第1讲 1.1三角形中的线段和角（第1课时）暑假预习讲义2026-2027学年苏科版七升八数学上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第1讲　1.1　三角形中的线段和角（第1课时） 【学习目标】 1. 理解三角形的概念，能用符号语言表示三角形。 1. 探索并证明“三角形的任意两边之和大于第三边”，理解“三角形的任意两边之差小于第三边”。 1. 会用三角形三边关系判断三条线段能否构成三角形。 1. 了解“在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大”（大边对大角），能运用这一关系进行简单的比较。 【知识梳理】 一、三角形的概念 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。 关键理解： 1. 三条线段必须不在同一条直线上； 1. 三条线段必须首尾依次相接（围成封闭图形）。 三角形的表示：三角形可用符号“△”表示。如图，顶点为 、、 的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。 三角形的边和角： 边：组成三角形的三条线段称为三角形的边。△ABC 的三条边分别为 、、。 角：三角形的两条边所组成的角称为三角形的内角，简称三角形的角。△ABC 的三个角分别为 、、。 顶点：三角形中相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。△ABC 的三个顶点为 、、。 注意：△ABC 的边 也可用小写字母 表示，边 可用 表示，边 可用 表示（ 表示 的对边，依此类推）。 二、三角形的三边关系 定理1：三角形的任意两边之和大于第三边。 如图，连接 、 两点的所有连线中，线段最短。 ∵ 是连接 、 两点的折线长度， 是连接 、 两点的线段长度， ∴ 。 同理：，。 理论依据：两点之间，线段最短。 定理2：三角形的任意两边之差小于第三边。 由三角形三边关系可推出： ，，。 即三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形的简便方法： 只要较短两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段就能构成三角形。 三、三角形边与角的关系 在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大；反过来，较大的角所对的边也比较大。 口诀：大边对大角，大角对大边。 例如：在△ABC 中，若 ，则 （边 所对的角是 ，边 所对的角是 ）。 说明：这一结论将在后续学习中严格证明，本课时先学会直观判断和简单应用。 做一做（即时练习）： 1. 如图，以 、、 为顶点的三角形记作______，它的三条边分别是______、______、______，三个角分别是______、______、______。 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　） · A. ，，　　B. ，，　　C. ，，　　D. ，， 1. 在△ABC 中，若 ，，则 的取值范围是______。 1. 在△ABC 中，若 ，则 与 的大小关系是______。 【典例精讲】 【例1】（三角形的概念与表示） 如图，图中的三角形共有（ ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据图形及三角形的定义查找即可，注意以一条边为基础依次查找． 【详解】 根据图形依次查找可得：△ABE、△ABC、△BCE、△BCD、△DCE，共5个三角形， 故选：C． 【点睛】 本题考查三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形；熟练掌握定义是解题关键． 【例2】（三角形三边关系的应用） 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1） cm， cm， cm　　（2） cm， cm， cm　　（3） cm， cm， cm 【分析】 判断三条线段能否组成三角形，只需看较短两条线段之和是否大于最长线段。 【解答】 （1）∵ ，∴ 不能组成三角形。 （2）∵ ，两边之和等于第三边，∴ 不能组成三角形。 （3）∵ ，且 ，，∴ 能组成三角形。 【反思】 判断三边能否组成三角形，只需要验证最短两边之和是否大于最长边，这样最简便。 【例3】（已知两边求第三边范围） 已知三角形的两边长分别为 和 。 （1）求第三边长 的取值范围； （2）若第三边长为奇数，求第三边的长。 【分析】 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，第三边 应满足 。 【解答】 （1）由三角形三边关系，得 ， 即 。 （2）∵ 为奇数，且 ， ∴ ，，。 答：第三边长 的取值范围为 ；若第三边长为奇数，则第三边的长为 cm、 cm 或 cm。 【反思】 已知三角形两边求第三边范围时，利用 可直接得出结果。 【例4】（三角形边角关系的直观应用） 在△ABC 中，。试比较 与 的大小。 【分析】 根据“大边对大角”——在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大。 【解答】 在△ABC 中，。 ∵ 所对的角是 ， 所对的角是 ， ∴ 。 【反思】 “大边对大角”是三角形边角关系的一个重要结论，本课时先学会应用，后续将严格证明。 【跟踪练习1】 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　） · A. ，，　　B. ，，　　C. ，，　　D. ，， 1. 一个三角形的两边长分别为 和 ，第三边长是偶数，则第三边长可能是______。 1. 在△ABC 中，，则三个角的大小关系为______。 【举一反三】 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　） · A. ，，　　B. ，，　　C. ，，　　D. ，， 1. 一个三角形的两边长分别为 和 ，则第三边长 的取值范围为______。 1. 