湖南衡阳市衡阳县2025-2026学年高二创新实验班下学期6月期末质量检测数学试题

衡阳县2026年上学期高二创新实验班期末质量检测试题 数学 考生注意： 1.本试卷共四大题，19小题，满分150分，考试时量120分钟。 2.试卷分为试题卷和答题卡两个部分；答題前，考生务必把自已的姓名、考号、学校填写在答题 卡上。 3.将答案写在答题卡上。写在试题卷上无效。 4.考试结束后，将答题卡上交。 第I卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的)》 1.已知全集U=R,集合A={xlx2-3x-4>0},B={xly=lnx,则AnB=() A.(4,+∞) B.[-1,4] C.[-1,0] D.(-∞，-1)U(0,+∞) 2在复平面内，复数2“对应的点位于() 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁4名同学计划在以下4个地方各选 1处进行活动(1处1人不重复)：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟文化园；④琼瑶 祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这4名同学不同去法有( )种 A.10 B.12 C.14 D.16 4E知双胞线C号卡=1(00,60的左右熊点分别为F,R,MN为双自线条渐近线上的两点 为双曲线的右顶点，若四边形MF,NE,为矩形，且∠MAW=5严，则双曲线C的离心率为() 6 A.5 B.√3 C.②I D.万 3 5.已知函数f(x)=sinx+cosx,则函数g(x)=[fx)]2( A.值域为[-1,1] B在区间受.0上单调递增 C.最小正周期为2π D.图象关于点(0,1)成中心对称 6.已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则此时圆锥 内的水面高度为() 高二数学第1页（共4页） k司 B.324 C.25 D.326 7.已知点F是抛物线y2=2px(P>0)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为k,且k>0, C、A两点在x轴上方.则下列结论中不成立的是( A.c.OD B.四边形ACBD面积最小值为16p 11 C.TABTCD2P D.若|AF|·|BF=4p2,则直线CD的斜率为-√5 8.已知函数f(x)=x+mxe-m2“(其中e为自然对数的底数)有三个零点，则实数m的取值范围为( 1 A.m7e(e-1) 1 B.m2e(e-10 c.0<m<e(e-1) 1 D.0<m≤e(e-l) 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的是() A.一组数5,7,9,11,3,13,15的第60百分位数是11 B.若随机变量5，n满足刀=3-2，D(5)=3,则D(7)=9 C.一组数据(y)(1≤i≤15，ieN)的线性回归方程为=3x+2,若元=2，则y=8 D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记选取的 男生人数为X,则X服从超几何分布 10.已知函数f代x)=2+3),其中[x]表示不超过x的最大整数.例如：[1]=1，[0.5]=0，[-0.5]= -1.以下结论正确有( 得劉专 B.集合{yeRly=f(x),xeR的元素个数为9 C.存在aeR,对任意的x∈R,有fa-x)=f(a+x) D)>x+a对任意xe[0,2m]都成立，则实数a的取值范围是(，号-2m 11.某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮 次，若投中次数不低于投篮次数的50%，则通过考核，学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率 为0.9，每次是否投中相互独立.若n=3,记甲通过考核的概率为P1,若n=20,记甲通过考核的概率 为P2,若n=21,记甲通过考核的概率为P,若n=l9,记甲通过考核的概率为P4,若n=22,记甲通过 考核的概率为P,则( A.P,=0.972 B.P2<P, C.P2<P D.P2<Ps 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.曲线y=elnx+1在x=1处的切线方程是」 13.在锐角三角形ABC中，snA=m(胥+Psm(行B+sinB,则A 高二数学第2页（共4页） 14.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系0-xyz中，已知向量元 =(a,b,c),点P(xo0,o),若平面a经过点P。,且以m为法向量，点P(x,y,z)是平面内的任意一 点，则平面&的方程为“a(x-)+b(y-y0)+c(z-0)=0”.现已知平行六面体ABCD-A,B,C,D,1,平面 CDD,C的方程为x-2y+z-2=0,平面ADD,A经过点E(0,0,1),F(1,1,2),G(2,2,1).平面ACC1A1 的方程为kx-y-2z+1=0(1≤t≤2)，则平面CDD,C,与平面ACC,A1夹角的余弦值的最大值为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤） 15.(13分)从高二一个创新实验班随机抽取6名同学，记为A,B,C,D,E,F,统计这6名同学的期中考试 成绩，现将语文、数学、英语（满分均为150分）三科的成绩制成下表： A 6 C E 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138. (1)求出x,y: (2)若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优势 学科”.现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量X为该同学在语文、数学、英语三科中“优势 学科”的个数，求X的分布列和数学期望， 16.(15分)在数列{an}中，a1=1,am1+an=3×2(n∈N,). (1)求证：{a.-2}是等比数列： (2)若等比数列{bn}满足bn=a1-入a.(入>0). (i)求入的值： (i)记数列{nbn}的前n项和为Sn,若S,·S2=l5S1(ieN),求i的值 17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PAC,BC=2AB=2, LAC=牙 (1)证明：PBLAC: 高二数学第3页（共4页） (2)若侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=APi(0<A<1),过B,D两点作平面a,满足直线AC∥a, 设平面a与PC交于点E,直线PC与平面a所成的角为π，求入的值 6 18.(17分)设f(x)为函数f(x)的导函数，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间D上的凹函 数，区间D称作函数(x)的凹区间；反之，则称(x)为区间D上的凸函数，区间D称作函数f(x)的凸 区间 ()已知函数g()=+宁，求g)的四，凸区间： y=m(x) (2)如图所示为某个凹函数y=m(x)的图象，在图象上任取两个不同的 点A(x1,m(x),B(x2,m(x2),过线段AB的中点C作x轴的垂 线，与函数图象和x轴分别交于D,E两点，则有|CE>DE ①将不等关系CE>DE转化为对应的含x1,x2的不等式； @证明：当《0.2时+北）=字号)恒成立 19.(17分)在平面直角坐标系x0y中，A(-2,0),B(2,0)是两定点，动点T与A、B连线的斜率之积为 (1)求动点T的轨迹方程： (2)过点F(1,0)的直线1与T的轨迹相交于点P,Q,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点M,N. (i)证明：MF⊥NF: (ii)记△PFM,△QFN,△MFN的面积分别为S1,S2,S,且S号=20S,S2,求直线1的方程 高二数学第4页（共4页）2026年上学期高二创新实验班期末质量检测 数学答案 一、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知全集U=R,集合A={xx2-3x-4>0,B={xy=lnx},则AnB=() A.（4,+o) B.[-1,4] c.「-1,0] D.（-o,-1)U(0,+o) 【答案】A 2 2.在复平面内，复数 -i2026对应的点位于（) 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 3.衡阳县历史悠久，名人众多，在一次社会实践活动中，甲、乙、丙、丁4名同学计划在以下4 个地方各选1处进行活动(1处1人不重复)：①夏明翰纪念馆；②湘西草堂（王船山故居）；③玉麟 文化园；④琼瑶祖居.其中甲不去夏明翰纪念馆，乙不去琼瑶祖居，则本次活动这4名同学不同去 法有()种。 A.10 B.12 C.14 D.16 【答案】C 4.已知双曲线C: 京尔=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为R,R,M,N为双曲线一条渐近线 x2 y2 上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形MN5,为矩形，且∠MAN=5江 ，则双曲线C的离心率 6 为() A.5 B.√13 c.21 D.√7 3 【答案】B 【详解】因为四边形MNF2为矩形，所以MW=FE引=2c,(矩形的对角线相等)， 所以以MW为直径的圆的方程为x2+y2=c2.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为 b x=a y= x=-a 一x,由了 ,解得 x2+y2=c2 =6或=-6 所以N(a,b),M(-a,-b)或N(-a,-b),M(a,b): 不妨设N(a,b),M(-a,-b),又A(a,0),所以AM=V(a+a+b2=V4a2+, lAN=V(a-a}+b=b.在△AMW中，∠MAw=S 6 由余弦定理得N=AM+AW-2 4MIl4N-cos 6 高二数学答案 第1页（共16页） 即4c2=4a2+b2+b+V3x√4a2+bxb,则2b=√3x√4a2+b,所以4b2=3(4a2+b2),则 b2 b2=12a2,所以e=1+ M 故选：B 5.已知函数f(x)=six+cosx,则函数g(x)=[f(x)]了() A.值域为[-1，] B.在区间 0 上单调递增 C.最小正周期为2π D.图象关于点(0，)成中心对称 【答案】D 6.已知一个圆锥的高是3，在正放（底面水平放置）时该圆锥内水面高度为2，现将圆锥倒置，则 此时圆锥内的水面高度为() B.324 C.25 D.26 【答案】D 【详解】如图，设圆锥底面半径为r,由相似比可知 %号2，即08 O1---------B AKO::B' B 所以水的体积为2x3 1r)2 将圆锥倒置后，水的体积不变，所以πOB×P0二)9和2() Q_0B,即0B=3，代入(*)可得 PO r 高二数学答案 第2页（共16页) (P9xPq-治，银为P0=s故D 7.已知点F是抛物线y2=2Px(p>O)的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD,AB的斜率为 k,且心0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中不成立的是() A.0c0D=-3p B.四边形ACBD面积最小值为16p2 41 1,11 C.BCD2p D.若AFBF=4p2,则直线CD的斜率为-√5 【答案】B 【详解】设B的领斜角为0，则有ABF。 2p 2p sin20+r） cos20,所以 （2 1 11 ABCD2p,C正确： IAFF1-cos0' P 2'tan0=3 B片+8oD若hFB=4p,则sn0= 3 直线CD的斜率为-√3，D正确： SCDi 2p2 =8p2 sin20cos20 sin220 ≥82，所以B不正确： 设C(,,D(,⅓)，由抛物线过焦点弦的性质可知，45= 4%=p2, OC.OD=xx+y=- p,所以A正确.故选：B. 3 0 F 8.已知函数f(x)=x2+mxe-me2x(其中e为自然对数的底数)有三个零点，则实数m的取值范 围为() 1 1 A.m> e(e-1) B.m≥ e(e-1) c.0<m< 1 D.0<m (e-1) e(e-1) 【答案】C 高二数学答案 第3页（共16页） 【详解】令f(x)=0,可得x2+mxe-me2r=0台 +m之-m=0, 令1=8()去，则g)-2,令g(因=0，解得x=1, 当x>1时，g(x)<0,当x<1时，g(x)>0 所以g(x)在(-o,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， g(x)图象如下图所示： 所以g()=g0=。令p0=+mt-m,te(-o日， 1 因为函数有三个零点， 设p(t)=t+mt-m的两根分别为t,t2, △=m2-4(-m)>0, 解得m>0或m<-4 则4，t2有下列三种情况， 1)当》6-日时，将6上#入方程， +m-m=0, e -可青入方程，即0t+G可'e可=0， 1 1 1 解得m= 解得-=故去 2)当4=0时，将5=0带入方裙则m=0,0)-,不满起=a》 故舍 去 p(0)<0 m>0 当 (3) 1 2<0时， 1,所以0<m< m<- e(e-1) Ie(e-1) 故选：C 二、多选题 9.下列说法正确的是() A.一组数5,7,9,11,3,13,15的第60百分位数是11 B.若随机变量5,7满足7=35-2，D(5)=3,则D(7)=9 C.一组数据(x,y)1≤i≤15，ieN)的线性回归方程为=3x+2,若x=2,则=8 D.某学校要从12名候选人（其中7名男生，5名女生）中，随机选取5名候选人组成学生会，记 选取的男生人数为X,则X服从超几何分布 高二数学答案 第4页（共16页） 【答案】ACD 【详解】数据组为5,7,9,11,3,13,15，排序后为3,5,7,9,11,13,15. 计算第60百分位数： 根据人教版教材方法，位置计算为n×p%=7×0.6=4.2,向上取整到第5个位置，对应数值11， 因此选项A正确； 选项B分析： 随机变量7=35-2，已知D(5)=3,根据方差性质： 方差线性变换公式为D()=32×D()=9×3=27,选项B中D()=9错误； 选项C分析： 线性回归方程少=3x+2必经过样本均值点(：，)，当x=2时，代入方程 得y=3×2+2=8,选项C正确； 选项D分析： 从12名候选人(7男5女)中不放回地抽取5人，男生人数X服从超几何分布H(12,7,5),选项D 正确故选：ACD. 10.己知函数f(x)=2sm时+3o,其中[x]表示不超过x的最大整数.例如：[]=1，[0.5]=0， 【0.5]=-1下结论正确结论的有(). 2 A.f 33 B.集合{y∈R|y=f(x),x∈R}的元素个数为9； C.存在a∈R,对任意的x∈R,有f(a-x)=f(a+x); D.f(x)>x+a对任意x∈[0,2π]都成立，则实数a的取值范围是 0,2 2 【答案】AD 【详解】对于A,由f(x)=25m+3os知， f-2引+3-2月+3月-2”+34，散A正骑 2 对于B,由周期性可知，f(x)的周期为2π，故讨论x∈0,2π即可， 易得当x=0时，f(x)=2°+3=4，当x=时，f(x)=2+3°=3， 高二数学答案 第5页（共16页） 当=时f-24-子当=经味-2”+ 2 当x=2m时，f()=2°+3=4，当x∈(5)时，f()=2°+3=4 当xe0孕时.国=2+=2，当xea时，f)=2+3 6 当x∈(3,2m)时，f(y)=2+3”=多，故该集合元素个数为6，故B错误， 对于C,显然在x∈[0,2π]时，f(x)的值域不关于x=a对称， 故f(x)不关于x=a对称，即f(a-x)≠f(a+x),故C错误， 对于D,当x=0时，f(x)-x=2°+3-0=4， 当x=5时，f()-x=2+3-=3-。 2 2 当x=2元时，f(x)-x=2°+31-2元=4-2元， 当xe02时，f()-x=2°+3”-x=2-xe2-22, 当时.=2+3-名店经 62’6 - 而f(x)>x+a对任意x∈[0,2π]都成立，故a<f(x)-x恒成立， 令g(x)=f(x)-x,即a<g(x)mim,而显然g(x)> 3-2, 可得a≤3-2π恒成立，即a%)2)砂 故D正确.故答案为：AD 11.某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学 生投篮次，若投中次数不低于投篮次数的50%，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投 篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若n=3,记甲通过考核的概率为？，若n=20,记甲通 过考核的概率为P,若n=21,记甲通过考核的概率为P3,若n=19,记甲通过考核的概率为 高二数学答案第6页（共16页） P,若n=22,记甲通过考核的概率为P,则() A.=0.972 B.B<乃 C.P<P D.B<P 【答案】AD 【详解】记甲的投中次数为X,则X~B(n,0.9) 对于A选项，当n=3时，甲通过考核最少要投中2次，D=C0.92×(1-0.9)+0.93=0.972,A 正确。 对于B选项，当n=20时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为X≥11，X=10,X≤9。 P=P(X≥11)+P(X=10) 当n=21时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21次不管投中与 否都通过考核： 若前20次投中10次，则第21次投中才能通过考核；若前20次里投中次数不超过9，则第21次不 管投中与否都不能通过考核， =P(X≥11)+0.9P(X=10),显然P>,B错误. 对于C选项，当n=19时，将甲的投中次数分为以下3种情况，分别为X≥10，X=9,X≤8. P=P(X≥10) 当n=20时，若前19次里投中次数不少于10，则第20次不管投中与否都通过考核； 若前19次投中9次，则第20次投中才能通过考核；若前19次里投中次数不超过8，则第20次不 管投中与否都不能通过考核！ P=P(X≥10)+0.9P(X=9),显然P>P,C错误 对于D选项，当n=20时，将甲的投中次数分为以下4种情况，分别为 X≥11，X=10,X=9,X≤8. P=P(X≥11)+P(X=10) 当n=22时，甲通过考核最少要投中11次.若前20次里投中次数不少于11，则第21,22次不管投 中与否都通过考核； 若前20次投中10次，则第21,22次至少要投中1次才能通过考核： 若前20次投中9次，则第21,22次都投中才能通过考核； 若前20次里投中次数不超过8，则第21,22次不管投中与否都不能通过考核， P=P(X≥11)+0.99P(X=10)+0.81P(X=9), 高二数学答案 第7页（共16页） E-E=0.01P(X=10)-0.81P(X=9)=0.01[P(X=10)-81P(X=9)] 20 -×0.9 P(X=10)C80.90×1-0.9)1°_1010 99 Px=9-C09×1-09y20×1-0.9)10 81,所以 911！ P(X=10)<81P(X=9),P-P<0,P<P,D正确.故选：AD 三、填空题 12.曲线y=elnx+1在x=1处的切线方程是 【答案】ex-y-e+1=0 l3.在锐角三角形ABC中，sin2A=sin π+Bsin 3 -B+sin2B,则A=一 3 【答案】写 14.人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系O-yz中，已知 向量m=(a,b,c),点P(xo,yo,zo)，若平面a经过点，且以m为法向量，点P(x,y,z)是平 面内的任意一点，则平面的方程为“a(x-x)+b(y-yo)+c(z-2o)=0”.现已知平行六面 体ABCD-AB,CD,平面CDD,C,的方程为x-2y+z-2=0,平面ADDA经过点 E(0,0,1),F(1,1,2),G(2,2,1).平面ACCA的方程为-y-2z+1=01≤t≤2)，则平面 CDD,C与平面ACC,A夹角的余弦值的最大值为 【紧1 【详解】平面CDD,C的方程为x-2y+z-2=0,.平面CDD,C的法向量为元=(1，-2,1)， 同理，平面ACCA1的法向量为元2=(k,-t,-2), 二两平面夹角的余弦值为c0s日=月：店。k+21-2 |n√6V2+t2+4 平面ADDA经过点E(0,0,1),F(11,2),G(2,2,1),∴EF=(1,1,1),EG=(2,2,0), 高二数学答案 第8页（共16页） B6=2x+2y=0,令y=-,则属=-10. m3·EF=x+y+z=0 设ADD4的法向量为元=(xy,z),则 设D0的方向向量为1=(6，，2).则任上瓜→元=x-%=0 E1月f所=x-24+3=0'令%=1，则 t=(1,1,1), :DD,∥平面ACCA,∴.平面ACCA的法向量元2与直线DD的方向向量垂直，即 t:花，=k-t-2=0, ∴.平面CDD,C与平面ACCA夹角的余弦值为 cos0=月克 1k+2t-2 |3t 12 |-nV6Vk2+2+4√6V22+4t+82V2+2t+4 3 1 2 +2+42 W1 2 t 1,12,32,当且仅当t=2时取等号， 4+4) 4 :平面CDD,C与平面ACC,4夹角的余弦值的最大值为)，故答案为： 四、解答题 15.(13分)从高二一个创新实验班随机抽取6名同学，记为A,B,C,D,E,F,统计这6名同学的 期中考试成绩，现将语文、数学、英语（满分均为150分）三科的成绩制成下表： A B E 班级平均分 语文 115 118 124 132 117 119 数学 136 147 123 137 145 139 英语 129 133 131 141 139 125 134 已知这6名同学语文分数的中位数是119分，数学分数的平均数是138. (1)求出x,y; (2)若一名同学的某学科分数与班级平均分的差大于等于5分，则称该学科为这位同学的一个“优 高二数学答案 第9页（共16页） 势学科”现从这6名同学中随机选择一人，记随机变量X为该同学在语文、数学、英语三科中“优势 学科”的个数，求X的分布列和数学期望 【详解】(1)将已知的5个语文成绩从小到大排序得：115,117,118,124,132， 由6名同学语文成绩的中位数是19可知，118+x=119→x=120, 2 由6名同学数学成绩的平均数是138可知， 136+147+y+123+137+145=138→y=140. 6 (2)由题意，A没有优势学科，B、C、E、F均有1个优势学科，D有2个优势学科. X的可能取的值为0,1,2. 故X的分布列为 K 0 1 2 P 6 2-3 1 6 数学期望Ex=0×2+1×名+2x2=1. 6 3 6 16.(15分)在数列{an}中，a=1,a+1+an=3×2”(n∈N+). (1)求证：{an-2}是等比数列； (2)若等比数列{bn}满足bn=an+1-an（2>0), (i)求2的值： (i)记数列{nbn}的前n项和为n若S·S42=15S(i∈N),求i的值， 【详解】(1)因为a1+a,=3×2,所以a1-21=-(a.-2"）, 又a,=1,所以a,-2=-1≠0，所以{an-2}是以-1为首项，-1为公比的等比数列. (2)(i)由(1)可得an-2”=(-1)”,所以an=2”+(-1)”,所以a1=2·2”-（-1)”, 则bn=an+1-an=(2-2)2”-(1+2)(-1)”, 因为数列{b}为等比数列，所以b好=b·b,即(7-52)2=(5-)17-72)， 化简得22-1-2=0，解得2=2或2=-1，又1>0，所以1=2， 高二数学答案 第10页（共16页) 当元=2时，b=-3(-1)”,此时=-1为定值，符合题意： b. (i)由()可知n6.=3n2(-1),当为偶数时，S,=3[12-22）+32-42+…+(亿-12-2 33+7+42-明-3x321 2 21 当为奇数时，S=3[(-2）+32-42+…+i-22-(i-+ =-+++2-明+3=分3+230- 2 3+3,为偶数 所以S 2 31+3是，为奇数 易知S,·S2>0,所以S41>0,所以i为偶数， 3i+32） 3(i+2)+3(i+2)2 因为S·S42=15S1,所以 -2 =15×36++36+1 2 化简得+3i-10=0,解得i=2或i=-5（舍去)，所以i=2. 17.(15分)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面PAC,BC-2AB=2,∠ABC- 3 (1)证明：PB⊥AC; (2)若侧面PAB是等边三角形，点D满足PD=2PA(0<<1),过B,D两点作平面a,满足直线 AC∥a,设平面a与PC交于点E,直线PC与平面a所成的角为 二，求1的值 P 【详解】G①）~BC=21B=2,∠ABC=骨由余弦定理得： AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=5-4cos=3, 3 ,AB2+AC2=BC2,即AB⊥AC,作BF⊥PA,垂足为F, ,平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⌒平面PAC=PA,BFC平面PAB, ∴.BF⊥平面PAC,又ACc平面PAC,∴.BF⊥AC: 高二数学答案第11页（共16页） BF∩AB=B,BF,ABC平面PAB,.AC⊥平面PAB, ,PBC平面PAB,∴.PB⊥AC. (2):ACHa,平面a∩平面PAC=DE,∴.ACIIDE, 又PD=PA(0<<1),.PE=PC(0<元<1) 以点A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴， 过点A垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， .ni ree) m-（0兽小距-c( 丽=m4m-(台小 设平面BDE,即平面a的法向量n=(x,y,z), n-份小99-。 E=--停9小-0 令x=√5-5，解得：y=0,z=1+,∴万=（N5-V32,0,1+ :直线PC与平面a所成角为石 5 g-oc丙20-++ 制得：天=方满足0<<1，入=分 高二数学答案 第12页（共16页） 18.(17分)设f'(x)为函数f(x)的导函数，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间 D上的凹函数，区间D称作函数f(x)的凹区间：反之，则称f(x)为区间D上的凸函数，区间 D称作函数f(x)的凸区间. y=m(x） a)已知圆数g(冈=nr+分式，求g()的、A区间： (2)如图所示为某个凹函数y=m(x)的图象，在图象上任取两个不同的点A(x,m(x), B(x2,m(x2),过线段AB的中点C作x轴的垂线，与函数图象和x轴分别交于D，E两点，则 有CE>DE. ①将不等关系CE>DE转化为对应的不等式： ②证明：当x,y∈(0,2)时， ++小（告+名立 【详解】(1)因为g(x)=lx+)2的定义域为(0，+o),g'(x)=1+x, 设G()=,则G因)=1上 =x2 当x∈(0,1)时，G(x)<0,当x∈(1，+oo)时，G(x)>0, 故G(x)=g(x)在x∈(0,1)上单调递减，在x∈(1，+∞)上单调递增， 所以g(闭=x+号x的四区间为化+o）,凸区间为(0,1)： (2)①对于凹函数y=m(x)定义域中的任意两个自变量x,x2(x≠x2) mm》.c空5，医） 高二数学答案 第13页（共16页） 》兰 团-，p-m告） 由c>D,有飞m】,m 对不9大+》告，边限对医8分不 小ng训罗 恒成立， x+y 2 构道函数4()=hx+》,e(Q2), 即a(+4()22m（号 恒成立， =f-)2◆e0- e0-2+--3x2+1+4忙+1 (x3+x (x3+x)2 令2(x)20,即x4-4x2-1≤0，解得0<x2≤2+√5， 所以0，V2+5是函数h(x)的四区间， (0,2)c0,2+V5 所以当x∈(0,2)时，h(x)凹函数， 由①知， 4(+a)≥2（生'）月 当x=y时，等号成立， 所以xye(0,2)时，(+hA(2≥2n2) 恒成立， ++ 恒成立 高二数学答案 第14页（共16页） 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(2,0)是两定点，动点T与A、B连线的斜 卡之税为号 (1)求动点T的轨迹方程： (2)过点F(1,0)的直线1与T的轨迹相交于点P,9,直线AP,AQ与直线x=4分别交于点 M,N. (i)证明：MF⊥NF; (i)记△PFM,△QFN,△MFW的面积分别为S1,S2,S3,且S=20S,S2,求直线l的方程. 设点Tx,》,由K8=-三知，y ”中2x2-子化简得子+上=1 =一 43 又T与4、B不能重合，所以动点T的锁迹方程为。+”=1x≠2)： 43 (2)(i)可设直线l方程为x=y+1,点P(x1,y),Q(x2,y2) x=y+1 联立 +-1得，(3x+4严+6的-9=0， 43 △=3602+36(3+4)=1442+144>0，则%+hF3+4'3+4' -6t -9 又直线AP、A0方程分别为y=片，(x+2),y=,(x+2), x+2 X2+2 分别与x=4联立，得M 46 N4, x2+2 ∴.FM= ,F=3, 6y2 x+2 (x2+2 ..FM.FN=9+7 36y1y2 、=9+ 36y1y2 =9+ 36y1y2 (x+2)(x2+2)(%+3)(y2+3) tyy2+3t(y+y2)+9 36.9 =9+ °3t2+4 -9t2 —=0,所以，FM⊥FN. +3t -6t 3t2+4 +9 3t2+4 (i)先证明，在任意三角形OST中，若OS=(m,n),OT=(p,q), 高二数学答案 第15页（共16页） 三角形OsT的面积S=-.xos loT sin∠s0T -cosiO5. mp +ng _mg-np 2 FP=(x-1)=(y,), v-6_34(-3) 同理 3y(2-3) +32 y+3 2%2+3 58, 9yy(y-3)(y2-3_9yy[ty2-3(y+y2)+9 4(y+3)(y2+3) ty2+3t(y+y2)+9 -9t2,18t2 =9.9 +9 3t2+43t2+4 81(2+) 43t2+4 -92-18x2 +9 4(32+4 3t2+43t2+4 又8=x3xN=引269%- 9y2 2x+2x2+2 x+2x2+2 9y(y2+3) 9y2(+3) 27(4-2) (+3)(y2+3)(y+3)(少2+3)(+3)(y2+3) 27(y-2) -6t -9 2y2+3(y+y2)+9 因为y+为=3+4%3+4' 6t2 所以以-⅓=+⅓-443+4 36122+1 3t2+43t2+4 故1%+3x(%+为)+9=，9r182 3t2+43t2+4 +9=、36 3t2+4 故S3= 27(y-2) =9V2+1, t22+3t(y+2)+9 由S=20S,S2知，81(2+1)=20 81(:2+1 43t2+4) 解得f=士 3 所以直线l的方程为V3x+y-5=0或V3x-y-V3=0. 高二数学答案 第16页（共16页）