3.5.1位似多边形及其性质（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦位似多边形的概念、性质、坐标系规律及画法，通过图片对应点连线相交的问题导入，衔接相似图形知识，以“相似+位置关系”为支架构建位似概念体系。 其亮点在于以问题探究培养几何直观（数学眼光），通过性质辨析与证明思路发展推理意识（数学思维），坐标系口诀与画法步骤强化模型意识（数学语言）。如坐标变换例题助学生掌握规律，教师可利用探究、例题及易错汇总提升教学效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.5.1位似多边形及其性质 第三章 图形的相似 相似三角形判定定理的证明 专项讲义+习题 本节内容为九年级相似图形核心重难点，重点掌握两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS）三个相似判定定理的严谨证明过程，依托平行线分线段成比例定理、图形平移构造法完成证明，吃透证明逻辑、规范答题步骤，适配考试证明题型。 一、预备知识（证明核心依据） 1. 平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边，所得对应线段成比例。 2. 相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。 3. 构造思想：在大三角形中截取小三角形，利用平行线性质证边成比例、角相等，推导相似。 二、三大判定定理标准证明过程 定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： ∵ 三角形内角和为180°，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁， ∴ ∠C=180°−∠A−∠B，∠C₁=180°−∠A₁−∠B₁， ∴ ∠C=∠C₁，即两个三角形三组对应角全部相等。 在△ABC的边AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于点E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（平行截三角形相似）。 ∵ ∠B=∠ADE，且∠B=∠B₁，∴ ∠ADE=∠B₁。 又∵ ∠A=∠A₁，AD=A₁B₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（ASA）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 结论：两角分别相等的两个三角形相似。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$，∠A=∠A₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$。 由$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁，可得：$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$$，即$$AE=A_1C_1$$。 在△ADE和△A₁B₁C₁中： AD=A₁B₁，∠A=∠A₁，AE=A₁C₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SAS）。 又∵ △ADE∽△ABC， ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 易错提醒：必须是夹角相等，一边对角相等无法证明相似。 定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，作DE∥BC交AC于E，可得△ADE∽△ABC。 ∴ $$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$$。 ∵ $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁， ∴ DE=B₁C₁，AE=A₁C₁。 ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SSS）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 三、专项巩固练习题（含解析） 基础证明题 1. 求证：任意两个等边三角形相似。 证明：等边三角形三个内角均为60°，任意两个等边三角形都有三组对应角相等，满足AA相似判定，故两三角形相似。 2. 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，求证：△ACD∽△ABC。 证明：∵ ∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A（公共角），两角分别相等，∴ △ACD∽△ABC（AA）。 拔高题型 3. 已知$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF。 证明：满足两边对应成比例且夹角相等，符合SAS相似判定定理，故△ABC∽△DEF。 四、证明题通用答题步骤（满分模板） 1. 构造辅助线：在长边截取等线段，作平行线构造相似小三角形； 2. 证比例/等角：利用平行线性质、内角和、已知条件推导等量关系； 3. 证全等：证明构造的三角形与已知三角形全等； 4. 递推相似：由全等传递相似，得出最终结论。 五、核心总结 1. 三个判定定理证明核心方法一致：构造平行线→证平行相似→证三角形全等→传递相似； 2. AA判定最简便，SAS需紧盯“夹角”，SSS无需角度、只看三边比例； 3. 所有相似判定的本质：将未知相似转化为平行相似+全等证明。 六、相似三角形的周长和面积之比 本节为相似三角形核心性质拓展，承接对应线段之比，系统掌握相似三角形周长比、面积比规律，是考试计算、填空、解答高频考点。 1. 两大核心定理（必背） 定理1：相似三角形的周长比等于相似比。 定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 设两相似三角形相似比为$$k$$，则： $$\frac{C_1}{C_2}=k,\quad \frac{S_1}{S_2}=k^2$$ 2. 定理完整证明（考试可直接默写） （1）周长比等于相似比 证明 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为$$k$$。 由相似定义得：$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$$。 ∴ $$AB=kA'B',\ BC=kB'C',\ AC=kA'C'$$。 周长 $$C_{\triangle ABC}=AB+BC+AC=k(A'B'+B'C'+A'C')=kC_{\triangle A'B'C'}$$。 ∴ $$\frac{C_{\triangle ABC}}{C_{\triangle A'B'C'}}=k$$，即周长比等于相似比。 （2）面积比等于相似比的平方 证明 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为$$k$$，AD、A'D'为对应高。 由对应线段性质得：$$\frac{AD}{A'D'}=k$$。 三角形面积公式：$$S=\frac12\times底\times高$$。 $$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}}=\frac{\frac12\cdot BC\cdot AD}{\frac12\cdot B'C'\cdot A'D'}=\frac{BC}{B'C'}\cdot\frac{AD}{A'D'}=k\cdot k=k^2$$。 ∴ 面积比等于相似比的平方。 3. 相似三角形全套性质汇总（终极口诀） 相似三角形所有比值规律： ✅ 对应高、中线、角平分线之比 = 相似比 ✅ 对应边长之比 = 相似比 ✅ 周长之比 = 相似比 ✅ 面积之比 = 相似比的平方 4. 高频易错重难点（考试陷阱） 1. 已知面积比求相似比，要开平方；已知相似比求面积比，要平方。 2. 只有相似图形满足以上规律，任意两个三角形不成立。 3. 周长、边长、对应线段是一次比；面积是二次比。 5. 经典例题（考场必考题型） 例1：两个相似三角形相似比为 2:3，求周长比和面积比。 解：周长比 = 2:3，面积比 = $$2^2:3^2=4:9$$。 例2：两相似三角形面积比为 16:25，则相似比为多少？ 解：相似比 = $$\sqrt{16}:\sqrt{25}=4:5$$。 例3：△ABC∽△DEF，相似比1:2，△ABC周长为6，面积为5，求△DEF的周长和面积。 解：周长比1:2，$$C_{DEF}=6\times2=12$$； 面积比1:4，$$S_{DEF}=5\times4=20$$。 6. 同步练习题（含答案） （1）相似比为3:4，周长比=____，面积比=____。 答案：3:4 ； 9:16 （2）面积比为9:4，相似比=____，周长比=____。 答案：3:2 ； 3:2 （3）两相似三角形对应高之比为2:5，则面积比为____。 答案：4:25 （4）△ABC∽△A'B'C'，周长比为5:3，若S△ABC=50，则S△A'B'C'=____。 答案：18 3.5.1 位似多边形及其性质 位似是特殊的相似图形，属于图形位置变换，是九年级相似章节最后核心考点，重点掌握位似的定义判定、核心性质、坐标位似变换规律及简单应用，适配填空、选择、作图、解答各类题型。 1. 位似多边形的定义 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个多边形叫做位似多边形。 这个公共交点叫做位似中心，相似比也叫做位似比。 定义三要素（缺一不可）： ① 图形相似；② 对应顶点连线交于一点；③ 对应边平行或共线。 2. 位似图形核心性质（必背） （1）位似图形一定相似，相似图形不一定位似（无位置关系）； （2）位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比； （3）对应边平行或共线，对应角相等； （4）周长比 = 位似比，面积比 = 位似比的平方（延续相似性质）； （5）位似中心可在：图形外、图形内、图形边上、顶点处。 3. 平面直角坐标系中的位似规律（高频考点） 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似比为$$k$$： 若原图形点坐标为 $$(x,y)$$，则位似变换后对应点坐标为： $$(kx,\ ky)$$（同向位似） 或 $$(-kx,\ -ky)$$（反向位似） 口诀：原点位似，横纵坐标同乘$$k$$，正负决定方向。 4. 位似简单证明（考场简答模板） 例题：求证：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 证明思路： ∵ 两图形位似，∴ 图形相似，对应边平行。 由对应边平行，可证过位似中心的对应三角形相似， ∴ 对应点到位似中心的距离之比 = 相似比 = 位似比。 5. 经典必考例题 例1：判断正误：相似图形一定是位似图形。 答案错误。 解析：相似只要求形状相同；位似需要形状相同+位置特殊（共点、平行）。 例2：已知△ABC与△A'B'C'以原点为位似中心，位似比为1:2，点A(2,3)，求A'坐标。 解： 同向位似：$$(2\times2,\ 3\times2)=(4,6)$$ 反向位似：$$(-4,-6)$$ 例3：两位似多边形位似比为2:3，则周长比=____，面积比=____。 答案：2:3 ； 4:9 6. 同步练习题（含答案） （1）位似图形一定相似，相似图形____位似（填“一定”或“不一定”）。 答案：不一定 （2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于____。 答案：位似比 （3）以原点为位似中心，位似比$$k=3$$，点$$(1,-2)$$的对应点坐标为____。 答案：$$(3,-6)$$或$$(-3,6)$$ （4）两位似三角形面积比为4:25，则位似比为____。 答案：2:5 7. 全章终极易错汇总（相似+位似） 1. 相似：只看形状、不管位置、不管大小； 2. 位似：相似+位置特殊，是相似的特殊情况； 3. 坐标位似务必注意正负两种情况； 4. 面积比永远是比例的平方，反向求值要开方。 1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. (重点) 2. 掌握位似与相似的联系与区别. (难点) 学习目标 下图由一组形状相同的图片组成. 在图片 ① 和图片 ② 上任取一组对应点 A，A'，你有什么发现？ 可以发现：直线 AA' 都经过镜头中心点 O， 且 都等于一个固定值. 3 问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 探究点1：位似图形的概念 问题2：下图是两个相似五边形，设直线 AA' 与 BB' 相交于点 O，那么直线 CC'，DD'，EE' 是否也都经过点 O？ 有什么关系？ A B C D E E' D' C' B' A' O 探究点1：位似图形的概念 5 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′ = k· OP (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 O 叫作位似中心.其中 k 就是这两个相似多边形的相似比. 探究点1：位似图形的概念 当 k＞0 时，点 P′ 在射线 OP 上， 当 k＜0 时，点 P′ 在射线 OP 的反向延长线上. 特别地，点 O 对应到它自身. O P P′ O P P′ 上图每组中的两个五边形就是位似五边形. 探究点1：位似图形的概念 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察： 一是这两个图形是相似的， 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 【归纳总结】 探究点1：位似图形的概念 1. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E 是对应点 D. AE : AD 是相似比 D D E A B C 【练一练】 探究点1：位似图形的概念 从右图中我们可以看到，△ABO∽△A′B′O，则 ，AB∥A′B′. 左图呢？你得到了什么？ A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 探究点2：位似图形的性质 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似 图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比 相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比． 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 归纳： 探究点2：位似图形的性质 【练一练】 2. 如图，五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E' 是位似图形，点 O 为位似中心，OB＝OB'， 探究点2：位似图形的性质 那么A'B'∶AB＝ . 探究点2：位似图形的性质 3. 若两个位似图形的对应线段长分别为 3 和 5，且较小图形周长为 30，则较大图形周长为 . 4.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积是原正六边形面积的 ，已知原正六边形边长为 3，那么缩小后的正六边形边长为 . 50 例1 如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且相似比为 2. 解：画射线 OA，OB，OC；在射线 OA，OB，OC 上分别取点 D，E，F，使OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与 △ABC 位似，相似比为 2. A B F E D 想一想：满足条件的 △DEF 可 以在点 O 的另一侧吗？ C O 探究点3：位似多边形的画法 A B C O E F D 画法二：△ABC 与 △DEF 异侧 解：画射线 OA，OB，OC；沿着射线OA，OB，OC 反方向上分别取点 D，E，F， 顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与△ABC 位似，相似比为 2. 使 OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC； 探究点3：位似多边形的画法 利用下面的方法可以近似地将个图形放大： 1. 如图，将两根长短相同的橡皮筋系在一起，连接处形成一个结点. 2. 选取一个图形，在图形外适当位置 取一个定点. 3. 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定 点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端. 【操作·交流】 探究点3：位似多边形的画法 4. 拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形. 这个新图形与已知图形形状相同. 【点击进入几何画板】 请你用这种方法把一个已知图形放大. 探究点3：位似多边形的画法 例2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 . O D A B C A' B' C' D' 利用位似，可以将一个图形放大或缩小 (1) 在四边形外任选一点 O (如图)； (2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 ； (3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形． 探究点3：位似多边形的画法 思考：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形． 探究点3：位似多边形的画法 O D A B C A' B' C' D' O D A B C A' B' C' D' 探究点3：位似多边形的画法 ◑画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 【归纳总结】 ◑位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． 探究点3：位似多边形的画法 知识点1 位似图形的相关概念 1. 下列不是位似图形的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 22 （第2题） 2. 如图的两个位似图形的位似中心是 ( ) A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 D 返回 考试考法 知识点2 位似图形的性质 3. 如图，以点为位似中心，把 放大为原图形的2倍得 到 .以下说法中错误的是( ) D （第3题） A. B. 点，， 在同一直线上 C. D. 返回 考试考法 24 （第4题） 4. 《墨子·天文志》记载：“执规 矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学 之美.如图，正方形 的周长为4，以它 的对角线的交点为位似中心，作它的位似图 形，若 ，则四边形 的周长为___. 8 返回 考试考法 25 5. 如图，与 是位似图形，位似中心为 点，且，若 的面积为3，则阴影部分的面 积是____. 24 （第5题） 返回 考试考法 26 知识点3 位似图形的画法 6. 如图，每个小正 方形的边长都是1. 与 是以点 为位似中心 的位似图形，它们的顶点都在 小正方形的顶点上. 考试考法 27 （1）在图中画出位似中心 ； 【解】如图所示. （2）与 的相似比是_____； 考试考法 28 （3）请在此网格中，以点 为 位似中心，画出 ，使 它与的相似比等于 . 如图所示， 即为所求. 画位似图形时要弄清相似比，分清是已知图形与新 图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比. 返回 考试考法 29 7.如图，在中，以为位似中心，作 的位似 ，且与原图形的相似比为，连接， ，若 的面积为20，则与 的面积之和为___. 考试考法 30 【点拨】如图，连接 平行四边形 与平行四边形是以 为位似 中心的位似图形，相似比为 ， ，， 三点在同一条直线上， ，，， 平行四 边形的面积为20，和 的面积都是 ， 易得 考试考法 31 ， . . ， .同理可得 ， 与的面积之和为 . 返回 考试考法 8. 如图是由位似的正三角形 ，正三角形 ，正三角形 ， ，正三角形 组成的图 形，其中的边长为1，点是 的中点，是的中点，是 的中 点， ，是的中点，顶点，， ，， ， ， ，都在边 上. 考试考法 33 （1）试写出与 的相似比和位似中心； 考试考法 34 【解】由题意易知，正三角形的边长为 ，正三角形 的边长为， ， 依次类推，正三角形的边长为 ，正三角形 的边长为 ， 与的相似比 . 它们各对应顶点的连线都经过点 ， 它们的位似中心为点 . 考试考法 （2）求 的周长. 易知的边长为 ， 的周长为 . 返回 考试考法 36 位似的概念及画法 位似图形的概念 位似图形的性质 画位似图形 课堂小结 $