正确的是（ ） A. z的模为 B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. z的共轭复数表示的点在第四象限 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 在中，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120° 6. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. － B. C. D. 7. 圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为 A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为 A. B. C. D. 9. 已知是关于的方程的一个根，，，则（ ） A. B. 16 C. D. 4 10. 如图，直四棱柱的底面是菱形，则与所成的角是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知向量，，满足，则_____. 12. 半径为3的球的体积等于________. 13. 已知正的边长为4，那么的直观图的面积为 _____． 14. 如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 15. 将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的表面积为__________． 16. 已知复数是纯虚数，则实数______. 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝，c＝2. （1）求角B的大小； （2）求sinC的值. 18. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 19. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴华中学2025—2026学年度第二学期日常练习2 高一 数学学科 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由平面向量加法的平行四边形法则求解即可. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2. 复数下列说法正确的是（ ） A. z的模为 B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. z的共轭复数表示的点在第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得，然后求出模长、共轭复数可判断选项. 【详解】， z的模为，故A正确； z的虚部为，故B错误； z的共轭复数为，故C错误； z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误. 故选：A. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 故选：A. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，根据直线与平面垂直的性质得到C正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与异面，即B错误； 对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确； 对于D，若，，，则与的关系为平行、相交或异面，故D错误； 故选：C 5. 在中，，，则（ ） A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合大边对大角，得到的范围，进而求得. 【详解】∵，，， ∴根据正弦定理，得： ， 又，得到，即， 则或． 故选：C 6. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ） A. － B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解. 【详解】解：由题意，在上的投影向量为． 故选：B． 7. 圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆锥展开图为半径为的半圆，得出其弧长等于圆锥的底面圆周长，可得出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的表面积公式可计算出圆锥的表面积. 【详解】一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图为半圆， 半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为， 设圆锥的底面半径是，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是， 圆锥的表面积为．故选B． 【点睛】本题考查圆锥表面积的计算，计算时要结合已知条件列等式计算出圆锥的相关几何量，考查运算求解能力，属于中等题. 8. 如图，在三棱锥中，⊥底面，，则直线与平面所成角的大小为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据⊥底面，判断出为直线与平面所成角，利用三角形为等腰直角三角形求解 【详解】由题意可知，⊥底面，所以为直线与平面所成角，，所以三角形为等腰直角三角形，所以，故选B 【点睛】求解线面角的步骤：先找出线面角，再证明线面角，最后求解线面角． 9. 已知是关于的方程的一个根，，，则（ ） A. B. 16 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将代入方程，结合相等复数的概念求得，即可求解. 【详解】将代入方程， 得，解得，， 所以. 故选：B 10. 如图，直四棱柱的底面是菱形，则与所成的角是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：连接，因为直四棱柱的底面是菱形，所以，又因为直四棱柱的侧棱底面，底面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以，即与所成的角为，故选A. 考点：异面直线所成的角；直线与平面垂直的判定与证明. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知向量，，满足，则_____. 【答案】 【解析】 【详解】，， 因为，所以，解得， 因此. 12. 半径为3的球的体积等于________. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式代入运算即可. 【详解】解：因为球的半径为3，则球的体积为， 故答案为. 【点睛】本题考查了球的体积公式，属基础题. 13. 已知正的边长为4，那么的直观图的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测法的原理进行求解即可. 【详解】如图所示： 在正中，显然， 因此在中，， 过作，垂足为， 因此， 所以的面积为， 故答案为： 14. 如图所示，已知空间图形的底面为正方形，平面，则平面、平面、平面、平面中，与平面垂直的平面有______个． 【答案】3 【解析】 【详解】由平面，平面，则平面平面， 由平面，则，而底面为正方形，则， 由且都在平面中，故平面， 由平面，则平面平面， 由平面，则， 又，，平面， 故平面，平面，故平面平面， 若平面平面，且平面平面， 所以平面平面，与平面平面矛盾， 综上，与平面垂直的平面有3个． 15. 将一个棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的表面积为__________． 【答案】4π 【解析】 【分析】由题意可得，球是正方体的内切球，该球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，再用表面积公式求出表面积即可 【详解】由已知球的直径为2，故半径为1，其表面积是4×π×12=4π， 故答案为：4π． 【点睛】本题考查正方体内切球的几何特征，以及球的表面积公式，属于基础题． 16. 已知复数是纯虚数，则实数______. 【答案】2 【解析】 【详解】由复数是纯虚数， 可得，解得. 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，b＝，c＝2. （1）求角B的大小； （2）求sinC的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理结合角度范围求解即可； （2）法一：根据正弦定理求解； 法二：根据余弦定理求解 【小问1详解】 由余弦定理得：，， 【小问2详解】 法一：，，由正弦定理得： 得： 法二：由余弦定理得，， 18. 已知向量满足 （1）若，求向量的坐标； （2）求与夹角的余弦值； （3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可； （3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 由，知与夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ， 由与垂直， 则， 解得. 19. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接BD，根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可； （2）利用线面垂直的判定定理可得面，再利用面面垂直的判定定理即证． 【小问1详解】 如图，连结，则是的中点，又是的中点， ∴， 又 ∵平面，面， ∴平面； 【小问2详解】 ∵底面是正方形， ∴ ， ∵平面，平面， ∴ ，又， ∴面，又平面， 故平面平面. 20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面分别为棱的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】(1)详见解析; （2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）线面平行的证明则只需在面内找一线与之平行即可，因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC， 所以MN∥AB．（2）线面垂直则需要在面内找两根相交线与之垂直，因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 【详解】（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC， 又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC， 所以MN∥AB． 又平面PAB，平面PAB，所以MN∥平面PAB． （2）因为AP=AD，M为PD的中点， 所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD， 又平面PAD∩平面ABCD= AD，CD⊥AD，平面ABCD，所以CD⊥平面PAD． 又平面PAD，所以CD⊥AM． 因为CD，平面PCD，， 所以AM⊥平面PCD． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $