3.4.1相似三角形中的对应线段之比（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形对应线段之比，通过“三角形几何元素”思考及模型房立柱问题导入，衔接相似判定定理，搭建从判定到性质的学习支架，帮助学生理解对应高、中线、角平分线之比等于相似比。 其亮点在于以构造平行线证全等传递相似的严谨证明培养推理能力，结合投影机投影、内接正方形面积等实际问题发展应用意识，分层练习题助学生逐步掌握。既提升学生逻辑思维与应用能力，也为教师提供系统教学资源。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.4.1相似三角形中的对应线段之比 第三章 图形的相似 相似三角形判定定理的证明 专项讲义+习题 本节内容为九年级相似图形核心重难点，重点掌握两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS）三个相似判定定理的严谨证明过程，依托平行线分线段成比例定理、图形平移构造法完成证明，吃透证明逻辑、规范答题步骤，适配考试证明题型。 一、预备知识（证明核心依据） 1. 平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边，所得对应线段成比例。 2. 相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。 3. 构造思想：在大三角形中截取小三角形，利用平行线性质证边成比例、角相等，推导相似。 二、三大判定定理标准证明过程 定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： ∵ 三角形内角和为180°，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁， ∴ ∠C=180°−∠A−∠B，∠C₁=180°−∠A₁−∠B₁， ∴ ∠C=∠C₁，即两个三角形三组对应角全部相等。 在△ABC的边AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于点E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（平行截三角形相似）。 ∵ ∠B=∠ADE，且∠B=∠B₁，∴ ∠ADE=∠B₁。 又∵ ∠A=∠A₁，AD=A₁B₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（ASA）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 结论：两角分别相等的两个三角形相似。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$，∠A=∠A₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$。 由$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁，可得：$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$$，即$$AE=A_1C_1$$。 在△ADE和△A₁B₁C₁中： AD=A₁B₁，∠A=∠A₁，AE=A₁C₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SAS）。 又∵ △ADE∽△ABC， ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 易错提醒：必须是夹角相等，一边对角相等无法证明相似。 定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，作DE∥BC交AC于E，可得△ADE∽△ABC。 ∴ $$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$$。 ∵ $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁， ∴ DE=B₁C₁，AE=A₁C₁。 ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SSS）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 三、专项巩固练习题（含解析） 基础证明题 1. 求证：任意两个等边三角形相似。 证明：等边三角形三个内角均为60°，任意两个等边三角形都有三组对应角相等，满足AA相似判定，故两三角形相似。 2. 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，求证：△ACD∽△ABC。 证明：∵ ∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A（公共角），两角分别相等，∴ △ACD∽△ABC（AA）。 拔高题型 3. 已知$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF。 证明：满足两边对应成比例且夹角相等，符合SAS相似判定定理，故△ABC∽△DEF。 四、证明题通用答题步骤（满分模板） 1. 构造辅助线：在长边截取等线段，作平行线构造相似小三角形； 2. 证比例/等角：利用平行线性质、内角和、已知条件推导等量关系； 3. 证全等：证明构造的三角形与已知三角形全等； 4. 递推相似：由全等传递相似，得出最终结论。 五、核心总结 1. 三个判定定理证明核心方法一致：构造平行线→证平行相似→证三角形全等→传递相似； 2. AA判定最简便，SAS需紧盯“夹角”，SSS无需角度、只看三边比例； 3. 所有相似判定的本质：将未知相似转化为平行相似+全等证明。 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. （重点） 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何元素？ 高、角平分线、中线，周长、面积等 高 角平分线 中线 如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 解：∵△ABC ∽△A′B′C′， 又 ∠ADC =∠A'D'C' = 90°. ∴△ACD ∽△A'C'D'. ∵ CD = 1.5 cm， ∴C'D' = 3 cm. ∴∠A =∠A'， 【思考·交流】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 (1) 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 3，那么这两个三角形的两条中线 AD，A'D' 有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流. A B C D A' B' C' D' 解：∵△ABC ∽△A′B′C′， ∵ AD，A'D' 是△ABC 与△A'B'C' 的两条中线， ∴△ACD∽△A'C'D'. ∴∠B =∠B'， A B C D A' B' C' D' ∴BC = 2BD，B'C' = 2B'D'. 探究点：相似三角形中的对应线段之比 (2) 如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由. A B C A' B' C' 探究点：相似三角形中的对应线段之比 ∵△ABC ∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B' . 解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C' 的高 AD 和 A'D'． 则∠ADB =∠A'D'B' = 90°. ∴△ABD ∽△A'B'D'. A B C D A' B' C' D' 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，AD，A'D' 分别为对应边 BC，B′C′上的高， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 证明：∵△ABC ∽ △A′B′C′， ∴ ∠A′B′C′ =∠ABC， ． 又 ∵AD，AD′ 分别为对应边的中线， ∴BC = 2BD，B'C' = 2B'D'. ∴△ABD∽△A′B′D′. A B C D A' B' D' C' 已知△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应边上的中线， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠A′B′C′ =∠ABC，∠B′A′C′ =∠BAC． 又∵AD、AD′分别为对应角的角平方线， ∴∠ABE =∠A′B′E′. ∴ △ABE∽△A′B′E′. A B C E A' B' C' E' 已知 △ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′ 分别为对应角的角平分线， 那么 吗？ 探究点：相似三角形中的对应线段之比 相似三角形对应边上的高的比、对应角的角平分线的比、对应边上的中线的比都等于相似比． 【归纳总结】 探究点：相似三角形中的对应线段之比 如图，过点 C 作 CD⊥PQ，垂足为点 D.设 CD 交 AB 的延长线于点 E， 例1 如图，AB∥PQ，AB = 100，PQ = 120. 点 P，A，C 在一条直线上，点 Q，B，C 也在一条直线上. 若 AB 与 PQ 的距离是 40，求点 C 到直线 PQ 的距离. A B C D E P Q 解 因为AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ. 因此 CE⊥AB，DE = 40. 探究点：相似三角形中的对应线段之比 又 AB = 100，PQ = 120，DE = 40， 因此 CD = 240. 即点 C 到直线 PQ 的距离是 240 . A B C D E P Q 由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得， 于是 探究点：相似三角形中的对应线段之比 1. △ABC ∽ △A1B1C1 ，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知 ，B1D1 = 4 cm，则 BD = cm. 6 【练一练】 2. 相似三角形对应边的比为 2 : 3，那么对应角的角平分线的比为______. 2 : 3 如图，已知 △ABC∽△A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上. (1) 若∠BAD = ∠BAC，∠B'A'D' = ∠B'A'C'， 则 等于多少？ 【操作·思考】 证明：∵ △ABC∽△A′B′C′， ∴∠B =∠B′， ∠BAC =∠B′A′C′. ∴△ABD∽△A′B′D′. ∵∠BAD = ∠BAC，∠B′A′D′= ∠B′A′C′， ∴∠BAD =∠B′A′D′. (2) 若 BE = BC，B'E' = B'C'，则 等于多少？ (3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流. 易证 △ABE ∽ △A′B′E′. 若将 (2)、(3) 中的 换成 、 或 (n ≠ 0)，结论还成立吗？ (1) 中的线段 AD 与 A'D'、(2) 中的线段 AE 与 AE' 有什么共同的特点？ 例2 如图，AD 是 △ABC 的高，AD = h，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上，SR⊥AD，垂足为 E. 当 SR = BC 时，求 DE 的长. 如果 SR = BC 呢？ S R E D C B A 解：∵ SR⊥AD，BC⊥AD，∴ SR // BC. ∴∠ASR =∠B，∠ARS =∠C. ∴△ASR ∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似) S R E D C B A ∴ (相似三角形对应高的比等于相似比). 即 . ∴当 SR = BC 时，得 . 解得 . ∴当 SR = BC 时，得 . 解得 . 相似三角形对应角的 n 等分线的比，对应边的 n 等分线的比都等于相似比. 知识点1 相似三角形对应线段的比 1. 已知，和 分别是两个三角形对应 角的平分线，且.若，则 的长是 ( ) C A. B. C. D. 2. 顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对 应中线的比是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 22 3. 如图，在 中，直尺的一边 与重合，另一边分别交， 于点，.其中点，，， 处 的读数分别为8，16，， ， D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 已知直尺宽为3，则中 边上的高为( ) 返回 考试考法 23 4.已知，且相似比为，若 的 最长边长为，则最长边的中线长为___ . 8 返回 考试考法 24 知识点2相似三角形对应线段比的应用 （第5题） 5. 如图，一架投影机插入 胶片后图像可投到屏幕上，已知胶 片与屏幕平行，点 为光源，与胶 片的距离为，胶片的高 6 为，若需要投影后的图像高 ，则投影机光 源到屏幕的距离为___ . 考试考法 25 【点拨】如图所示，过点作于点，交于点 ， ， 易得，， ， 设，则，即，解得 ， . 返回 考试考法 26 6. 有一个侧面为梯形的容器，高为 ，内部倒 入高为的水.将一根长为 的吸管如图放置，若有 露出容器外，则吸管在水中部分的长度为_______. （第6题） 考试考法 27 【点拨】如图，过点作 ,垂 足为，过点作,垂足为 ， ， ， , , , 设,则, 的高为 ,. ,解得 吸管在水中部分的长度为 . 返回 考试考法 28 7.如图，在等腰三角形中， ， ， 将沿其底边中线向下平移，使 的 对应点满足 ，则平移前后两个三角形重叠部分 的面积是_ ___. 考试考法 29 【点拨】如图，延长交 于点 , , 是中线， ， .由平移的性质得, , , , ， . 考试考法 30 . , . . . 重叠部分的 考试考法 面积 . 返回 考试考法 8. 【模型定义】如果正方形的一边落在三角形的一边上， 其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方 形叫作三角形的内接正方形. 【问题探究】 考试考法 33 （1）如图①，在中，，边上的高 ， 四边形是的内接正方形，设正方形 的边长 是.求证： ； 考试考法 34 ① 【证明】如图①，设交于点 四边形 是的内接正方形， . ， . . 易知为的边上的高, , . . 考试考法 35 （2）在中，，， ，请 在图②、图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回 答哪个内接正方形的面积最大. 考试考法 36 【解】如图②③.在图 ②中， . 由等面积法，得 ， . 考试考法 37 由（1）得正方形的边 长是 . 在图③中，正方形的边 长是 . ，且正方形的 面积等于边长的平方， 图③中正方形的面 积最大. 返回 考试考法 相似三角形的性质 相似三角形对应边上高的比等于相似比 相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 课堂小结 $