第十三讲 指数函数与对数函数的图象和性质 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦指数函数与对数函数的图象和性质这一高考核心考点，按定义、图象、性质、解题方法的逻辑层次构建知识体系，通过必掌握知识点梳理、解题方法总结、10类必考题型全归纳的教学环节，帮助学生系统突破性质应用难点。 资料采用题型分类突破策略，如在对数构造函数比较大小题型中，通过“同构法”引导学生抽象函数模型，培养数学思维与推理能力。设置从基础判断到导数综合应用的梯度题型，配合解题技巧总结，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

2027届高三数学一轮复习 第十三讲 指数函数与对数函数的图象和性质 【学习目标】熟悉指对函数的图象，利用指数与对数函数的性质解决与指数与对数函数相关的问题． 【学习重点】指数与对数函数性质的应用. 【学习难点】指数与对数函数性质的应用. 必掌握知识点 一 、指数函数的图像和性质： 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 二、对数函数的图像和性质： 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 三 解题方法总结 1、指数函数常用技巧： (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 2、对数函数常用技巧： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 必考题型全归纳 题型一 指、对、幂函数命题正误综合判断 1．已知命题： ①函数的值域是； ②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度； ③当或时，幂函数的图象都是一条直线； ④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是. 其中正确的命题是 A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】试题分析：①：由在 上递增可知①正确；②：应向右平移个单位，故②错误；③：时，的图象应为直线去掉点，故③错误；④：∵， ∴，且 ，∴，故④正确，∴正确的命题为①④，故选B． 【考点】本题主要考查函数的性质． 题型二 对数函数图像与底数大小判断 2．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象的特征进行判断即可得到的大小关系． 【详解】如题干图所示，由于在第一象限中，随着底数的增大，函数的图象越向轴靠近， 所以．故选． 【点睛】根据对数函数的图象判断底数的大小关系时，可令，从而得到底数的值，然后根据各个底数在轴上的分布情况得到底数的大小关系．一般的结论是：在第一象限，从左向右，底数逐渐增大． 题型三 复合对数函数单调区间（同增异减） 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．（1，3） D．（-1，1） 【答案】D 【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数的单调性以及对数函数单调性，求得的单调增区间. 【详解】由，解得，所以的定义域为. 二次函数的开口向下，对称轴为. 所以在区间上递增，在区间上递减. 在区间上递增.根据复合函数单调性同增异减可知，函数的单调递增区间为故选：D 题型四 指数、对数函数图像共存辨析 4．已知，则函数与函数的图象可能是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图象，即可得到答案． 【详解】lga+lgb＝0，即为lg（ab）＝0，即有ab＝1， 当a＞1时，0＜b＜1，函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx 在同一坐标系中的图象不可能是C， 而A显然不成立，对数函数图象不可能在y轴的左边； D是0＜a＜1，0＜b＜1,不满足ab＝1； 当0＜a＜1时，b＞1，函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx，在同一坐标系中的图象可能是B，故选B． 【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图象的画法，考查对数的运算性质，属于基础题． 题型五 对数构造函数比较大小 5．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的基本性质得出，设函数，则，结合函数的单调性可得出结论. 【详解】由，可得. 因为，所以，所以. 设函数，则， 易知在上单调递增，所以，即.故选：D. 6．阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？ 解析：， 有， 得， 设函数，则在上单调递增， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 阅读参考以上材料，解答下列问题： (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)已知，求的值. 【答案】(1)函数在上的单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （2）依题意可得，即，根据（1）的结论得到，最后根据对数的运算性质计算可得. 【详解】（1）函数在上的单调递增，证明如下： 设且，所以， 因为且，所以，，则， 所以，即，即， 所以在上的单调递增； （2）由，则，即， 显然，即， 因为，所以，，所以，则， 由（1）知在上的单调递增，所以，即，即. 【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是“同构”得到，结合（1）中函数的单调性得到. 7．已知函数. (1)若时，求满足的实数的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知，，令，则，解得或（舍），再回代解方程即可; （2）将原问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值. 【详解】（1）由题意可得 令，则，解得或（舍去），此时： （2）由，得令，由得 令，可得在上单调递增，可得所以综上：的取值范围为 题型六 导数极值 、对数函数综合 8．已知函数的两个极值点分别为，且，动点的可行域为平面区域，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用函数的极值以及函数的零点列出约束条件，利用线性规划通过目标函数的最优解，求解的取值范围. 【详解】，由题意，的两根分别为， 由二次方程根的分布得，即， 画出该不等式组所表示的平面区域， 当时，函数过点， 在上单调递减，不经过平面区域，不符合题意； 函数经过点时，， 当时，函数在上单调递增， 函数图像过平面区域，符合题意； 当时，函数在上单调递增， 函数图像不过平面区域，不符合题意.因此当时函数图像经过区域.故选：C. 题型七 分段函数对称性、图像交点范围 9．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得关于对称，再由关于对称，可得关于对称，且，得，．作出图象，得出，表示，根据函数的性质可求得答案得选项. 【详解】由可得关于对称，因为，则关于对称， 所以关于对称，且，得，．则图象如下图所示， 则，，，所以， 令，则，令，则， 由得；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 所以．故选：A． 【点睛】：本题考查分段函数的图象以及图象的交点，关键在于准确地得出函数的对称轴，作出函数的图象，运用数形结合的思想得以解决. 题型八 反函数核心知识点 10．在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称.一般地，设函数的值域为，根据这个函数中，的关系，把用表示出来，得到.若对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作.习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为. 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域. 现已知函数的反函数为，则下列说法正确的有（    ） A．函数的图像是中心对称的，其对称中心为 B．函数在上的最大值与最小值之和为2 C．函数与函数的图像的交点个数为3 D．不等式的整数解为41个 【答案】D 【分析】利用函数平移和对称性判断A，根据反函数的性质可知单调递增，则函数在上的最大值与最小值之和即为判断B，利用反函数的对称性可得与的图象交点在上或交点成对出现且关于对称，分情况讨论判断C，根据反函数的定义将不等式转化为，代入求解判断D. 【详解】对于A，由题意可得 ， 所以函数的图象可由的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，易知是奇函数，关于对称，所以的图象关于对称， 根据反函数的对称性与的图象关于对称， 所以也是中心对称图形，对称中心为，A说法错误； 对于B，因为恒成立， 所以单调递增，定义域、值域为， 所以根据反函数的性质可知单调递增， 则函数在上的最大值与最小值之和即为， 令，结合单调性有唯一解， 令，结合单调性有唯一解， 即，，所以，， 所以，B说法错误； 对于C，因为与的图象关于对称， 所以与的图象交点在上或交点成对出现且关于对称， 当交点在上时，，即， 令，则， 所以单调递增，则有唯一解，所以在上有唯一交点， 当交点不在上时，假设存在，满足且，则且，代入得，两式相减得，因为，整理得， 所以关于的一元二次方程判别式，无解， 所以与的图象仅有一个交点，C说法错误； 对于D，不等式即，根据反函数的定义由可得，由可得，代入得，，所以不等式的解为，共有41个整数解，D说法正确；故选：D 题型九 新定义：分渐近线 11．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线l：为曲线与的“分渐近线”，给出定义域均为的四组函数如下：①，；②，；③，；④，.其中，曲线与存在“分渐近线”的是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据分渐近线的定义，对四组函数逐一分析，由此确定存在“分渐近线”的函数. 【详解】由题意知时，与有相同的渐近线，且与图象分别在渐近线的两侧 由①，的图象知（如下图所示），当时，两图象无渐近线，不合题意．    由②，的图象（如下图所示）．    与有相同的渐近线且与分别在渐近线两边，符合题意； 由③，的图象如下图所示 当时与的图象有共同的渐近线，但与的图象在渐近线同侧，不合题意    由④，的图象如下图所示，      当时，，∴的渐近线为 由图象知与有共同的渐近线 且与的图象分别在渐近线两侧，符合题意，故选：C 题型十 三次函数拐点（对称中心）、极值、方程根综合 12（多选）．设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（    ） A．若有极值点，则 B．若当时，有极值，则对应的拐点为或 C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 【答案】ACD 【分析】分析可知，对于。，可判断A选项；根据题中信息求出实数、的值，结合拐点的定义可判断B选项；根据题意可知，在上为单调函数，对于，有，可判断C选项；利用三次方程根与系数的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，若函数有极值点，则有两个不等的零点， 所以，，即，A对； 对于B选项，当时，函数有极值， 则，解得或， 当，时，， 此时，函数在上单调递增，该函数无极值，经检验，，合乎题意， 所以，，，令，可得， 此时，函数对应的拐点为，B错； 对于C选项，当时，函数在上无极值点， 则函数在上为单调函数，则恒成立， 则，解得，即实数的取值范围是，C对； 对于D选项，当，时，，由有， 等式两边同除可得， 令，则、、是方程的三个根， 所以，， 即， 所以，，，， 所以，，D对.故选：ACD. 【点睛】：本题第（3）问题的解题关键就是令，从而将问题转化为、、是方程的三个根，然后利用韦达定理求解. 13（多选）．设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”“且拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（   ） A．当时，则的图象关于点对称 B．过的拐点有三条切线 C．当时，函数有两个极值 D．当时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为． 【答案】ACD 【分析】对于A，由求解即可；对于B：通过反例当时，排除，对于C：由有变号零点，通过判别式可判断；对于D，求导确定函数单调性，求得极值，进而可求解. 【详解】对于A，，，， 令得，，则，故拐点为， 则关于点对称，故A正确； 对于B，不妨设，此时，易得拐点为， 因，设切点为，则切线方程为， 将代入得，， 此时过的拐点有且只有1条切线，故B错误； 对于C，有两个极值点，则有两个变号零点， 故，即，此时有两个零， 由可得或，由可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即函数有两个极值，故C正确； 对于D，，则有， 由可得或，由可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 若有三个不等实数根，则有，解得，故D正确.故选：ACD 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十三讲 指数函数与对数函数的图象和性质 【学习目标】熟悉指对函数的图象，利用指数与对数函数的性质解决与指数与对数函数相关的问题． 【学习重点】指数与对数函数性质的应用. 【学习难点】指数与对数函数性质的应用. 必掌握知识点 一 、指数函数的图像和性质： 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 二、对数函数的图像和性质： 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 三 解题方法总结 1、指数函数常用技巧： (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 2、对数函数常用技巧： 在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图) 必考题型全归纳 题型一 指、对、幂函数命题正误综合判断 1．已知命题： ①函数的值域是； ②为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度； ③当或时，幂函数的图象都是一条直线； ④已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是. 其中正确的命题是 A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 题型二、对数函数图像与底数大小判断 2．图中曲线分别表示，，，的图象，则，，，的关系是． A． B． C． D． 题型三、复合对数函数单调区间（同增异减） 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．（1，3） D．（-1，1） 题型四 指数、对数函数图像共存辨析 4．已知，则函数与函数的图象可能是 A． B． C． D． 题型五 对数构造函数比较大小 5．已知，若，则（   ） A． B． C． D． 6．阅读材料：“同构法”是通过函数单调性解决问题时的常用方法，如下面的典型例题.已知实数，满足，则的最小值是多少？ 解析：， 有， 得， 设函数，则在上单调递增， 因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 阅读参考以上材料，解答下列问题： (1)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (2)已知，求的值. 7．已知函数. (1)若时，求满足的实数的值； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 题型六 导数极值 、对数函数综合 8．已知函数的两个极值点分别为，且，动点的可行域为平面区域，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 分段函数对称性、图像交点范围 9．定义函数，若函数，，且对任意的，都有成立，函数的图象与自左向右有四个交点、、、，则的范围为（    ） A． B． C． D． 题型八 反函数核心知识点 10．在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称.一般地，设函数的值域为，根据这个函数中，的关系，把用表示出来，得到.若对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作.习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为. 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域. 现已知函数的反函数为，则下列说法正确的有（    ） A．函数的图像是中心对称的，其对称中心为 B．函数在上的最大值与最小值之和为2 C．函数与函数的图像的交点个数为3 D．不等式的整数解为41个 题型九 新定义：分渐近线 11．对于具有相同定义域D的函数和，若存在函数（k，b为常数），对任给的正数m，存在相应的，使得当且时，总有，则称直线l：为曲线与的“分渐近线”，给出定义域均为的四组函数如下：①，；②，；③，；④，.其中，曲线与存在“分渐近线”的是（    ） A．①④ B．②③ C．②④ D．③④ 题型十 三次函数拐点（对称中心）、极值、方程根综合 12（多选）．设是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数，则（    ） A．若有极值点，则 B．若当时，有极值，则对应的拐点为或 C．若当时，在上无极值点，则的取值范围为 D．若当，时，曲线与轴分别交于、、，则 13（多选）．设是三次函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”“且拐点”就是三次函数图象的对称中心．设函数，则以下说法正确的是（   ） A．当时，则的图象关于点对称 B．过的拐点有三条切线 C．当时，函数有两个极值 D．当时，若方程有三个不等实数根，则实数的取值范围为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $