3.4.2相似三角形的周长和面积之比（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过问题导入结合预备知识和平行线分线段成比例等探究活动，搭建从判定定理到性质应用的学习支架。 其亮点是严谨证明过程（如构造平行线证AA判定）与“终极口诀”“满分模板”总结性质，培养推理能力与模型意识。例题分层且结合平移等情境，发展应用意识，学生提升逻辑推理和应用能力，教师获得系统教学资源与分层练习设计。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.4.2相似三角形的周长和面积之比 第三章 图形的相似 相似三角形判定定理的证明 专项讲义+习题 本节内容为九年级相似图形核心重难点，重点掌握两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS）三个相似判定定理的严谨证明过程，依托平行线分线段成比例定理、图形平移构造法完成证明，吃透证明逻辑、规范答题步骤，适配考试证明题型。 一、预备知识（证明核心依据） 1. 平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边，所得对应线段成比例。 2. 相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。 3. 构造思想：在大三角形中截取小三角形，利用平行线性质证边成比例、角相等，推导相似。 二、三大判定定理标准证明过程 定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： ∵ 三角形内角和为180°，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁， ∴ ∠C=180°−∠A−∠B，∠C₁=180°−∠A₁−∠B₁， ∴ ∠C=∠C₁，即两个三角形三组对应角全部相等。 在△ABC的边AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于点E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（平行截三角形相似）。 ∵ ∠B=∠ADE，且∠B=∠B₁，∴ ∠ADE=∠B₁。 又∵ ∠A=∠A₁，AD=A₁B₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（ASA）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 结论：两角分别相等的两个三角形相似。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$，∠A=∠A₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$。 由$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁，可得：$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$$，即$$AE=A_1C_1$$。 在△ADE和△A₁B₁C₁中： AD=A₁B₁，∠A=∠A₁，AE=A₁C₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SAS）。 又∵ △ADE∽△ABC， ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 易错提醒：必须是夹角相等，一边对角相等无法证明相似。 定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，作DE∥BC交AC于E，可得△ADE∽△ABC。 ∴ $$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$$。 ∵ $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁， ∴ DE=B₁C₁，AE=A₁C₁。 ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SSS）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 三、专项巩固练习题（含解析） 基础证明题 1. 求证：任意两个等边三角形相似。 证明：等边三角形三个内角均为60°，任意两个等边三角形都有三组对应角相等，满足AA相似判定，故两三角形相似。 2. 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，求证：△ACD∽△ABC。 证明：∵ ∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A（公共角），两角分别相等，∴ △ACD∽△ABC（AA）。 拔高题型 3. 已知$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF。 证明：满足两边对应成比例且夹角相等，符合SAS相似判定定理，故△ABC∽△DEF。 四、证明题通用答题步骤（满分模板） 1. 构造辅助线：在长边截取等线段，作平行线构造相似小三角形； 2. 证比例/等角：利用平行线性质、内角和、已知条件推导等量关系； 3. 证全等：证明构造的三角形与已知三角形全等； 4. 递推相似：由全等传递相似，得出最终结论。 五、核心总结 1. 三个判定定理证明核心方法一致：构造平行线→证平行相似→证三角形全等→传递相似； 2. AA判定最简便，SAS需紧盯“夹角”，SSS无需角度、只看三边比例； 3. 所有相似判定的本质：将未知相似转化为平行相似+全等证明。 六、相似三角形的周长和面积之比 本节为相似三角形核心性质拓展，承接对应线段之比，系统掌握相似三角形周长比、面积比规律，是考试计算、填空、解答高频考点。 1. 两大核心定理（必背） 定理1：相似三角形的周长比等于相似比。 定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 设两相似三角形相似比为$$k$$，则： $$\frac{C_1}{C_2}=k,\quad \frac{S_1}{S_2}=k^2$$ 2. 定理完整证明（考试可直接默写） （1）周长比等于相似比 证明 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为$$k$$。 由相似定义得：$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$$。 ∴ $$AB=kA'B',\ BC=kB'C',\ AC=kA'C'$$。 周长 $$C_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')=kC_{\triangle A'B'C'}$$。 ∴ $$\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=k$$，即周长比等于相似比。 （2）面积比等于相似比的平方 证明 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为$$k$$，AD、A'D'为对应高。 由对应线段性质得：$$\frac{AD}{A'D'}=k$$。 三角形面积公式：$$S=\frac12\times底\times高$$。 $$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=\frac{\frac12\cdot BC\cdot AD}{\frac12\cdot B'C'\cdot A'D'}=\frac{BC}{B'C'}\cdot\frac{AD}{A'D'}=k\cdot k=k^2$$。 ∴ 面积比等于相似比的平方。 3. 相似三角形全套性质汇总（终极口诀） 相似三角形所有比值规律： ✅ 对应高、中线、角平分线之比 = 相似比 ✅ 对应边长之比 = 相似比 ✅ 周长之比 = 相似比 ✅ 面积之比 = 相似比的平方 4. 高频易错重难点（考试陷阱） 1. 已知面积比求相似比，要开平方；已知相似比求面积比，要平方。 2. 只有相似图形满足以上规律，任意两个三角形不成立。 3. 周长、边长、对应线段是一次比；面积是二次比。 5. 经典例题（考场必考题型） 例1：两个相似三角形相似比为 2:3，求周长比和面积比。 解：周长比 = 2:3，面积比 = $$2^2:3^2=4:9$$。 例2：两相似三角形面积比为 16:25，则相似比为多少？ 解：相似比 = $$\sqrt{16}:\sqrt{25}=4:5$$。 例3：△ABC∽△DEF，相似比1:2，△ABC周长为6，面积为5，求△DEF的周长和面积。 解：周长比1:2，$$C_{DEF}=6\times2=12$$； 面积比1:4，$$S_{DEF}=5\times4=20$$。 6. 同步练习题（含答案） （1）相似比为3:4，周长比=____，面积比=____。 答案：3:4 ； 9:16 （2）面积比为9:4，相似比=____，周长比=____。 答案：3:2 ； 3:2 （3）两相似三角形对应高之比为2:5，则面积比为____。 答案：4:25 （4）△ABC∽△A'B'C'，周长比为5:3，若S△ABC=50，则S△A'B'C'=____。 答案：18 1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.（重点） 2.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.（难点） 学习目标 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ A B C A1 B1 C1 3 问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？ (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______， (1)与(2)的周长比=______， (1)与(2)的面积比=______； 1 : 2 1 : 2 1 : 3 1 : 3 探究点1：相似三角形周长比与面积比 (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______， (1)与(3)的面积比=______. A B C A' B' C' A'' B'' C'' 1 : 4 1 : 9 4 如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 猜想1：相似三角形的周长比等于 ． 相似比 猜想2：相似三角形的面积比等于 ． 相似比的平方 【尝试·思考】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 【证一证】如果 △ABC 的 △A'B'C'，相似比为 k，那么你能求 △ABC 与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 解：如图，由已知，得 ， C A B D C′ A′ B′ D′ 分别作出 △ABC 和 △A′B′C′ 的高 CD 和 C′D′. ∵△ABC∽△A′B′C′. 探究点1：相似三角形周长比与面积比 6 相似三角形的面积比等于相似比的平方. 【归纳总结】 相似三角形周长的比等于相似比. A B C A1 B1 C1 探究点1：相似三角形周长比与面积比 例1 如图，在△ABC 中，EF∥BC， ， S四边形BCFE = 8，求 S△ABC. 解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC. ∵S四边形BCFE = 8， ∴S△AEF = 1. ∴S△ABC = 9. A B C E F 探究点1：相似三角形周长比与面积比 1. 已知 △ABC 与 △A′B′C′ 的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为 1 : 9， 周长的比为______ . 1 : 3 2 : 3 4 : 9 【练一练】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 如图，四边形A1B1C1D1 ∽ 四边形 A2B2C2D2，相似比为 k. A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 【思考·交流】 【做一做】 (1) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的周长比是多少？ (2) 连接相应的对角线 A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1 与△A2B2C2 相似吗？△A1C1D1 与 △A2C2D2 呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 (2)相似，相似比为 k. A1 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 (3) = ， = . (4) 四边形 A1B1C1D1 与四边形 A2B2C2D2 的面积比是多少？ A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 周长的比等于相似比， 面积比等于相似比的平方. k2 k2 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 例2 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分 (图中阴影部分) 的面积是△ABC 的面积的一半. 已知 BC = 2，求 △ABC 平移的距离. 　 解：根据题意，可知 EG∥AB. ∴∠GEC =∠B，∠EGC =∠A. ∴△GEC ∽ △ABC. 即△ABC 平移的距离为 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知 △ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　 B C A D E ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5，∴ 面积比为 9 : 25. 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2). 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 3. 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC . ∵相似比为 1 : 2，∴面积比为 1 : 4. ∴ 【练一练】 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1. S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2. ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 知识点1 相似三角形周长的比 （第1题） 1. 如图，与交于点，且 .若 ，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 17 （第2题） 2. 如图,在中,点,分别在边 , 上,,若， 的 周长为3,则 的周长为( ) A A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 返回 考试考法 18 3.[2026合肥期末] 两个相似三角形的最长边分别是 和 ，并且它们的周长之和为 ，那么较小三角形的周 长是_______. 返回 考试考法 19 知识点2 相似三角形面积的比 （第4题） 4. 如图，是的边 上一 点，， ， .如果 的面积 为15，那么 的面积为 ( ) D A. 15 B. 10 C. D. 5 返回 考试考法 20 （第5题） 5. [2025威海] 如图，的中线, 交 于点，连接 .下列结论错误的是( ) B A. B. C. D. 考试考法 21 （第5题） 【点拨】的中线，交于点 ， ，， , , 故D选项结论正确； ， ， ， 考试考法 22 ， ， , , . ， ， ，故A，C选项结论正确， B选项结论错误.故选B. （第5题） 返回 考试考法 6.如图，， ， ，则 的长为_____. （第6题） 返回 考试考法 24 7.如图，在中，点，，分别在边，， 上， 连接，.已知四边形是平行四边形， . 考试考法 25 （1）若，求线段 的长； 【解】 点在边上,四边形 是 平行四边形， 易得 . . 又， . 考试考法 26 （2）若的面积为2，求 的面积. ， ， . 考试考法 27 . 的面积为2， 的面积是32. 四边形是平行四边形， . 易得 . . 的面积是18. 的面积 . 考试考法 解题支架 返回 考试考法 29 知识点3 相似多边形的性质 8.四边形 四边形，它们的面积之比为 ， 它们的相似比为_____,若四边形的周长为 ，则 四边形 的周长为_______. 返回 考试考法 30 （第9题） 9. 如图，将矩形沿 折叠， 点落在处，点落在边上的处， 与 相交于点,若,, ,则 的周长为( ) A A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 考试考法 31 （第9题） 【点拨】由折叠的性质知 , .设 ,则 .在 中， , , ,即 ,解 得.易知 , , .又 考试考法 32 , . , . （第9题） 返回 考试考法 （第10题） 10. 如图，矩形 被分成5个正方形和 2个小矩形后形成一个中心对称图形，如果 矩形矩形，那么 的值 为__. 考试考法 34 （第10题） 【点拨】设5个正方形中的小正方形的边长 为，大正方形的边长为，则 ， ， ， ， 矩形 考试考法 35 矩形， ，即 . ， 矩形 矩形 ，（） . （第10题） 返回 考试考法 11. 在中，，是上一点， 是上一点，直线把 分成面积相等的两部分，且 和相似，如果这样的直线有两条，那么 边的长度可以是_________________. 5（答案不唯一） 【点拨】由题意知，若直线有两条，则 .如图①， 当 时， 由题知. 只要满足 ， 就能满足题意； 考试考法 37 如图②，当 时， 由题知 . . ， ， 且 ，， 且 ，且. 综上， 边的长度 可以是5.（答案不唯一） 返回 考试考法 38 12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点 ， 过点作，交的延长线于点，连接，交 于 点，则四边形的面积与 的面积的比值为__. 考试考法 39 相似三角形的性质2 相似三角形周长之比等于相似比 相似三角形面积之比等于相似比的平方 课堂小结 $