精品解析：湖南省长沙市芙蓉高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高二期末考试数学试卷 本试题满分150分，考试时间：120分钟 姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 4 D. 6 3. 若函数是幂函数，则实数的值是（ ） A. 1或 B. C. 2 D. 或2 4. 函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 6. 已知复数为虚数单位，为z的共轭复数，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的图象与直线相切，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量的均值为6，方差为2，则随机变量的均值和方差分别为19，18 B. 一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变小 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 11. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数定义域为______. 13. 二项式的展开式中的系数是______________． 14. 某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 m 2 1 由表中数据可得回归方程．则m值_______． 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 16. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 17. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 18. 已知等差数列公差是-2，等比数列的公比是2，若. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长沙市芙蓉高级中学2025年上学期高二期末考试数学试卷 本试题满分150分，考试时间：120分钟 姓名：______班级：______考号：______ 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算即可. 【详解】∵，， ∴ 故选：C. 2. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的妙用，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 故的最小值为， 故选：B 3. 若函数是幂函数，则实数的值是（ ） A 1或 B. C. 2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【详解】由幂函数的定义知，解得或． 4. 函数零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【详解】由，得函数有2个零点． 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】利用周期公式可得． 6. 已知复数为虚数单位，为z的共轭复数，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，进而求出及对应点坐标即可. 【详解】依题意，，则， 所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 7. 小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 8. 若函数的图象与直线相切，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出切点，由导函数几何意义得到方程，得到，故切点为，将其代入中，可求得的值. 【详解】设的图象与直线相切于点， 由题意知直线的斜率为2，，故， 解得，故切点纵坐标为， 又在上，故， 即，解得， 故. 故选：B. 二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 已知向量，点，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量模长的坐标表示即可判断AB；根据向量垂直和平行的坐标表示即可判断CD. 【详解】因为，所以，故A错误，B正确； 若，则，得，故C正确； 若，则，得，故D正确． 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知随机变量的均值为6，方差为2，则随机变量的均值和方差分别为19，18 B. 一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变小 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用极差和方差的性质判断A；利用平均数和方差的计算公式判断B；利用独立重复试验的概率公式判断C；利用正态密度曲线的对称性判断D. 【详解】对于A，数据的均值为6，则数据的均值为， 数据的方差为2，则数据的方差为，A正确； 对于B，，若再插入一个数，则平均数变为，即平均数不变， 而原来的数据的方差为， 新数据的方差为，方差会变小，B正确； 对于C，随机变量，则，C错误； 对于D，随机变量，且，则，D正确. 故选：ABD 11. 已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（ ） A. 直线与圆C相离 B. 的面积为12 C. 当最小时， D. 点P到直线距离的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系的判定方法，可得判定A正确；由点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，可判定B错误；当当最小时，直线与圆相切，利用切线长公式，可判定C正确；根据圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 对于A中，圆心坐标到直线的距离为， 所以直线与圆相离，所以A正确； 对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误； 对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确； 对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误． 故选：AC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 13. 二项式的展开式中的系数是______________． 【答案】28 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于1，求出的值，即可求得的系数． 【详解】解：二项式的展开式的通项公式为， 令，解得， 故的系数为， 故答案为：． 14. 某小吃店的日盈利y（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 m 2 1 由表中数据可得回归方程．则m值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出样本中心点的横坐标，再根据回归直线方程过样本中心点求出样本中心点的纵坐标，最后根据的计算公式求出的值. 【详解】已知数据分别为，，，，，样本数量. 根据样本均值公式可得：. 因为回归直线方程必过样本中心点，把代入回归方程中，可得：. 已知数据分别为，，，，，样本数量，且. 根据样本均值公式可得：，即， 得：，可得. 故答案为：2. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求B； （2）若，，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用余弦定理进行求解； （2）先利用同角三角函数关系得到，再使用正弦定理求解即可. 【小问1详解】 变形为：， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 16. 如图，在四棱锥中，，. （1）证明：平面； （2）若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2）20 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【小问1详解】 因为，，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 17. 某市为了改善交通状况，实行“小红帽”志愿者服务，协助交警参与交通疏导．现对某单位参与志愿服务次数进行统计，随机抽取40名职工作为样本，得到这40名职工参加“小红帽”志愿者服务的次数．根据所得数据，按分成六组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）若该单位有职工200人，试估计该单位参加志愿服务次数不低于15次的总人数； （3）试估计该单位职工参与志愿服务次数的中位数． 【答案】（1） （2） （3）15.3125 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1可求得的值. （2）首先求出该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率，从而求得人数. （3）根据中位数的概念即可求出该单位职工参与志愿服务次数的中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 【小问2详解】 由图可知该单位参加志愿服务次数不低于15次的频率为， 则该单位参加志愿服务次数不低于15次的人数为． 【小问3详解】 因为， 所以该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值在内． 设该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为，则， 解得，即该单位职工参与志愿服务次数的中位数的估计值为15.3125． 18. 已知等差数列公差是-2，等比数列的公比是2，若. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案. （2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【小问1详解】 等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. 【小问2详解】 记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 19. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$