湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试数学自编试卷（人教A版）

**基本信息** 高二数学期末卷涵盖函数、概率、几何等模块，以智能阅卷概率、斐波那契数列文化、饮品销量统计等情境设计问题，考查数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|函数性质、向量运算、概率计算、双曲线定义|智能阅卷概率题结合实际应用，多选题综合考查知识关联| |填空题|3题/15分|数列递推、双曲线离心率、向量集合概率|向量集合概率题创新设计，融合集合与概率考查数学表达| |解答题|5题/77分|概率分布、椭圆综合、统计回归、立体几何、导数应用|饮品销量统计建模（数学语言），立体几何体积范围探究（数学思维），导数多问分层设计（数学眼光）|

湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C B C C C A AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】利用复数运算法则计算出后，再利用模长公式即可得. 【详解】，故. 2．C 【详解】因为，所以是假命题，是真命题； 若，则；若，则， 故是真命题. 3．C 【分析】先利用组合数性质得出x=3，再利用排列数公式计算。 【详解】因， 则或， 解得或，因，则， 则。 4．B 【详解】设该题目被正确批改为事件, 事件为调用甲系统，概率为，正确率为， 事件为调用乙系统，概率为，正确率为， 事件为调用丙系统，概率为，正确率为， 由全概率公式得：． 5．C 【分析】利用三角和差公式，结合正切商数关系求解． 【详解】， ， 即， 则，又， ， 解得． 6．C 【分析】根据题意可得，，再结合模长公式及数量积的运算律求解即可． 【详解】，即， ， ，则， 又 ， 即的模可以为，不可能为． 7．C 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 8．A 【分析】设g（x）＝，根据已知条件可得函数在定义域上单调递减，从而将不等式转化为的解集，从而可得出答案. 【详解】解：设＝， 则＝， ∵，∴， ∴，∴y＝g（x）在定义域上单调递减， ∵ ∴＝， 又＝， ∴， ∴， ∴的解集为． 故选：A． 9．AD 【分析】应用辅助角公式化简函数式，从而得到，结合图象分析判断各项的正误. 【详解】函数，， 所以，即的图象是的图象向右平移个单位长度得到， 所以与有相同的最小正周期和值域，但是对称中心不同，零点不同． 10．ACD 【分析】求出双曲线中，然后逐项判断即可． 【详解】因为双曲线C：，所以，，． 对于A，C的离心率为，故A正确； 对于B，左焦点，渐近线方程为， 所以点到渐近线的距离为，故B错误； 对于C，在中，，所以为直角三角形， 由得， 所以的面积为，故C正确； 对于D，由得， 所以椭圆的离心率为，故D正确． 11．ABD 【分析】利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A；推导出，分别令取偶数，奇数和正整数，结合累加法求解，可判断BCD． 【详解】，，，，，故A正确； 对任意的，，则， 当取偶数时，得， 相加得 则，又， 则，故B正确； 对任意的，，则， 当取奇数时，得， 相加得 则，故C错误； 对任意的，，则， ，故D正确. 故选：ABD． 12．/ 【分析】首先根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求. 【详解】因为， 所以，，，，…， 所以数列是周期为3的数列，. 故答案为：. 13． 【分析】利用在以为直径的圆上得到为直角，结合双曲线右支的定义和直线的斜率得到直角三角形三边关系，再由勾股定理推导出双曲线的离心率. 【详解】因为在以为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得， 即是直角三角形，斜边， 因为直线斜率为，所以中两直角边满足， 在双曲线右支上，由双曲线定义， 代入得，， 由得，化简得，即， 因此离心率. 14． 【分析】根据定义结合古典概率计算公式可填第一空；根据定义确定随机变量的可能取值，再结合定义和计数原理求，由此可得分布列，结合期望公式可得，再分别计算，，化简可填第二空. 【详解】里边元素个数为，任取两个不同向量，基本事件数为， 从集合中任取两个不同的向量，若， 则有两个对应位置上的值均为1， 这要求一个向量恰有2个分量为1，另一个向量3个分量全为1， 其中分量全为1的向量只有1个，即； 恰有2个分量为1的向量有个， 因此满足条件的向量对有， 故的概率为； 若，则，，与为不相等的向量矛盾， 所以随机变量的可能取值有， 对于的随机变量，在坐标与中有个对应位置上的值均为1，剩下个对应位置上的值有3种对应关系， 且个对应位置上的值不能同时为0，否则，两个向量相等， 此时所对应情况数为种. 中元素的个数为个，所以. 所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望为. 首先计算： 设， 两边求导得，， 两边乘以后得， 令，得， 所以 所以. 下面计算： 因为， ， ， ， 因为， 所以，所以. 所以. 15． 3 期望；方差。 【分析】分别求得所有可能取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得结果. 【详解】由题意知：所有可能的取值为，则， 故的分布为 ，， ，； 所以的分布列为： 3 ； . 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程得到，，求出，代入求解即可. （2）根据求出及直线的方程，与椭圆联立求解即可. （3）直线与椭圆方程联立，结合得到的范围；根据点在圆外得到，进而得到，结合向量数量积及韦达定理得到关于的不等式，求交集即可. 【详解】（1）由椭圆方程可得，，，则， 所以. （2）由题意知，，，. 设直线的斜率为，直线的斜率为，则. 因为，所以，所以直线的方程为. 联立，整理得，解得或. 因为点位于轴右侧，所以点的横坐标为. （3）设，， 联立，整理得， ，所以，即. 则，. 因为圆上任意一点与直径两端点连线所成的角为直角，而点在以为直径的圆外， 所以，等价于. 又，， 所以 ， 则，即，解得或. 又，所以或. 故实数的取值范围为. 17．(1)样本相关系数约为 (2)经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯 【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可. （2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测. 【详解】（1）样本均值，， 则， ， 因此. （2）回归系数， 截距， 故经验回归方程为. 将代入回归方程，得， 即第7天销量预测为450杯. 18．(1)因为和都是边长为4的正三角形， 且点为中点，所以，， 而，面，可得平面， 而平面，所以平面⊥平面. (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定得到平面，再结合面面垂直的判定定理求解即可. （2）利用等体积法求出点面距离，构造线面角，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. （3）利用面面平行并结合相似的性质得到，再结合面面垂直的性质得到平面，最后利用棱锥的体积公式求解出解析式，最后结合二次函数性质得到范围即可. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 由（1）知平面，且是边长为的等边三角形. 所以， 而，，， 代入得到，解得， 设直线与平面所成角为. 则，即为所求. （3）如图，作出符合题意的图形， 由题意得平面平面，平面，故， 设，且，， 由题意得，则，得到， 由已知得，而，设，则， 由相似性质得，则，， 可得， 过在平面内，作，则由（1）知平面平面， 而面，可得平面，故为到平面的距离， 因为是边长为的正三角形，所以， 则， 令，由二次函数性质得当时，取得最大值， 而，则取得最大值， 当时，可得，当时，可得，故. 19．(1)当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． (2) (3) 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【详解】（1）， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． （2）令，则． 令，则．         所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，，       所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． （3）因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市芙蓉区2025-2026学年高二下学期期末考试自编试卷 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知，则（      ） A． B． C． D． 2．已知命题，；命题，，则（      ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．若（），则（    ） A．20 B．120 C．60 D．135 4．学校测试智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为，，．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（    ） A． B． C． D． 5．已知，若，则（    ） A． B． C． D． 6．模长都为1的平面向量满足，则的模不可能是（    ） A． B． C． D． 7．函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   8．已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9．已知函数与，则与（    ） A．有相同的最小正周期 B．有相同的零点 C．有相同的对称中心 D．有相同的值域 10．已知O为坐标原点，，分别是双曲线C：的左、右焦点，点A在C上且，则（    ） A．C的离心率为2 B．点到C的一条渐近线的距离为3 C．的面积为3 D．以，为焦点且经过点A的椭圆的离心率为 11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列满足，，则__________. 13．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 14．集合（为向量），若，定义.若从集合中任取两个不同的向量，则的概率为___________；若从集合中任取两个不同的向量，记，则______________. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．一个不透明袋子中有2个白球与4个黑球（大小质地均相同）．每次操作中，从袋子中随机摸出一个球，记录球的颜色，再放回袋子中，共进行三次操作．定义随机变量为这三次操作中摸出的黑球总数．求的分布、期望与方差． 16．设椭圆：的左顶点为 (1)求的离心率 (2)设的左焦点为，上顶点为，若点在上且位于轴右侧，，求点的横坐标 (3)设直线：，与交于不同的两点和，若点在以为直径的圆外，求实数的取值范围 17．某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 (1)求样本相关系数；（精确到0.01） (2)求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 18．已知四面体中，和都是边长为4的正三角形，，点为中点，连接、. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)过点作平面平行于直线，平面与四面体的棱，分别交于点，，求四面体体积的取值范围. 19．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围； (3)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $