天津市南开大学附属中学2025-2026学年高二下学期学业水平考试数学模拟试卷

数学试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，共100分，考试时间90分钟. 参考公式： ,锥体的体积公式Y=S%,其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高. ·如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B), 第I卷 一、选择题：（本大题共15个小题，每小题3分，共计45分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) (1)设全集U={0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={0,2,3},则Cu(A∩B)=( (A)O (B){1,3} (C)0,2} (D)0,1,2,3} (2)某社区有老年人240人，中年人360人，青年人400人，为了解居民的健康意识， 计划采用按比例分层抽样的方法从全体居民中抽取一个容量为50的样本，则应从中年人 中抽取的人数为(). (A)12 (B)16 (C)18 (D)20 (3)已知a,beR,则“ab<0”是“a>0且b<0”的（) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (4)在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82,84,80,93， 85,87,89,88,91,88,这组数据的第80百分位数为（) (A)88 (B)89 (C)90 (D)91 数学试卷第1页（共8页） (5)已知△8C的内角么，8，C的对边分别为a,b,c,且a=26,s4=号，则s如8= (). B)号 (D) 3-4 (6)已知z= 5 (其中i是虚数单位)，则z的共轭复数为() 2-i (A)2-i (B)2+i (C)10-5i (D)10+5i (7)下列函数是偶函数且在(0，+∞)上单调递增的是（)， (A)y=cosx (B)y=2 (C)y=x2 (D)y=Inx (8)设a=1og0.32,b=0.32,c=20.3,则（). (A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c (D)c>b>a (9)已知A,B,C为随机事件，A与B互斥，B与C互为对立，且P(A)=0.2,P(C)=0.6, 则P(AUB)=( (A)0.5 (B)0.6 (c)0.7 (D)0.8 (10)函数fx)=x+1og2x-2的零点所在的区间为（) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) (11)己知函数x)=cosx-),则fx)（ 4 (A)在区间 7元 12 上单调递减 12 (B)在区间 上单调递增 c) 在区间 -6' 上单调递减 (D 在区间[引 单调递增 数学试卷第2页（共8页） (I2)在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BE的中点，则AF=(). 4)预+而 (B)48+14D 2 4 (c) 2 D丽+号 (13)将函数f心x=sin(2x-匹)的图象向右平移花个单位，得到函数gx)的图象，则() 0y (A)g(x)=-cos2x (B)g(x)=cos2x (C)g(x)=sin(2x 5) D)g因=血2r-吾 (14)在直角△ABC中，斜边AC=3,直角边BC=1.若以该直角三角形的一条直角边AB 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为 (A)22元 (B)4V2π 3 3 (c)23 (D)8V3 3 3 (15)在正三棱柱ABC-A1B1C中，AB=AA1,则异面直线AB1和BC:所成角的余弦值为 (). 2-3 (c) (D) 4 数学试卷第3页（共8页） 第Ⅱ卷 得分 评卷人 二、 填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答 案填在题中横线上。 (16)已知幂函数fx)的图象过点P(2,√互)，则f9)= (17)tan480的值为 (18)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=2,cos4=2 则b等于】 (19)若实数a,b满足a+b=l,则ab的最大值为 (20)已知i是虚数单位，2+i是关于x的方程x2+ax+b=0（其中a,b∈R)的一个根， 则la+bi= 数学试卷第4页（共8页） 三、解答题：（本大题共4小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 (21)(本小题满分10分) 己知cosa= ae(-,0). 2 (I)求sin2a的值； (IⅡ)求cos(匹-)的值. 6 数学试卷 第5页（共8页） 得分 评卷人 (22)(本小题满分10分) 已知向量a=(3,·4),b=(4,x),c=(14,2),且a+b|=a-b|. (I)求|b: (IⅡ)若c=mn+nb,求m+n的值. 数学试卷第6页（共8页） 得分 评卷人 (23)(本小题满分10分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PC⊥AB,D,E分别为BC,AC的中点. (I)求证：AB∥平面PDE: (II)求证：平面PAB⊥平面PAC. 数学试卷第7页（共8页) 得分 评卷人 (24)(本小题满分10分) 已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)，若fx)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (I)求a,b的值： (II)若b<1,g(x)=fx)-x在[2,4]上单调，求m的取值范围. 数学试卷第8页（共8页） 数学参考答案 一、选择题： 题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 答案 B C B C A A D D 题号 (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 答案 B B A C A A D 二、填空题： (16)3: (17)-V5: (18)3: (19)1 (20)√41 三、解答题：（其他正确解法请比照给分） 3 (21)解：(I)因为cosa= 所以sina=--cos2a=-4 …2分 所以sm2a-2nawa=2 …5分 (Il)cos(oisin …7分 6 2×5+2 (4)=3-45 -x2+5x …10分 10 (22)解：(I)因为a+b=a-b,所以a·b=0. …2分 因为a=(3,4),b=(4,x), 所以12+4x=0,解得x=-3,所以b=(4,-3), …4分 所以b=V42+(-3)2=5. …5分 (Ⅱ)因为c=ma+nb, 数学参考答案第1页（共3页） 所以(14,2)=m(3,4)+n(4,-3)=(3m+4n,4m-3n),…7分 3m+4n=14,解得m=n=2, …9分 4m-3n=2, 所以m+n=4. …10分 (23)证明：(I)在△ABC中，D,E分别为BC,AC的中点， 则DE∥AB, ……2分 又ABd平面PDE,DEC平面PDE, 则AB∥平面PDE.…4分 (IⅡ)因为PA⊥平面ABC,ABC平面ABC,所以PA⊥AB, …5分 又PC⊥AB,且PA∩PC=P,PA,PCc平面PAC, 所以AB⊥平面PAC,又ABC平面ABC, …8分 所以平面PAB⊥平面PAC. …10分 (24)解：(I)fx)=a(x-1)2+2+b-a, …1分 当a>0时，fx)在[2,3]上为增函数， 故/3)=9a-6a+2+b=5,解得 a=1, …3分 f(2)=4a-4a+2+b=2, b=0: 当a<0时，fx)在[2,3]上为减函数， 故/3)=90-6a+2+6=2解得a=1 …5分 f(2)=4a-4a+2+b=5, b=3. (IⅡ)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2. …6分 数学参考答案第2页（共3页） 故g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(m+2)x+2, …7分 因为g6)在[2,4]上单调，所以m+2≤2或m+2≥4， …9分 2 2 所以m≤2或m≥6. …10分 数学参考答案第3页（共3页）