第13讲指数函数与对数函数（知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数函数与对数函数专题，覆盖根式、指数幂运算、对数性质、函数单调性等近3年高频考点，按“概念-运算-性质-应用”逻辑构建知识体系，通过知识清单梳理、7个典例精讲、6大方法技巧及分层训练，帮助学生系统突破考点难点。 讲义创新采用“解题大招”策略，如复合函数单调性“同增异减”法、中间量比较大小等，培养学生数学思维与运算能力。设置基础过关、拔高选练、错题复盘分层练习，配合真题变式训练，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第13讲指数函数与对数函数 （知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 指数对数大小比较、对数运算性质、函数定点 单选、填空题 5分 对数函数单调性、对数不等式求解 单选、多选题 5分/6分 复合指数函数单调区间与最值 填空题 5分 指对幂综合比大小： 单选题 5分 对数换底公式化简求值 单选、解答题 5分/10分 指数型偶函数判定 单选题 5分 复合对数函数定义域、单调性判断 单选题 5分 指数不等式求解，同底转化单调性 单选题 5分 【知识点01】根式 (1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (3)()n＝a. 当n为奇数时＝a, 当n为偶数时＝|a|＝ 【例1】化简下列根式：（1）；（2） 解析：（1）由，得； （2）偶次根式需绝对值：。 【知识点02】分数指数幂 正数的正分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1). 正数的负分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1). 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 【例2】将下列根式化为分数指数幂：（1）；（2） 解析：（1）； （2）。 【知识点03】指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R). 【例3】化简 解析：. 【知识点04】对数的概念 一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N.  以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N.  【例4】将指数式化为对数式：（1）；（2） 解析：（1）； （2）。 【知识点05】对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1＝N(a>0,且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数换底公式：logab＝(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1). 【例5】计算 解析：. 【知识点06】指数函数及其性质 (1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,＋∞) 性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1 当x>0时,y>1； 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1； 当x>0时,0<y<1 增函数 减函数 【例6】比较大小：与 解析：函数中，在上单调递增； 因，故。 【知识点07】对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即x＝1时,y＝0 当x>1时,y>0； 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0； 当0<x<1时,y>0 增函数 减函数 【例7】求的定义域与单调区间 解析： 定义域：真数大于0，，即； 外层函数递增，内层递增，由同增异减，函数在上单调递增。 【知识点08】反函数 指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称. 【例8】已知指数函数过点，求其反函数所过定点，并写出反函数解析式。 解析： 的反函数为； 由反函数对称性质，原函数过，则反函数过。 【题型一】根式与指数幂化简求值 【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】因为，且，所以，即， 所以. 【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知实数且，，函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据函数的解析式形式，构造新函数，根据新函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 则， 所以， 所以， 所以， 因为，所以. 【变式2】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 【变式3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 【题型二】对数式化简与求值 【例1】（2026·河南·模拟预测）（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据两角和与差的正切公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】， ， 所以． 【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法1：由，得，所以，所以， 所以，即，所以． 法2：， 所以． 【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【答案】1 【详解】由可得，又， 则. 【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【答案】16 【详解】由题意得，解得. ， 即， 则， 则， 则，即，即， 即，则，解得. 【题型三】指数、对数函数定义域求解 【例3】（2025·黑龙江·二模）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【分析】对于命题，对于命题，举出例子判断为假命题,进而根据选项判断正确选项. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，因为成立，所以为假命题. 故选：D. 【变式1】（多选）（2024·广东·模拟预测）已知函数，则（   ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 【答案】AC 【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断. 【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方， 即恒成立，所以的定义域为R，故A正确； 对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误； 对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称， 将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象， 此时对称轴为直线，故C正确； 对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误. 故选：AC 【变式2】（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0即可得解. 【详解】令， 解得或，即， 因此函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________. 【答案】 【分析】应用一元二次不等式恒为正分两种情况计算求解. 【详解】对一切实数均成立， 所以当时，显然成立； 当时，， 解得； 故的取值范围为. 故答案为： 【题型四】指数函数、对数函数的值域 【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用函数对称性判断C，D，再根据时，排除A. 【详解】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数， 中，，，不相等，所以C选项错误； 中，，，不相等，所以D选项错误； 对于，当时，，与图象不符，故排除A. 故选：B 【变式1】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由指数函数的值域是，可得，故A正确； 对于B，由函数，可得，故B正确； 对于C，由，两者不一定相等，故C错误； 对于D，因为，所以在上单调递减，所以，故D正确． 【变式2】（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则______． 【答案】5 【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出. 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而， 所以. 故答案为：5 【变式3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用轴对称列式求出解析式. （2）由（1）的结论，按分段，结合对数函数性质及不等式性质推理得证. 【详解】（1）函数，因函数的图象与的图象关于直线对称， 则， 故函数的解析式为. （2）由（1）知，，恒有， 若，则，，而，因此； 若，则，，，因此， 综上，可得. 【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式 【例5】（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，所以， 因为，所以. 【变式1】（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性即可得的范围即可判断AB，利用单调性即可判断CD. 【详解】的定义域为． 设，可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得， 又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 故选：AC． 【变式2】（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先求得函数定义域，然后分与讨论，结合对数函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则，解得，所以定义域为， 当时，， 由可得，即，无解； 当时，， 由可得，即， 即，解得， 又，所以， 即不等式的解集为. 故答案为： 【变式3】（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据奇函数性质求得，然后利用奇函数定义判定即可得解. （2）结合（1）根据指数函数单调性判断是上的单调递增且奇函数，然后将题干恒成立问题转化为恒成立，分离常数令，则对恒成立，然后结合不等式的性质利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意知的定义域为， 又是奇函数，所以，解得，此时， 故， 所以是定义域为的奇函数，所以. （2）因为在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又是上的奇函数， 所以等价于， 即，所以， 即，因为恒成立， 所以， 故， 令，因为，所以， 所以对于一切恒成立， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以，当且仅当时取等号，即m的取值范围为. 【题型六】比较指数幂、对数式的大小 【例6】（2026·云南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故 【变式1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，．由 ，得 ， 函数 在 上单调递增， 单调递减， 故方程有唯一解，且 ． 由 ，代入 得，故 ． 令 ，该函数在 上单调递增， 因为 ，，所以 ． 综上，． 【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性得到a，b的范围，利用指数函数的单调性得到c的范围比较. 【详解】因为， 所以 易知， 所以 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】当时，，当时，可得可取任意负数，即可求解. 【详解】对于，， 当时，对于，，则可取任意负数，如； 故答案为：. 【题型七】反函数问题 【例7】（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 【变式2】（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，，， 则分别是直线与函数，图象交点的横坐标， 而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称， 则，于是，，，BC正确，A错误； 因为,所以， 则，即，D错误. 故选：BC    【变式3】（2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为________. 【答案】 【分析】根据与的对称关系可知，由此可求得结果. 【详解】由题意知：， 分别为、与直线交点的横坐标， 与关于直线对称，关于直线对称， 则由得：，， . 故答案为：. 【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧 技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为幂形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步出错。 核心公式： 【例1】计算 解析： 【解题大招02】指对函数定义域秒杀技巧 技巧口诀：对数真数必大于0，底数大于0且不为1，分母不为0，根式非负，多重限制联立求解。 【例2】求 的定义域 解析：列约束条件： 定义域： 【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法 技巧原理：设复合函数，内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。 单层单调性：， 递增；， 递减。 【例3】求 的单调区间 解析：① 定义域： ② 拆分：外层（递减），内层 ③ 同增异减： ，内层递减、外层递减，复合函数单调递增 ，内层递增、外层递减，复合函数单调递减 【解题大招04】指对幂数值大小比较 解题套路：找中间量 分层，先分层再精细对比。 1. 指数： 底数大则值大； 底数大则值小； 2. 对数：。 【例4】比较 大小 解析： 大小关系： 【解题大招05】指数、对数不等式通用解法 核心规则：同底函数单调性脱壳，不等号不变，不等号反向，对数必须保留真数大于0。 【例5】解不等式 解析：底数，单调递增，直接脱壳： 解集： 【解题大招06】反函数性质秒杀技巧 核心结论：与 互为反函数，图象关于 对称；原函数点，反函数必过。 【例6】已知 过点 ，求其反函数定点。 解析： 反函数为 ，由对称性质，反函数过定点 。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 2．（2026·山西·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，其中， 又， 则． 3．（2026·河北保定·三模）已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由，所以， 所以，所以的非空真子集有和共2个. 二、多选题 4．（2025·河北保定·二模）若函数，则（      ） A．为减函数 B． C．的值域为 D． 【答案】BC 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，即可判断选项A，C；根据对数函数的性质解方程与对数不等式，即可判断选项B，D. 【详解】因为，， 所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确； ，故选项正确； ，故选项错误. 故选：BC. 三、填空题 5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 【答案】 【详解】由，得，所以，所以． 6．（2026·云南·模拟预测）已知，则_______． 【答案】2 【详解】因为， 则 四、解答题 7．（2024·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用根式与指数幂运算法则计算即可得出结果； （2）由根式与分数指数幂的互化，计算化简即可得出答案. 【详解】（1）原式 （2）由根式与分数指数幂互化运算可得， 8．（2024·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把两点坐标代入函数解析式，求，的值； （2）证明函数在上单调递增，有，可求的取值范围． 【详解】（1）函数的图象经过点，， 得，解得； （2）由（1）得，， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以在上的最大值为， 因为关于的不等式在上有解， 所以，解得， 即的取值范围为 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题意，得，所以. 2．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件，将代入关系式可求出的值，再利用对数的运算即可求解. 【详解】当时，，即. 当时，，即， 则，即. 因为， 所以.令，则， 所以，则. 二、多选题 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 【答案】AC 【详解】令，则或，故 的定义域关于原点对称， 选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。 选项B：，B错误。 选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。 选项D：由于， 不满足，D错误。 三、填空题 4．（2026·江苏·模拟预测）已知两点在函数的图象上，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴.若线段的长度是线段长度的12倍，则线段长度为__________. 【答案】 【分析】设，利用，再列式因式分解即可求解． 【详解】解：设，则， 线段的长度为，线段的长度为， 因为，所以：， 又因为平行于轴，所以点与点的纵坐标相等， 即，，故， ， ， 即， ， ，， ，解得， 线段长度为． 四、解答题 5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的定义域，再利用奇偶函数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用对数的运算及对数函数的性质得，再结合函数的定义域，即可求解. 【详解】（1）由，解得，所以的定义域为， 又是偶函数，则的定义域关于原点对称，所以，即实数的值为. （2）由（1）知的定义域为，由， 得到，， 即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 6．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)若函数有最大值为1，求的值； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性得出有最小值，再结合二次函数的性质求解即可； （2）先求出，再分、、三种情况并结合求解即可. 【详解】（1）因为在上单调递减，有最大值为1， 所以有最小值， 故且，解得； （2）由题意得， 因，则，，则， 而，使得，则， 若，则，符合题意； 若，则，则，解得； 若，则，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 2．（2026·陕西渭南·三模）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，， 当，，则，，此时； 当，，则，，此时； 充分性不成立. 由，得，即； ，，由基本不等式得（当且仅当时等号成立）； ； . 必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 二、多选题 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 三、填空题 4．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，先确定参数，再验证该参数下． 【详解】因为函数有意义，则． 若，则，此时定义域为，不关于原点对称，不符合偶函数定义，故． 当时，临界点为和，定义域为或． 因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，故两个临界点互为相反数，即，解得． 当时，定义域为． 对任意，有. 所以． 四、解答题 5．（2025·福建漳州·一模）已知函数，， (1)当时，设函数的图象、的图象与函数的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ中点M的坐标. (2)若对恒成立，求实数k的取值范围. (3)若函数至少有两个相异的零点，求整数k的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用互为反函数，又函数的图象也关于直线对称，可求线段PQ中点M的坐标. （2）由题意恒成立，可令，利用单调性可得，参变分离，可得，令，求导可得其最大值，进而可得k的取值范围； （3）求导，由（2）可得，函数至多只有一个零点，可得，由，可得函数至少存在两个零点，可得结论. 【详解】（1）当时，函数与函数互为反函数， 两个函数的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称， 所以P，Q关于直线对称. 综上可知点M为函数的图象与直线的交点， 计算可得M的坐标为 （2）不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立， 构造函数，上式等价于 易知为单调递增函数，所以，等价于， 设函数，求导可得， 当时，；当时，； 由此可得在上单调递增，在上单调递减， 即可得，由此可得k的取值范围是 （3）的定义域为，由函数， 可得， 由（2）可知，当时，， 即可得在上单调递增，所以函数至多只有一个零点. 所以当函数至少有两个相异的零点时，， 又因为k为整数，所以不妨令，则， 当时，，，当时，， 此时函数至少存在两个零点，由此可得整数k的最大值为 【点睛】关键点点睛：恒成立，得到，利用同构令，利用单调性得到，进而计算可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲指数函数与对数函数 （知识清单+7典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 指数对数大小比较、对数运算性质、函数定点 单选、填空题 5分 对数函数单调性、对数不等式求解 单选、多选题 5分/6分 复合指数函数单调区间与最值 填空题 5分 指对幂综合比大小： 单选题 5分 对数换底公式化简求值 单选、解答题 5分/10分 指数型偶函数判定 单选题 5分 复合对数函数定义域、单调性判断 单选题 5分 指数不等式求解，同底转化单调性 单选题 5分 【知识点01】根式 (1)一般地,如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. (3)()n＝a. 当n为奇数时＝a, 当n为偶数时＝|a|＝ 【例1】化简下列根式：（1）；（2） 【知识点02】分数指数幂 正数的正分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1). 正数的负分数指数幂：(a>0,m,n∈N*,n>1). 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 【例2】将下列根式化为分数指数幂：（1）；（2） 【知识点03】指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0,b>0,r,s∈R). 【例3】化简 【知识点04】对数的概念 一般地,如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N.  以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N.  【例4】将指数式化为对数式：（1）；（2） 【知识点05】对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0,logaa＝1＝N(a>0,且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数换底公式：logab＝(a>0,且a≠1；b>0；c>0,且c≠1). 【例5】计算 【知识点06】指数函数及其性质 (1)概念：一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,＋∞) 性质 过定点(0,1),即x＝0时,y＝1 当x>0时,y>1； 当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1； 当x>0时,0<y<1 增函数 减函数 【例6】比较大小：与 【知识点07】对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,＋∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即x＝1时,y＝0 当x>1时,y>0； 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0； 当0<x<1时,y>0 增函数 减函数 【例7】求的定义域与单调区间 【知识点08】反函数 指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称. 【例8】已知指数函数过点，求其反函数所过定点，并写出反函数解析式。 【题型一】根式与指数幂化简求值 【例1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合， ，若 ，则 （    ） A． B．2 C． D．1 【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知实数且，，函数，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【变式2】（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【变式3】（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【题型二】对数式化简与求值 【例1】（2026·河南·模拟预测）（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知，，则__________． 【变式3】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，则______． 【题型三】指数、对数函数定义域求解 【例3】（2025·黑龙江·二模）已知命题；命题，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式1】（多选）（2024·广东·模拟预测）已知函数，则（   ） A．当时，的定义域为R B．一定存在最小值 C．的图象关于直线对称 D．当时，的值域为R 【变式2】（2026·贵州毕节·一模）函数的定义域为__________. 【变式3】（2025·湖北恩施·模拟预测）若函数定义域为，则a的取值范围是________. 【题型四】指数函数、对数函数的值域 【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数，设且，下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则______． 【变式3】（2025·陕西西安·一模）已知函数，且函数的图象与的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)证明：. 【题型五】由指数函数、对数函数的单调性解不等式 【例5】（2026·四川眉山·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2025·湖北孝感·三模）已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是__________. 【变式3】（2025·河北张家口·模拟预测）已知奇函数（）. (1)求a的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求m的取值范围. 【题型六】比较指数幂、对数式的大小 【例6】（2026·云南·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）已知实数x，y，z满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河北衡水·模拟预测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：______． 【题型七】反函数问题 【例7】（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【变式1】（2025·辽宁鞍山·一模）函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·湖南怀化·二模）已知函数的零点为的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·陕西宝鸡·二模）已知分别是函数，的零点，则的值为________. 【解题大招01】指数、对数式快速化简技巧 技巧原理：所有根式、负指数、分数指数统一化为幂形式，对数优先统一底数，利用运算公式合并，杜绝分步出错。 核心公式： 【例1】计算 【解题大招02】指对函数定义域秒杀技巧 技巧口诀：对数真数必大于0，底数大于0且不为1，分母不为0，根式非负，多重限制联立求解。 【例2】求 的定义域 【解题大招03】复合函数单调性“同增异减”秒杀法 技巧原理：设复合函数，内外层单调性相同则增，相反则减，必须优先求定义域。 单层单调性：， 递增；， 递减。 【例3】求 的单调区间 【解题大招04】指对幂数值大小比较 解题套路：找中间量 分层，先分层再精细对比。 1. 指数： 底数大则值大； 底数大则值小； 2. 对数：。 【例4】比较 大小 【解题大招05】指数、对数不等式通用解法 核心规则：同底函数单调性脱壳，不等号不变，不等号反向，对数必须保留真数大于0。 【例5】解不等式 【解题大招06】反函数性质秒杀技巧 核心结论：与 互为反函数，图象关于 对称；原函数点，反函数必过。 【例6】已知 过点 ，求其反函数定点。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·甘肃兰州·模拟预测）记，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山西·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北保定·三模）已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 二、多选题 4．（2025·河北保定·二模）若函数，则（      ） A．为减函数 B． C．的值域为 D． 三、填空题 5．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知，则__________． 6．（2026·云南·模拟预测）已知，则_______． 四、解答题 7．（2024·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 8．（2024·广东肇庆·一模）已知函数（其中，为常量，且，，）的图象经过点，． (1)求，的值 (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围． 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东德州·模拟预测）在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 三、填空题 4．（2026·江苏·模拟预测）已知两点在函数的图象上，两点在函数的图象上，且平行于轴，和平行于轴.若线段的长度是线段长度的12倍，则线段长度为__________. 四、解答题 5．（2025·山西吕梁·模拟预测）已知函数． (1)若是偶函数，求实数的值； (2)解不等式． 6．（2025·四川·模拟预测）已知函数． (1)若函数有最大值为1，求的值； (2)对于，使得，求实数的取值范围． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·辽宁·三模）设，，，则，，的大小关系为（   ） 2．（2026·陕西渭南·三模）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（2026·山东威海·二模）已知函数为偶函数，则________． 四、解答题 5．（2025·福建漳州·一模）已知函数，， (1)当时，设函数的图象、的图象与函数的图象的交点分别为P，Q，求线段PQ中点M的坐标. (2)若对恒成立，求实数k的取值范围. (3)若函数至少有两个相异的零点，求整数k的最大值.【答案】(1) 1 学科网（北京）股份有限公司 $