精品解析：河北沧州市泊头市第一中学2025-2026学年高一下学期6月核心素养训练数学试题

2025-2026学年下学期核心素养训练 高一数学 班级__________姓名__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明的袋子里装有红､白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个．进行有放回的重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 2. 已知复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某中学为了弘扬燕赵传统文化，计划从高一年级､高二年级和高三年级中，采用按比例分层随机抽样的方法，抽取容量为的样本组成“非遗文化宣讲团”．已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人．若从高一年级抽取了12人，则的值为（ ） A. 24 B. 28 C. 30 D. 36 4. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知样本数据的平均数为，方差为．若的平均数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 的最大值为3 C. 一定是实数 D. 一定是纯虚数 10. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则_________． 13. 在平行四边形中，点分别是边的中点，与交于点．若，则_________． 14. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球的表面积为_________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 某校为了了解高一学生的体重情况，随机抽取了名男生进行测量，将体重数据（单位：）整理后分成组：，并绘制了如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这名男生体重的第百分位数. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 17. 在中，角所对的边分别为，满足． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 18. 如图，在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，点为线段的中点，连接． （1）若，求证：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值． 19. 某班级举办“趣味闯关赢文创”活动，每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行安排），各任务结果互不影响．若连续通过两项任务，可获得1份文创小礼品；若连续通过三项任务，可额外再获得1份（共2份）；其余情况无礼品．挑战任务均基于一个装有编号分别为的5个大小形状相同小球的盒子，规则如下： 任务A：从盒子中随机摸出1个小球．若小球编号小于4，则通过． 任务B：从盒子中有放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号均小于4，则通过． 任务C：从盒子中不放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号之和小于，则通过． （1）求单个同学分别通过任务A､任务B的概率． （2）当时，应如何安排三项任务的顺序，才能使单个同学获得文创礼品的概率最大？ （3）若所有同学都按任务的顺序进行，组委会要求：①单个同学获得2份礼品的概率不低于0.1；②单个同学获得礼品的概率不超过0.34．请确定整数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期核心素养训练 高一数学 班级__________姓名__________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一个不透明的袋子里装有红､白两种小球，除颜色外其余完全相同，总计20个．进行有放回的重复摸球（每次摸一个）试验，多次试验后，摸到红球的频率稳定在0.6附近，则红球的个数约为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 已知复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以在复平面内对应的点为． 3. 某中学为了弘扬燕赵传统文化，计划从高一年级､高二年级和高三年级中，采用按比例分层随机抽样的方法，抽取容量为的样本组成“非遗文化宣讲团”．已知该校高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人．若从高一年级抽取了12人，则的值为（ ） A. 24 B. 28 C. 30 D. 36 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，，解得． 4. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理，将已知条件代入求解. 【详解】由已知，得， 所以． 5. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，则原图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由四边形为矩形，，得， 则矩形的面积， 又斜二测画法中，原图形面积是直观图面积的倍， 所以原图形的面积． 6. 在中，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知，在上的投影向量为 ． 7. 已知样本数据的平均数为，方差为．若的平均数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据平均数及方差的定义计算可得. 【详解】解析：由题意知，,即， 又，则，又，所以． 8. 如图1，正三棱柱形容器中盛有水，水的体积为，侧棱，底面边长，当侧面水平放置时（如图2），水面的高度为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先算无水体积，再反推无水截面面积，利用相似三角形面积比等于高的平方比求出无水截面高度，最后利用原三角形的高减去无水截面的高，得出水面高度. 【详解】正三棱柱容器的总容积为， 则无水部分体积． 当侧面水平放置时，设无水部分的底面三角形面积为， 则．底面正三角形的高为， 设水平放置时无水部分底面的三角形高为， 则，解得， 所以水面高度为，故选B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 的最大值为3 C. 一定是实数 D. 一定是纯虚数 【答案】BC 【解析】 【详解】设，则， 对于A，当时，，A错误； 对于B，表示复平面上以原点为圆心，1为半径的圆上的点到点的距离，最大距离为，B正确； 对于C，是实数，C正确； 对于D，，当时，，D错误． 10. 某随机试验中，事件与事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为与互斥，所以， 即，A正确； 对于B，因为与互斥，所以，即，B错误； 对于C，因为与互斥，所以，因此， 故，C正确； 对于D，因为， 当与互斥时，，因此，D正确． 11. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则且 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，两个平面垂直于同一个平面，它们的位置关系不一定是平行，也可能是相交，A错误； 对于B，两条直线平行于同一个平面，它们的位置关系可以是平行､相交或异面，B错误； 对于C，因为，且，过直线与平面的交点，在内作，由，得，又，根据面面垂直的判定定理，可得，C正确； 对于D，当时，即使，也不能说，同理，当时，也不能说，D错误．故选ABD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则_________． 【答案】-21 【解析】 【详解】因为， 所以，所以． 13. 在平行四边形中，点分别是边的中点，与交于点．若，则_________． 【答案】## 【解析】 【详解】解析：设． 由在上，设， 由在上，设， 则，解得， 所以，即． 14. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，再根据球心的位置构造直角三角形，求出外接球的半径即得外接球的表面积. 【详解】设圆锥母线长为，因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 所以圆锥的高为． 由题可知，三棱锥的外接球的球心在直线上， 设为，半径设为，如图，连接，则， 所以， 在中，，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 某校为了了解高一学生的体重情况，随机抽取了名男生进行测量，将体重数据（单位：）整理后分成组：，并绘制了如下的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这名男生体重的第百分位数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质计算可得； （2）根据百分位的定义计算得. 【小问1详解】 由题可知，，解得． 【小问2详解】 因为前3组频率和为， 前组频率和为，所以第百分位数在第组内， 设这名男生体重的第百分位数为，则，解得. 因此这名男生体重的第百分位数为. 16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，点为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）如图， 连接，交于点，连接． 因为底面是正方形，所以是的中点． 又点为的中点，所以． 因为平面，且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）作出直线与平面所成的角，利用三角形的边角关系求线面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设底面正方形的边长为． 因为平面，平面， 所以为直角三角形． 又，所以． 因为底面为正方形，因此． 由于，且平面，所以平面． 又平面，因此平面平面，且交线为． 过点作，交于点，则平面， 又平面，则， 连接，则即为直线与平面所成的角． 易知， ，. 在中，， 所以． 17. 在中，角所对的边分别为，满足． （1）求的值； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简，结合两角和的正弦公式计算求解； （2）根据锐角三角形的性质，结合余弦定理及三角形的性质构造不等式，解不等式求． 【小问1详解】 由正弦定理， 得， 整理得， 则，即， 所以． 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以三个内角均为锐角， 由余弦定理，得， 代入得，，所以， 又，得， 结合三角形两边之和大于第三边： ，即，即， 因此， 令，则． 又， 因为，所以，即， 故的取值范围为． 18. 如图，在矩形中，为边的中点，将沿直线翻折成，点为线段的中点，连接． （1）若，求证：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题易得，， 则， 又，所以，所以． 又，故． 又，且平面，所以平面， 又因为平面，因此． 由翻折性质得． 又，且平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）结合几何关系和勾股定理证明平面可得； （2）取的中点，连接，找到异面直线间夹角，然后利用余弦定理可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 因为为线段的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以，且， 所以为异面直线与所成的角或其补角． 在中，，所以． 在中，根据余弦定理得． 在中，根据余弦定理得 故异面直线与所成角的余弦值为． 19. 某班级举办“趣味闯关赢文创”活动，每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行安排），各任务结果互不影响．若连续通过两项任务，可获得1份文创小礼品；若连续通过三项任务，可额外再获得1份（共2份）；其余情况无礼品．挑战任务均基于一个装有编号分别为的5个大小形状相同小球的盒子，规则如下： 任务A：从盒子中随机摸出1个小球．若小球编号小于4，则通过． 任务B：从盒子中有放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号均小于4，则通过． 任务C：从盒子中不放回地依次摸球两次，每次摸出1个小球．若两次摸出的小球编号之和小于，则通过． （1）求单个同学分别通过任务A､任务B的概率． （2）当时，应如何安排三项任务的顺序，才能使单个同学获得文创礼品的概率最大？ （3）若所有同学都按任务的顺序进行，组委会要求：①单个同学获得2份礼品的概率不低于0.1；②单个同学获得礼品的概率不超过0.34．请确定整数的取值范围． 【答案】（1）； （2）同学应将任务A放在第二个任务的位置，第一个任务可在任务中任选，进而确定第三个任务 （3）或8 【解析】 【分析】（1）利用古典概型求解； （2）列出任务C的所有样本点，求出时的概率．求出获得礼品的概率，得到第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小，其大小取决于第二个任务的选择，分情况进行讨论得到结论； （3）分别求出在约束条件①②下的的范围，利用枚举的取值得到结论. 【小问1详解】 设事件为“通过任务”，事件为“通过任务”，事件为“通过任务”． 因为事件为从盒子中随机摸出一个小球，编号小于4（即1，2，3），所以； 因为有放回摸2次，共25个样本点，又，所以． 【小问2详解】 任务C的所有样本点为：， ，共20个， 当时，通过的样本点为，有2个，所以． 记事件“同学按自己选定的顺序参加三个任务，获得礼品”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第一个任务，通过”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第二个任务，通过”， 事件“同学按自己选定的顺序参加第三个任务，通过”， 则获得礼品的概率， 其中， 所以，第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小， 其大小取决于第二个任务的选择， 下面以第二个任务的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为； ②若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为； ③若第二个任务选择任务，则三个任务的顺序为或， 所以获得礼品的概率为． 因为， 所以为使获得礼品的概率最大，同学应将任务A放在第二个任务的位置，第一个任务可在任务中任选，进而确定第三个任务． 【小问3详解】 按顺序， 约束条件①：获得2份礼品的概率不低于， 因为获得2份礼品即三项均通过，所以其概率 ． 约束条件②：获得礼品的概率不超过0.34． 获得礼品的概率：， 解得． 枚举的取值（不放回摸2个小球，编号之和小于的有序结果数共20种）： 编号之和小于的组合数 是否满足 0种 0 否 2种 0.1 否 4种 0.2 否 8种 0.4 否 12种 0.6 是 16种 0.8 是 18种 0.9 否 20种 1.0 否 因此，整数或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $