3.4.2 相似三角形周长和面积的性质 课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长与面积的性质，通过问题导入（从全等三角形周长面积关系引出相似三角形的探究），经特殊值（相似比2）到一般化（相似比k）的推导，再拓展至相似多边形，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光（观察全等与相似的联系），通过逻辑推理（推导周长比与面积比公式）发展数学思维，结合实例（平移问题、平行四边形中相似三角形计算）与课堂检测，助力学生用数学语言解决问题。既提升学生探究与推理能力，也为教师提供结构清晰、实例丰富的教学资源。

第2课时 相似三角形周长和面积的性质 第三章　图形的相似 4 探究与应用 两个全等三角形的周长和面积都相等,那么两个相似三角形的周长和面积有怎样的关系呢? 探究 相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系 问题导入 解:略 (1)如果△ABC∽△A'B'C',相似比为2,那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少?面积比呢? 解:(1)△ABC与△A'B'C'的周长比是2,面积比是4. 尝试思考 (2)如图3-4-6,如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗? 图3-4-6 解：(2)由题意,得===k, ∴===k. 如图,分别作△ABC和△A'B'C'的高CD,C'D'. 图3-4-6 ∵△ABC∽△A'B'C', ∴==k(相似三角形对应高的比等于相似比). ∴==·=k2. 相似三角形面积比的性质的“两点注意” (1)相似三角形的面积比等于相似比的平方,不要与周长比混淆. (2)在应用性质“相似三角形的面积比等于相似比的平方”时,注意由相似比求面积比时要平方;反过来,由面积比求相似比时要开平方. 防 易错 相似三角形周长比和面积比的性质定理:相似三角形的周长比等于　　　　,面积比等于　　　　　　　.  概括新知 相似比 相似比的平方 (1)两个相似四边形的周长比等于相似比吗?两个相似的n边形呢? 思考交流 解:(1)根据等比性质可知两个相似四边形的周长比等于相似比, 两个相似的n边形的周长比等于相似比. (2)两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗?你能利用相似三角形的性质说明吗?两个相似的n边形呢? 解：(2)等于.根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,类比可得两个相似四边形的面积比等于相似比的平方,两个相似的n边形的面积比等于相似比的平方. 相似多边形周长比和面积比的性质:相似多边形的周长比等于 　　　　,面积比等于　　　　　　　.  概括新知 相似比 相似比的平方 如图3-4-7,已知△ABC∽△DEF,AB=3,DE=2,若△DEF的周长为8,则△ABC的周长为　　　　.  应用一 　利用相似三角形周长之比和面积之比进行计算 例 1 12 图3-4-7 已知△FBC∽△EAD,它们的周长分别为30和15,若边FB上的中线长为10,则边EA上的中线长为　　　　.  5 变式1 两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm,它们的周长之差为12 cm,那么大三角形的周长为　　　　.  30 cm 变式2 (教材典题)如图3-4-8,将△ABC沿BC方向平移,得到△DEF,△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S△ABC的一半.已知BC=2,求△ABC平移的距离. 例 2 图3-4-8 解:根据题意,可知EG∥AB, ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似). ∴=（ ）2=(相似三角形的面积比等于相似比的平方), 即=.∴EC2=2.∴EC=. ∴BE=BC-EC=2-, 即△ABC平移的距离为2-. 图3-4-8 (1)已知一个四边形的边长分别为3,4,5,6,与它相似的四边形的最短边长为4,那么这个相似四边形的周长是　　　　;  (2)两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和4.5 cm.如果它们的面积和为78 cm2,那么较大多边形的面积为　　　　cm2.  应用二 　利用相似多边形周长之比和面积之比进行计算 例 3 24 54 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.两个相似三角形的周长比是1∶2,则其相似比是 (　　) A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.1∶4 | 课堂检测 | B 2.已知△ABC∽△DEF,且AB=3,DE=6,若△ABC的面积为20,则△DEF的面积为 (　　) A.5 B.40 C.80 D.无法计算 C 3.已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3∶2,△ABC的周长为24,则△DEF的周长为　　　　.  16 4.如图3-4-9所示,在▱ABCD中,AE∶EB=1∶2. (1)求△AEF与△CDF的周长比;   图3-4-9 解:(1)∵AE∶EB=1∶2, ∴AE∶AB=1∶3. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD. ∴∠EAF=∠DCF,∠AEF=∠CDF. ∴△AEF∽△CDF. ∴C△AEF∶C△CDF=AE∶CD=AE∶AB=1∶3, 即△AEF与△CDF的周长比为1∶3. (2)如果S△AEF=6 cm2,求S△CDF和S△ADF. 图3-4-9 解:(2)∵△AEF∽△CDF, ∴S△AEF∶S△CDF=(AE∶CD)2, 即6∶S△CDF=(1∶3)2. ∴S△CDF=6×9=54(cm2). ∵==, ∴S△ADF=3×6=18(cm2). $