3.1 第1课时 比例线段及相似多边形（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册
第3章 图形的相似
3.1 成比例线段
第1课时 比例线段及相似多边形
【学习目标】
1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比．
2.理解成比例线段的概念及掌握成比例线段的判定方法．
3.理解相似的概念，会判断相似图形；理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念，掌握相似三角形的性质．
4.通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识．
学习重点：准确计算两条线段的比；理解相似多边形、相似比的概念.
学习难点：成比例线段的判定；相似多边形的性质．
【复习导入】
【合作探究】
探究点一：线段的比和成比例线段
[合作探究]
你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？
[归纳总结]
形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”.
因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.
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概念引入：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成
=
，
其中，线段AB，CD分别叫作这个线段比的前项和后项．
如果把表示成比值k，那么=k，或AB=k•CD．两条线段的比实际上就是两个数的比．
[练一练]
- 若线段AB＝6 cm，CD＝4 cm，则
.
- 若线段AB＝8 cm，CD＝2 dm，则 .
思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？
3.已知线段 AB＝8 cm，A'B'＝2 cm，AB : A'B' 的比为 ，AB : A'B' 的比值为 ，AB＝ A'B'.
4. 如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB＝5 cm，A'B'＝3 cm，AB : A'B'＝ . 就是线段AB与线段A'B'的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系.
[操作·思考]
如图，已知小方格的边长均为1，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的顶点都在格点上．
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问题1：AB，AE，A′B′，A′E′的长度分别是多少？
问题2：分别计算
，
，
，
的值，你发现了什么？
概念引入：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即
=
，那么这四条线段a，b，c，d叫作成比例线段，简称比例线段．在图中，AB，A′B′，BC，B′C′是成比例线段，AB，BC，A′B′，B′C′也是成比例线段．
[典例精析]
例1 判断下列线段 a、b、c、d 是否是成比例线段：
（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；
（2）a＝2，b＝
，c＝2
，d＝5
.
注意:
1.若 a : b = k，说明 a 是 b 的 k 倍；
2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；
3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；
4.除了 a = b 外，a : b ≠ b : a， 
与 
互为倒数.
探究点2：比例的基本性质
[思考交流]
如果a，b，c，d四个数成比例，即 = ，那么ad=bc吗？
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