在△ABC 中，，，则 的长可能是（　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 在△ABC 中， 所对的边是______， 所对的边是______， 所对的边是______。 1. 若三角形的三边长分别为 ，，，则 的取值范围是______。 1. 在△ABC 中，，则边 与边 的大小关系是______。 1. 用一根长为 cm 的铁丝围成一个三角形，若其中一边长为 cm，则另外两边的长之和为______cm，第三边的取值范围是______。 1. 在△ABC 中，若 ，则 与 的大小关系是______。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 由不在同一条直线上的三条线段______相接组成的图形叫做三角形。 1. 三角形可用符号“______”表示，顶点为 、、 的三角形记作______。 1. 在△ABC 中，边 所对的角是______， 所对的边是______。 1. 三角形的任意两边之和______第三边，任意两边之差______第三边。 1. 若三角形的三边长分别为 ，，，则 的取值范围是______。 1. 在△ABC 中，若 ，则 ______（填“>” “<”或“=”）。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 三条线段首尾相接组成的图形叫做三角形。（　　） 1. 三角形的任意两边之和大于第三边。（　　） 1. 长度为 ，， 的三条线段能组成三角形。（　　） 1. 在同一个三角形中，较大的角所对的边也较大。（　　） 三、选择题。 1. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（　　） · A. ，，　　B. ，，　　C. ，，　　D. ，， 1. 一个三角形的两边长分别为 和 ，则第三边长可能是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 在△ABC 中，，，则 的取值范围是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 下列条件中，能判定△ABC 中 的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. ◆ B组·能力提升 1. 一个等腰三角形的两边长分别为 和 ，求这个三角形的周长。 1. 已知三角形的三边长分别为 ，，，求 的取值范围。 1. 已知三角形的三边长分别为 ，，，求 的取值范围。 ◆ C组·思维拓展 18. 用 cm 长的铁丝围成一个等腰三角形，求腰长 的取值范围。 19. 阅读下面的材料，回答问题。 在判断三条线段能否组成三角形时，我们通常用“较短两边之和大于第三边”来判断。但如果给出的三条线段中含有字母（未知数），则需要分类讨论。 例如：已知三角形的三边长分别为 ，，，求 的取值范围。 解：由三角形三边关系，得 ，即 。 但如果 是等腰三角形的腰长或底边长，还需要进一步讨论。 请回答：已知等腰三角形的周长为 ，一边长为 ，求另外两边的长。 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 三角形的定义 不在同一直线上，首尾依次相接 三条线段围成的封闭图形 三边关系 ， 任意两边之和大于第三边 边角关系 大边对大角，大角对大边 在同一个三角形中 判定方法 较短两边之和大于第三边 最简便的判断方法 常见错误提醒 错误类型 正确理解 误认为任意三条线段都能组成三角形 必须满足任意两边之和大于第三边 忽略“任意”二字 三边关系中的“任意”是指每两边之和都要大于第三边 判断三边时只验证一组 只需验证最短两边之和是否大于最长边即可 混淆“大边对大角”的方向 较大的边所对的角较大，不是相邻的角 学习建议 1. 判断三条线段能否组成三角形，用“较短两边之和大于第三边”最快捷。 1. 已知两边求第三边范围，套用公式 。 1. “大边对大角”——边和角的位置要对应清楚：边 所对的角是 。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：△ABC；、、；、、 1. 答案：C 1. 答案： 1. 答案： 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：C 解析：A：，不能；B：，不能；C：，能；D：，不能。 1. 答案：、、 解析：由 ，得 ，偶数有 、、。 1. 答案： 解析：，大边对大角， 所对的角是 ， 所对的角是 ， 所对的角是 。 举一反三 1. 答案：B 1. 答案： 1. 答案：B 1. 答案：；； 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：；第三边 1. 答案： A组·基础过关 1. 答案：首尾依次 1. 答案：△；△ABC 1. 答案：； 1. 答案：大于；小于 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：×（必须强调“不在同一条直线上”） 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：B 1. 答案：C 1. 答案：A 解析：由三边关系，，即 ，。 1. 答案：A 解析：，由大角对大边，得 。 B组·能力提升 1. 答案： 解析：若腰长为 ，则三边为 ，，，，不能组成三角形；若腰长为 ，则三边为 ，，，，能组成三角形。周长为 。 1. 答案： 解析：由三边关系，，，。另外 ，，；，，，综上 。 1. 答案： 解析：由三边关系，，，；，；，，。综上 。 C组·思维拓展 1. 答案： 解析：设腰长为 ，底边长为 。由 ，得 ，；由 ，得 ，。∴ 。 1. 答案：另外两边为 和 解析：若边长为 的边是腰，则另一腰为 ，底边为 ，但 ，不能组成三角形；若边长为 的边是底边，则两腰之和为 ，每腰为 ，，能组成三角形。∴ 另外两边为 和 。 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（4题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $