河北承德市部分校2025-2026学年高一下学期6月联考数学试题

高一数学 1答卷前，考生务必将自已的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在 本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知一个弹簧振子的运动方程为y=4sin3x-)】 则该弹簧振子的振幅、初相分别是 A振幅是4，初相是牙 B振幅是3初相是一晋 C振幅是4，初相是-无 D振幅是3，初相是一是 2.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题错误的是 A.若a∥B,n⊥B,则n⊥a B.若mCa,nCB,a∥B,则m与n平行或异面 C.若m⊥a,n⊥a,则m∥n D.若m⊥n,m⊥a,n∥B,则a⊥B 3.已知平面向量a,b满足a|=√3，b|=√2，且(a一2b)⊥(a十b),则向量a在向量b上 的投影向量为 A-2动 B.2b 0号 4.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O'A'B'C',且O'A'∥B'C', O'A'=2,A'B=1,将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的 体积为 A.142 14 7√2 3 B37 C. 3π D 3 2+x 3 cos ·sin(3rπ-x) 5.已知 tan(x-π) 8x∈(0，m),则sinx-cosx= A. 2 ￡⑥ 2 C.- 32 3√2 D 2 2 第1页（共4页） 6.已知{a,b,c}是空间的一组基底，则不能与a十b构成另一组基底的是 A.b,a-c B.b+c,a+c C.c;a+b-2c D.b-c;a+b+c 7,在正三棱锥A一BCD中，棱AB的中点为E,棱AC的中点为F,棱BD的中点为G,经过 点E,F,G的截面一定是 A.三角形 B.矩形 C.梯形 D,菱形 8.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M, N在同一个铅垂平面内.测得A到M,N的俯角∠BAM和∠BAN分别为a1=75°，B1 30°，B到M,N的俯角分别为a2=45°，B2=60°，同时测得AB=30km.则山顶M,N之间 的距离为 M A.105 km B.30 km C.20√3km D.10√/15km 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知平面向量m=(3,4),n=(2,a),则 A.当mLn时，a=-3 B.存在a∈R,使|m+2n=√17 C.与向量m共线的单位向量是（号，写） 34 D当向量m与向量m的夹角为锐角时a∈（名，号)U(?十） 10.已知函数f(x)=Asin(十p)A>0,w>0,lg<)的部分图象如图所示，且图中阴 影部分的面积为4π，则 A.一π是函数f(x)的一个周期 B.f(x)=2sin 2z+ C不等式f(z)≥1的解集为2kx,音+2k],k∈Z D将了(x)的图象向右平移个单位长度得到的图象所对应的函数是偶函数 11.如图，在正方体ABCD一A1B,C1D1中，点P在线段B,C上运动（包括端点），则下列结 论正确的是 0 A.直线B1D与BD1是异面直线 B.异面直线AP与A,D所成角的取值范围是 ππ] 3'2 C.若AB=1,则BP+十PA1的最小值为√2十√2 D.当直线AP与直线BD,相交时，交点在靠近B的三等分点处 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 ,1-1an15°，2n15° 12-1+1nn15十1-1a215° 13.已知点P为△A1BC所在平面内一点，若A产-)A店+子AC,则m 14.如图，一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影邵分，将这些阴影部分下来，然后用 余下的四个个等的等樱三角形加工成一个正四棱维形容器，当x=22m时，正四棱维外 接球的休积为 m3. 4m 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=2,AA'=4,∠BAD= ∠BAA'=∠DAA'=60° (1)以AB,AD,AA为基底向量，表示向量BD,AC; (2)求证：BD⊥AC'; (3)求AC的长. D D 16.(15分)已知△ABC的三内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 3b_2-cosB sin A (1)求角B的大小； (2)若△ABC的面积等于2√3，D为线段BC的中点，当中线AD最短时，求△ABC的 周长. 第3页（共4页） 17.(15分)如图，在正四核锥S一ABCD中，P为侧楼SD上的点，且.SP=3PD. (1)记平而面SAB∩平面SCD=l,证明：l∥CD. (2校C上是香行在一点B,使得BE∥平面PAC?若作在，求瓷的价：若不作在， 试说明理由. 18.(17分)已知函数f(x)=cosx十2√3 sin xcos x-sin2x, (1)求函数∫(x)的解析式及单调递增区间； (2)若方程∫(x)=1在[0,2π]上的根从小到大依次为x1,x2,,xm,求x1+2x2十 2x3十…十2xn-1十xn的值； π (3)设a∈0,2，i记fx)在[0，a]上的最小值为ga,求g(a). 19.(17分)如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，D为线段BC的中点，AB=AC,且 AB⊥AC (1)证明：AD⊥平面BCC1B1. (2)若CC,=2,二面角C-AC,-D的平面角为号 ①求AC与平面ADC,所成角的正弦值； 4 ②点E在侧面ABB,A,内，且三核锥E一ADC,的体积为了，求点E轨迹的长度。 第4页（共4页）高一数学 参考答案及评分意见 1.C【解析】由弹簧振子的运动方程为y=4si3x一)，得A=4,w=3,p=一不，即该弹簧振子的报幅是4，初韧 相是-不故选C 2.D【解析】对于A,若a∥3，n⊥B,则n上a,故A正确； 对于B,若mCa,nCB,a∥B,则m∥n或m,n异面，故B正确； D 对于C,若m⊥a,n⊥a,则m∥n,故C正确； 对于D,如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，AB⊥BC1, AB⊥平面BB1C1C,BC1∥平面AB1D1, 而平面BB1C1C与平面AB1D1不垂直，故D错误.故选D. 3.A【解析】因为(a-2b)⊥(a十b),所以(a-2b)·(a+b)=0,即a|2-a·b-2|b|2=0. 又a=√3，b=√2，所以a·b=-1.则向量a在向量b上的投影向量为 1aosa6·合=1语·合-6品0=0核途A 4.A【解析】在直观图中，因为O'A'=2,A'B'=1,∠C'O'A'=45°，所以B'C'=1,O'C'=√1+1=√2， 在原图中，BC=1,OA=2,OC=2√2，即圆台的高为2√2. 所以圆台的体积为号x(1+1×2+2)X22=142元 3元，故选A 5B【解析]co2十x·sin3πx) -sin a sin =sin cos tan(x-π) tan x 8 因为x∈(0，π)，所以sinx>0,又因为sin xcos x<0,所以cosx<0,所以sinx-cosx>0. 所以(sinx-cosx)2=sinx+cosx-2 sin xcos=1十=4，故sinx-cosz马 5 故选B. 6.C【解析】对于A,假设存在实数入，μ，使得a十b=λb十μ(a一c)=ua十λb一ac, [u=1, 则a=1,方程组无解，即不存在实数入，4使得上式成立，所以a十b,b,a一c不共面，能构成一组基底. 一4=0， 对于B,假设存在实数入，u,使得a十b=入(b十c)十u(a十c)=ua十Ab十(A十)c, [μ=1， 则入=1，方程组无解，即不存在实数入，4使得上式成立，所以a十b,b十c,a十c不共面，能构成一组基底. 2十4=0， 对于C,假设存在实数入，，使得a十b=ac十u(a十b一2c)=a十ub+(a-2μ)c, 数学答案第1页（共7页） 则/1， 0解得=1， 即存在实数入，4使得上式成立，所以a十b,c,a十b一2c共面，不能构成一组基底. a-2μ=0，a=2, 对于D,假设存在实数入，4，使得a十b=入(b-c)十u(a十b+c)=a十(+u)b十(u-λ)c, μ=1， 则入十=1，方程组无解，即不存在实数入，4使得上式成立，所以a+b,b一c,a十b十c不共面，能构成一组基 4-λ=0， 底故选C. 7.B【解析】如图，取CD的中点P,连接PF,PG,EF,EG.因为棱AB的中点为E,棱AC的中点为F,所以EF∥ BC.同理，GP∥BC,所以EF∥GP,所以四边形EFPG为经过点E,F,G的截面. 因为棱AB的中点为E,棱AC的中点为F,棱BD的中点为G,所以EG∥AD,FP∥AD,所以EG∥FP,所以 四边形EFPG是平行四边形.因为三棱锥A一BCD是正三棱锥，所以AD⊥BC,所以EF⊥EG,所以四边形 EFPG是矩形，即经过点E,F,G的截面一定是矩形.故选B. 8.D【解析】在△ABN中，∠ANB=B2-B1=30°，∠ABN=180°-B2=120°，所以AB=BN=30. 由余弦定理，得AN2=AB2+BN2-2AB·BNcos.∠ABN,即AN=√900+900+900=30√5. 在△ABM中，∠AMB=180°-(a,十a)=60,由正弦定理，得AB AM sin∠AMB sin∠ABM' 所以AM=30sin45° sin60° =10√6. 在△AMN中，∠MAN=a1-B1=45°，由余弦定理得，MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN, 即MN2=(10W6)2+(30√3)2-2×10√6×30√3×cos45°=1500，即MN=10√15. 所以M,N之间的距离为10√15km.故选D. 9AD【解析]对于A,因为mLn,所以3X2十4a=0,解得a=名放A正确； 对于B,m十2n=(7,4+2a),若m+2n|=√17，则49+16+4a2+16a=17, 即a2+4a+12=0,△=16-48<0，故不存在a∈R,使m十2n=√/17，故B错误； 对于C,与m关线的单位向量有两个，为日=士8是=±（得）放C错误， √/25 对于D,当m与n的夹角为锐角时，m·n>0且m,n不共线， 即6+4u>0且3a≠2×4，解得a∈(2·8)U(8+,故D正确故选AD 10.ABD【解析】对于A,由题意及函数f(x)的图象可知，A=2.设函数f(x)的最小正周期为T,则阴影部分的面 积为4T=4π，则T=元.因为f(x)的最小正周期为元，所以一π也是f(x)的一个周期，故A正确. 对于B,因为w>0,所以w---2.因为f0)-1,即2sing=1,所以n=号因为-吾<g<受 Tπ 数学答案第2页（共7页） 所以g-音，所以f）-2sn2x+看），放B正确 不等式1x)1,即m2x+晋）≥2，所以晋+2<2x十晋<+2，∈Z解得x<≤行+，k∈z, 1 故C错误 将了x)的图象向右平移否个单位长度后，所得图象的函数解析式为8✉)=(-】 -2n[2(e-）十看】-2an2x-到）-2ao2红，为偶隔数放D正确故选ABD 11.BCD【解析】对于A,线段B1D与BD1是正方体ABCD一A1B1C1D1的对角面BDD1B1的两条对角线，所以 直线B1D与BD1共面，故A错误 对于B,在正方体ABCD一A1B1C1D1中，易知△ACB1为等边三角形， 则∠AB,C=子≤min∠APC,∠APB,≤ ,A1D∥B,C,∴∠APC或其补角为异面直线AD与AP所成角， 则异面直线A1D与AP所成角的取值范围为， L32 ,故B正确. 对于C,如图，将面BB1C和面A1B1C沿着B1C展开至同一平面， 则当A1,P,B三点共线时，BP+PA1取得最小值. B,B=BC=AB=1,且B,BLBC,∠BB,C-T,则∠A,B,B-3 又AB1=1,A1B=A1B+BB2-2·AB:·B:BCos 3π=√2+2， 即BP+PA1的最小值为√2十√2，故C正确. 对于D,如图，连接B1D1,记A1C1∩B1D1=E. 在正方体ABCD-A1BC1D1中，BB1⊥平面ABC1D1,A1CC平面A1BCD1,.BB1⊥AC1. 在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1,又BB1∩B1D1=B1,B1D1,BB1C平面 D BBD1,∴AC1⊥平面BB:D1. BD1C平面BB1D1,.A1C1⊥BD1,同理得DC1⊥BD1, A1C1∩DC1=C1,A,C1,DCC平面A1CD,.BD1⊥平面ACD, 又平面AB1C∥平面A1C1D,.BD1⊥平面AB1C,设交点为O. .直线AP与直线BD1相交，交点为O 又Ve-a=Va-Am,设正方体ABCD-A,BCD,的棱长为2，则写×B0X名×2,2X2E×s π1 3=3× 1 2x2×2×2, 数学答案第3页（共7页） 解得B0-25又：BD,-十十-25-3B0, ∴.当直线AP与直线BD1相交时，交点在靠近B的三等分点处，故D正确.故选BCD. 12.23 3 【鲜折片1g+-m45-15+a2×15刊-2 3 18.；【解标]如图，过点A作正-号A,正-C,则A市-号店+AC-A店+A应 以AE,AF为邻边作平行四边形AEPF, 所以S△AFP=3S△PFC,S△ABP=2S△AEP=2S△AFP,所以S△ACP=4S△PFC,S△ABP=6S△PFC, 则△AP一3 SAACP2· 14.9√2π【解析】设加工成的正四棱锥形容器为P一ABCD,O为底面ABCD的中心，如图. 当x=2E时，由题意，得正四棱锥的底面边长AB=22,斜高PE=2,OE=AB=厄， 所以正四棱锥的高PO=√4一2=√2. 设正四棱锥外接球的半径为R,球心为M,则R≥2，点M在直线PO上，且在正四棱锥外， 所以(R一②)y2-R,解得R-3.所以正四棱维外接球的体积为号R=9,区元 15.(1)解：在△ABD中，由空间向量的减法运算，得BD=AD-AB.…2分 AC=AC+CC=AB+AD十AA7.…4分 (2)证明：因为AB=AD=2,AA'=4,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°， 所以AD.AB=2X2Xc0s60°=2，AD.AA-AB.AA7=2X4Xcos60°=4.…6分 由(1)得BD.AC=(AD-AB)·(AB+AD+AA) =AD·AB+AD2+AD.AA-AB2-AD·AB-AB.AA =2十4十4-4-2-4=0，…8分 所以BD⊥AC,即BD⊥AC.…9分 (3)解：由(1)知AC-AB+AD+AA, 所以AC?=(AB+AD+AA)2-AB2+AD2+AA72+2AB.AD+2AB.AA+2AD·AA =4十4十16十2X2十2X4十2X4=44,…12分 所以AC'=|AC|=2√1.…13分 16.解：(1)在△ABC中，由正弦定理，得√3 sin Bsin A=2sinA-sin Acos B. 因为A∈(0，π)，sinA≠0，所以W3sinB=2-cosB.…2分 数学答案第4页（共7页） 所以3sinB+cosB=2sinB+若)-2，即inB+君)-1 ……4分 又B∈0，，B+∈（后）则B+-， 所以B=交」 3 …6分 2)由a)得Sac=2 sB=5a。 1 4ac=23,所以ac=8. …8分 在△ABD中，由余弦定理， 得AD=c+(-2·os=e+(--4 当且仅当c=号，即a=4,6=2时，等号成立.…11分 所以AC5=6=a+c-2 B=16+4-2X4X2x号-12， 故AC=23.…13分 所以△ABC的周长为6十2W3.…15分 17.(1)证明：在正四棱锥S一ABCD中，因为AB∥CD,CD丈平面SAB,ABC平面SAB, 所以CD∥平面SAB.…3分 又因为CDC平面SCD,平面SAB∩平面SCD=l, 所以l∥CD.… …6分 ②)解：在侧陵SC上存在-点E,使BE∥平面PAC,满足瓷=2 …8分 理由如下：连接BD交AC于点O,并连接OP.因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点.…9分 取PD=PQ.又因为SP=3PD,所以S -2. 过点Q作PC的平行线交SC于点E,连接BQ,5E,则器-部-2.11分 ECQP 在△BDQ中，BQ∥PO.因为POC平面PAC,BQ￠平面PAC,所以BQ∥平面PAC. 又因为QE∥PC,PCC平面PAC,QE中平面PAC,所以QE∥平面PAC.…I3分 又因为BQ∩QE=Q,BQ,QEC平面BEQ,所以平面BEQ∥平面PAC. 又因为BEC平面BEQ,所以BE∥平面PAC.…14分 所以侧棱SC上存在一点E,使得BE∥平面PAC,且 SE EC =2.……15分 18.解：1fx)=cosx+28 sin-sinx=3sin2x+cos2z=2sim2z+若) …4分 令-2+2m≤2x+名≤受+2，∈Z,解得-智十k≤≤看+x,k∈Z, 数学答案第5页（共7页） 所以f(x)的单调递增区间为 …6分 (2)作出f(x)的图象和直线y=1,如图. y=fx) 23π/2π 因为fx)=1.所以2sm2z+）-1,即snx+)-日 所以2z+晋-誓+2k,成2x+石-+2kx6∈Z, 66 解得x=k元或x三十k元，kC乙.………0 …8分 由图可知，f(x)的图象与直线y=1在[0,2π]内有5个交点， 则所有根从小到大依次为1=0，：=否4=，一行：=2x 4π …9分 所以z十，-晋-经：t2,-t1g, 3 所以x1十2x2十2x3十2x4十x5=(x1十x2)+(x2十x3)十(x3十x4)+(x4十x5) -++-g-g1分 Γ31313 (3)令1=2x+6,因为xe[0],所以∈[答，2a+日] …12分 当∈，)时，有1=2z+晋∈[后2a+}[合) 由正弦函数图象，得g(a)=∫(0)=1；…14分 当a∈[后时，有=2z+∈[62a+]=[6,,且2a+晋∈[，7) 由正弦函数图象，得ga)=fa)=2sin2a+石) …16分 ie(o.). 综上，g(a) …17分 19.(1)证明：因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC,ADC平面ABC,所以AD⊥BB1.·2分 因为AB=AC,D为线段BC的中点，所以AD⊥BC 又因为BB1∩BC=B,BB1,BCC平面BCC1B1,所以AD⊥平面BCC1B1.… …4分 (2)解：①在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,则直线AB,AC,AA1两两垂直， 以点A为坐标原点，AB,AC,AA1所在的直线分别为x,y,2轴建立如图所示的空间直角坐标系.…5分 24 B 数学答案第6页（共7页） 设AB=AC=2a,则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(0,2a,0),D(a,a,0),C1(0,2a,2), 所以AD=(a,a,0),AC=(0,2a,2).…6分 n·AD=a.x1+ay1=0, 设平面ADC的法向量为n=(x1,y1,之1)，则 n·AC1=2ay1+2z1=0, 取x1=1,则y1=-1,之1=a,所以n=(1,一1，a).…7分 易知平面CAC1的一个法向量为m=(1,0,0).… …8分 11 因为三面角C-AC,-D的平面角为所以cos5-Hm多2一 獬得a=√2，则n=(1,-1,√2)，AC=(0,2√2,0)…10分 设AC与平面ADC,所成角为0，则sin9=|cosn,A衣1=n·AC 2√21 |n||AC12X222' 所以AC与平面ADC:所成角的正弦值为2： …12分 ②由(I)得AD⊥平面BCC1B1,因为DC1C平面BCC1B1,所以AD⊥DC1. 因为AB=AC=2√2，所以AD=2.所以在Rt△ADC1中，DC1=2√2，则S△Ac1=2√2. 由三楼锥E-ADC,的体积为号，即号-了SAc:·h,解得-2，所以E到平面ADC,的距高为E… ……14分 由点E在侧面ABB1A1内，设E(x,0,z),则AE=(x,0,z),x≥0，z≥0， 所以E到平面ADC,的距离为d=n·A-十E:=2, n 2 即点E轨迹方程为x十√2之=2W2(0≤x≤2√2).… …16分 又因为A1(0,0,2),B(2√2,0,0)，所以点E在侧面ABB1A1内的轨迹是线段A1B, 所以点E的轨迹长度为A1B=23.…17分 数学答案第7页（共7页）