第11讲 1.5 等腰三角形（第1课时）暑假预习讲义2026-2027学年苏科版数学七升八年级上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第11讲 1.5 等腰三角形（第1课时）——等腰三角形的性质 【学习目标】 1. 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性。 1. 探索并证明等腰三角形的性质定理1：等边对等角。 1. 探索并证明等腰三角形的性质定理2：三线合一。 1. 能灵活运用等腰三角形的性质定理解决简单的几何问题。 【知识梳理】 一、等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 如图，在△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形。 相关概念： （1）腰：相等的两边叫做腰。如图中AB和AC是腰。 （2）底边：第三边叫做底边。如图中BC是底边。 （3）顶角：两腰所夹的角叫做顶角。如图中∠A是顶角。 （4）底角：腰与底边的夹角叫做底角。如图中∠B和∠C是底角。 符号语言：∵ 在△ABC中，AB＝AC，∴ △ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A为顶角，∠B、∠C为底角。 二、等腰三角形的轴对称性 重要认识：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、中线）所在的直线是它的对称轴。 通过折叠等腰三角形纸片可以发现：将等腰三角形沿顶角平分线对折，左右两部分完全重合。这说明等腰三角形具有轴对称性，对称轴是顶角平分线所在的直线。 三、等腰三角形的性质定理1——等边对等角 文字语言：等腰三角形的两底角相等。（简称为“等边对等角”） 符号语言： ∵ 在△ABC中，AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C。 证明： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC。 求证：∠B＝∠C。 证法一（作顶角平分线）： 作∠A的平分线AD，交BC于点D。 在△ABD和△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠BAD＝∠CAD（AD平分∠BAC）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）。 ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）。 证法二（作底边上的中线）： 取BC的中点D，连接AD。 在△ABD和△ACD中， AB＝AC（已知）， BD＝CD（D为BC中点）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SSS）。 ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）。 证法三（作底边上的高）： 过点A作AD⊥BC，垂足为D。 在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB＝AC（已知）， AD＝AD（公共边）， ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL）。 ∴ ∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）。 核心要点： （1）“等边对等角”是边相等 → 角相等的转化，即由“腰相等”推出“底角相等”。 （2）这里的“等边”是指等腰三角形中两条腰相等，“对等角”是指它们所对的角相等。 （3）该定理为证明两个角相等提供了新方法，即通过构造等腰三角形来证明角相等。 四、等腰三角形的性质定理2——三线合一 文字语言：等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线互相重合。（简称为“三线合一”） 符号语言（三种表述方式）： （1）∵ 在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC，BD＝CD。 （2）∵ 在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD， ∴ AD⊥BC，AD平分∠BAC。 （3）∵ 在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴ AD⊥BC，BD＝CD。 证明（以顶角平分线为例）： 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC。 求证：AD⊥BC，BD＝CD。 证明：在△ABD和△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠BAD＝∠CAD（AD平分∠BAC）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）。 ∴ ∠ADB＝∠ADC，BD＝CD（全等三角形对应边、对应角相等）。 又∠ADB＋∠ADC＝180°（邻补角）， ∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC。 核心要点： （1）“三线合一”是等腰三角形特有的性质，非等腰三角形不具有这一性质。 （2）这“三线”是指底边上的高、底边上的中线、顶角平分线。 （3）知一得二：已知等腰三角形且知道“三线”中的一线，即可推出另外两线。 （4）该定理是证明两线段相等、两角相等、两条直线垂直的重要工具。 五、性质定理的对比 定理 条件 结论 作用 等边对等角 AB＝AC（两边相等） ∠B＝∠C（两角相等） 证明角相等 三线合一 AB＝AC，且AD为高/中线/角平分线之一 AD为另外两线 证明垂直、线段相等、角相等 【做一做（即时练习）】 1. 下列说法正确的是（　） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 等腰三角形是轴对称图形 C. 等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴 D. 以上说法都正确 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，则∠B＝＿＿＿＿。 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝35°，则∠CAD＝＿＿＿＿，∠ADB＝＿＿＿＿。 1. 判断正误（对的打“√”，错的打“×”）： （1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条。（　） （2）等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合。（　） （3）在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等。（　） （4）“三线合一”是任意三角形都具有的性质。（　） 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，求∠A的度数。 【典例精讲】 例1（等边对等角的应用） 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，求∠B和∠C的度数。 分析：由AB＝AC，根据“等边对等角”，可得∠B＝∠C。再结合三角形内角和为180°，即可求出各角的度数。 解： ∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C（等边对等角）。 又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°， ∴ 50°＋2∠B＝180°， ∴ 2∠B＝130°，∠B＝65°。 ∴ ∠B＝∠C＝65°。 反思：遇到等腰三角形，先找相等的边，再找相等的角。若已知一个角，可利用内角和求另外两个角。 例2（三线合一的应用） 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，若∠BAD＝30°，求∠C的度数。 分析：由AB＝AC，AD是BC边上的高，根据“三线合一”，AD也是∠BAC的平分线，所以∠BAC＝2∠BAD＝60°。再由“等边对等角”可得∠B＝∠C，利用内角和即可求解。 解： ∵ AB＝AC，AD⊥BC， ∴ AD平分∠BAC（三线合一）。 ∴ ∠BAC＝2∠BAD＝2×30°＝60°。 又∵ AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C（等边对等角）。 在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°， ∴ 60°＋2∠C＝180°， ∴ 2∠C＝120°，∠C＝60°。 反思：本题综合运用了“三线合一”和“等边对等角”两个性质。已知“三线”中的一线，立即推出另一线，这是等腰三角形问题的常用思路。 例3（三线合一的三种表述） 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，连接AD。求证：AD平分∠BAC。 分析：D是BC的中点，即BD＝CD。结合AB＝AC，根据“三线合一”的性质，由“中线”可推出“角平分线”。 证明： ∵ AB＝AC，BD＝CD， ∴ AD平分∠BAC（三线合一）。 反思：“三线合一”可以“知一得二”。本题已知“中线”，可推出“角平分线”和“高”。 例4（性质的综合应用） 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF。求证：AD⊥BC。 在△ABC中，AB＝AD＝CD，且∠C＝40°，则∠BAD的度数为　　． 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC的度数，然后求得∠BDA的度数，最后利用三角形的内角和求得∠BAD的度数． 【解答】解：∵AD＝DC ∴∠DAC＝∠C， ∵∠C＝40°， ∴∠DAC＝40°， ∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝80°， ∵AB＝AD ∴∠BDA＝∠B＝80°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝20°． 故答案为：20°． 【反思】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，属于基础性题目，比较简单． 【跟踪练习1】 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，求∠A的度数。 1. 已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（　　） A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10 1. 如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（　　）    A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【举一反三】 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝（　） A. 40°　　B. 50°　　C. 60°　　D. 80° 1. 如果△ABC是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC．为证明“等边对等角”这一结论，常添加辅助线AD，通过证明△ABD和△ACD全等从而得到角相等．下列辅助线添加方法和对应全等判定依据有错误的是（    ） A．角平分线AD，全等依据SAS B．中线AD，全等依据SSS C．垂直平分线AD，全等依据HL D．高线AD，全等依据HL 1. 在△ABC中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 1. 三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动。点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 1. 等腰三角形中有一个内角是，则另外两个内角的度数分别为______ ． 7.如图，在△ABC中，点D在边上，．若，求的度数． 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、选择题 1. 下列叙述错误的是（　） A. 等腰三角形是轴对称图形 B. 等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线互相重合 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 等腰三角形的顶角一定是锐角 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A＝（　） A. 50°　　B. 80°　　C. 100°　　D. 130° 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠BAD＝25°，则∠C＝（　） A. 25°　　B. 50°　　C. 65°　　D. 90° 1. 解答“若等腰三角形的一个内角为，求它的顶角的度数”的问题时，用到的主要数学思想是（    ） A．函数思想 B．整体思想 C．公理化思想 D．分类讨论思想 1. 如图，在△ABC中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1. 等腰三角形的两腰所夹的角叫做＿＿＿＿，腰与底边的夹角叫做＿＿＿＿。 1. 如图，在中，点在边上，，E为的中点，若则为 ． 1. 如图，若，则的度数为 ． 1. 如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是＿＿＿＿。 1. “三线合一”中的“三线”是指＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。 三、解答题 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，求∠A和∠C的度数。 1. 如图，我们将等腰三角形对折，让两腰、重叠在一起，折痕为，折叠的两个部分是互相重合的，两个底角也会完全重合，由此我们得到命题“等腰三角形的两个底角相等” (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式：_____________． (2)如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． 已知：如图，在中，________． 求证：________________． 证明： 1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，，D是边上的中点，，求和的度数． ◆ B组·能力提升 1. 如图，已知线段、，作等腰三角形，使，且，边上的高．张红的作法是：      （1）作线段； （2）作线段的垂直平分线，与相交于点； （3）在直线上截取线段； （4）连接、，为所求的等腰三角形． 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（    ）． A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 1. 如图，在△ABC中，点在边上，且． (1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，且，求的度数． 1. 如图，在中，点是边上的两点．若，．求证：； ◆ C组·思维拓展 17.如图，已知：，，．求度数． 18.如图，在中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数． 【本讲总结】 一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：相等的两边 底边：第三边 顶角：两腰所夹的角 底角：腰与底边的夹角 二、等腰三角形的性质定理 定理 条件 结论 作用 等边对等角 AB＝AC（两边相等） ∠B＝∠C（两角相等） 证明角相等 三线合一 AB＝AC，且AD为高/中线/角平分线之一 AD为另外两线 证明垂直、线段相等、角相等 三线合一的三种表述： （1）已知等腰三角形和底边上的高 → 推出中线、角平分线 （2）已知等腰三角形和底边上的中线 → 推出高、角平分线 （3）已知等腰三角形和顶角平分线 → 推出高、中线 简记：知一得二。 三、等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、中线）所在的直线是它的对称轴。 四、常见错误提醒 错误类型 正确理解 混淆“等边对等角”与“等角对等边” 等边对等角是性质（边→角），等角对等边是判定（角→边），方向相反 认为等腰三角形只有一条对称轴 一般的等腰三角形只有一条对称轴；等边三角形有三条对称轴 误用“三线合一”于非等腰三角形 “三线合一”是等腰三角形的特殊性质，非等腰三角形不具有 五、学习建议与口诀 学习建议： （1）遇到等腰三角形，先找相等的边，再找相等的角（等边对等角）。 （2）已知等腰三角形，若出现底边上的高/中线/顶角平分线之一，立即联想另外两线（三线合一）。 （3）“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等、两直线垂直的有力工具。 口诀： 等腰三角形，两腰要记牢；等边对等角，底角相等好； 三线合一是法宝，高线中线角平分；知一得二莫忘了，几何证明少不了。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：D 解析：A、B、C三个选项均正确。A选项是“等边对等角”的内容；B选项是等腰三角形的轴对称性；C选项正确表述了对称轴。故选D。 1. 答案：70° 解析：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C（等边对等角）。 设∠B＝∠C＝x，则∠A＋∠B＋∠C＝180°， 40°＋2x＝180°，2x＝140°，x＝70°。 1. 答案：35°；90° 解析：∵ AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴ AD平分∠BAC，AD⊥BC（三线合一）。 ∴ ∠CAD＝∠BAD＝35°，∠ADB＝90°。 1. 答案：（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 解析：（1）正确，一般的等腰三角形只有一条对称轴。 （2）正确，是“三线合一”的内容。 （3）正确，是“等边对等角”的内容。 （4）错误，“三线合一”是等腰三角形特有的性质，非等腰三角形不具有。 1. 答案：40° 解析：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝70°（等边对等角）。 又∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴ ∠A＝180°－70°－70°＝40°。 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：50° 解析：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝65°（等边对等角）。 又∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴ ∠A＝180°－65°－65°＝50°。 1. B 1. 答案：C 举一反三 1. 答案：B 解析：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C（等边对等角）。 又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝80°， ∴ 80°＋2∠B＝180°，2∠B＝100°，∠B＝50°。 1. 答案：C 1. 答案：C 1. 答案：或 1. 答案：D 1. 答案：，或，  1. 解：， ， ， ， 是的外角， ， ． A组·基础过关 1. 答案：D 解析：A、B、C均正确。D错误，等腰三角形的顶角可以是任意角度（小于180°），不一定是锐角，如顶角为120°或90°的等腰三角形。 1. 答案：B 解析：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝50°（等边对等角）。 ∴ ∠A＝180°－50°－50°＝80°。 1. 答案：C 解析：∵ AB＝AC，D是BC的中点， ∴ AD平分∠BAC（三线合一）。 ∴ ∠BAC＝2∠BAD＝50°。 又AB＝AC，∴ ∠B＝∠C（等边对等角）。 ∴ ∠C＝(180°－50°)÷2＝65°。 1. 答案：D 1. 答案：C 1. 答案：顶角；底角 1. 答案：36° 1. 答案：30° 1. 答案：90° 1. 答案：底边上的高、底边上的中线、顶角平分线 1. 答案：∠A＝36°，∠C＝72° 解析：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝72°（等边对等角）。 ∴ ∠A＝180°－72°－72°＝36°。 1. （1）解：如果一个三角形为等腰三角形，那么它的两个底角相等； 故答案为：如果一个三角形为等腰三角形，那么它的两个底角相等 （2）已知：如图，在中，． 求证：． 证明：如图，过点A作于点D， ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∵， ∴， ∴． 1. 证明： 解：，D是边上的中点， ，， ， ； 故：，． B组·能力提升 1. 答案：C 1. （1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵，且，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 1. 答案：解：如图，过A作于F， ∵，， ∴，， ∴，即；    C组·思维拓展 17.解：延长到点E，使得， 在和△ADE中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， △ADE是等腰三角形， 是△ADE底边上的中线， ， ． 18.解：， ， 点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图， ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， ， ． 综上所述，的度数为或或． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（13题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（4题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $