精品解析：河南省郑州市中原区郑州中学2025-2026学年下学期八年级期末数学试题

2025-2026学年下学期期末调研试卷（B卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间90分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有两个选项，其中只有一个是正确的． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲乙两人同时从地前往地，甲的速度比乙的速度快，且两人行走时间相同，能体现两人行走路程数学原理的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 用反证法证明命题“三角形中必有一个角不大于”，第一步应先假设（ ） A. 三角形中的三个角都大于 B. 三角形中必有一个角大于或等于 C. 三角形中必有一个角小于 D. 三角形中必有一个角小于或等于 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，的长是（ ） A. B. C. D. 8. 为开展校园实践活动，某学校组织学生种植蔬菜．已知甲组比乙组每小时多种1平方米蔬菜．甲组种植45平方的时间比乙组种植40平方米的时间少2小时．设乙组每小时种植平方米蔬菜，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，对角线相交于平分，分别交于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 将按如图所示方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点顺时针依次旋转，则第554次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则__________． 12. 一个正多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个正多边形是正________边形． 13. 现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 14. 如图，在中，为中点，且平分，则的长为_________． 15. 是边长为的等边三角形，点为高上一个动点．连接，将绕点顺时针旋转得到，当是直角三角形时，__________． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 解不等式组： 17. 如图，中，． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）我们把有一个角等于二倍的三角形叫做“幸福三角形”，在（1）的条件下，当时，是否为“幸福三角形”，并说明理由． 18. 下面是小宇同学化简分式的过程，请认真阅读并完成下列问题： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 （1）以上化简步骤中，第_________步开始出现错误，错误的原因是_________； （2）写出该分式化简的正确解答过程，然后在三个数中选择一个合适的数作为代入求值． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为． （1）将沿轴向右平移4个单位长度得，画出，并写出点的坐标； （2）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标； （3）四边形的形状_________（填“是”或“不是”）平行四边形． 20. 综合与实践 如何分配工作，使公司支付的总费用最少 素材1 河南省第十五届运动会2026年8月开幕，通过招标安阳某文创企业承接省运会吉祥物“鼎鼎”“牛牛”系列文创订单8000个．计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少8天． 素材2 经调查，由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．这项订单需要支付甲部门4500元/天，乙部门3000元/天． 问题解决 （1）分析效率： 求甲、乙两个部门每天分别生产多少个文创用品？ （2）拟订设计方案： 若甲部门工作天，乙部门工作天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总费用最少？最少需要多少元？ 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：“换元法”是初中数学经常用到的一种方法．在因式分解时， 我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的． （1）下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式___________________． 将代入，得原式_________． （2）请用“换元法”对多项式进行因式分解． （3）当_________时，多项式存在最_________值（填“大”或“小”），这个值是_________． 22. 如图（1），四边形是平行四边形，过点的直线经过点． （1）请直接写出的数量关系_________． （2）将绕点逆时针方向旋转如图（2）的位置，作，此时、有怎样的数量关系？并说明理由． （3）将绕点顺时针方向旋转，，如图（3），点为中点，当时，请直接写出点到直线的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期末调研试卷（B卷） 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间90分钟，满分120分． 2．考生应首先阅读试题卷和答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡． 一、选择题（本题10小题，每小题3分，满分30分）下列各小题均有两个选项，其中只有一个是正确的． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. 甲乙两人同时从地前往地，甲的速度比乙的速度快，且两人行走时间相同，能体现两人行走路程数学原理的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】先得到两人的路程，再结合已知条件利用不等式性质判断即可． 【详解】解：由题意，甲行走的路程为，乙行走的路程为， 速度，时间， 可得，路程， 能体现两人行走路程数学原理的只有选项C． 3. 用反证法证明命题“三角形中必有一个角不大于”，第一步应先假设（ ） A. 三角形中的三个角都大于 B. 三角形中必有一个角大于或等于 C. 三角形中必有一个角小于 D. 三角形中必有一个角小于或等于 【答案】A 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需假设原命题的结论不成立，只需找到原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵原命题的结论是“三角形中必有一个角不大于”， ∴该结论的否定是“三角形中三个角都大于”， 即第一步应假设三角形中的三个角都大于． 4. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得． 5. 如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知点的坐标为，即当时，，观察图象可知函数随的增大而增大，故当时，函数图象在直线的上方，即． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过点， 即当时，， 观察图象可知，y随的增大而增大， ∴当时，， 即不等式的解集是． 6. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，依据定义对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、它是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； B、等式右边是，属于和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C、它是整式乘法，且左右两边不相等，不是因式分解，故本选项不符合题意； D、将多项式化为了两个整式与的积的形式，符合因式分解的定义，故本选项符合题意． 7. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由作图痕迹可知是的角平分线，，可得，利用面积关系求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线，， 又∵， ∴， 在中，，，，  ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴． 8. 为开展校园实践活动，某学校组织学生种植蔬菜．已知甲组比乙组每小时多种1平方米蔬菜．甲组种植45平方的时间比乙组种植40平方米的时间少2小时．设乙组每小时种植平方米蔬菜，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据乙组的工作效率表示出甲组的工作效率，再利用“时间=种植总面积÷单位时间种植面积”得到两组的工作时间，最后根据题目给出的时间关系列方程即可． 【详解】解：∵设乙组每小时种植平方米蔬菜，甲组比乙组每小时多种平方米蔬菜， ∴甲组每小时种植平方米蔬菜，可得乙组种植平方米的时间为小时，甲组种植平方米的时间为小时， ∵甲组种植平方米的时间比乙组种植平方米的时间少小时， ∴乙组种植时间减去甲组种植时间等于可列方程为． 9. 如图，中，对角线相交于平分，分别交于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证明是等边三角形，从而得出是的中点，结合是的中点，利用三角形中线的性质将的面积转化为面积的四分之一，最后计算的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∵四边形是平行四边形， ∴点是的中点， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 将按如图所示方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点顺时针依次旋转，则第554次旋转结束时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据点的坐标求出的长以及与轴负半轴的夹角，然后根据旋转的性质得出每6次旋转为一个循环组，用554除以6，根据余数确定第554次旋转结束时点的位置，进而得出坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，，  ∴，， 在中，， 又∵， ∴， ∵点A在第二象限，  ∴与轴正半轴的夹角为，  ∵每次顺时针旋转，，  ∴每6次旋转为一个循环组，  ∵，  ∴第554次旋转结束时，点A的位置与第2次旋转结束时点A的位置相同，  ∵ 第1次旋转后，与轴正半轴夹角为， 第2次旋转后，与轴正半轴夹角为，即点A落在x轴正半轴上， ∴此时点A的对应点坐标为． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件．分式的值为0，即分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1 12. 一个正多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个正多边形是正________边形． 【答案】 六 【解析】 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意，得， 解得. 故这个正多边形是正六边形. 13. 现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的新运算规则列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：，且， ，解得， 的最大值为2． 14. 如图，在中，为中点，且平分，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先结合平行四边形的性质证明，根据角平分线的定义以及等角对等边得，再运用勾股定理列式计算得的长，即可作答． 【详解】解：延长，，相交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵平分 ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 故， ∵， ∴， ∴在中，， 则， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 15. 是边长为的等边三角形，点为高上一个动点．连接，将绕点顺时针旋转得到，当是直角三角形时，__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可知，，分两种情况讨论：当时，当时，再利用三角函数可得答案． 【详解】根据图形旋转的性质可知． 根据题意可知． ∵为等边三角形，， ∴为边上的中线、为的角平分线． ∴，． ①当时，如图所示． ∵，， ∴为的角平分线． ∴． ∴． ②当时，如图所示． ∵，， ∴． 在和中 ∴． ∴． ∴． 根据②证明过程可知，当，不符合题意． 综上所述，或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、图形旋转的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形，能根据题意分类讨论是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【详解】解：不等式组， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组的解为． 17. 如图，中，． （1）在边上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）我们把有一个角等于二倍的三角形叫做“幸福三角形”，在（1）的条件下，当时，是否为“幸福三角形”，并说明理由． 【答案】（1）点如图所示： （2）是“幸福三角形”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“幸福三角形”． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线，与的交点即为点； （2）由等腰三角形的性质可得，结合三角形外角的性质可得，，则，符合“幸福三角形”的定义． 【小问1详解】 解：由垂直平分线的性质可得，． 【小问2详解】 略 18. 下面是小宇同学化简分式的过程，请认真阅读并完成下列问题： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 （1）以上化简步骤中，第_________步开始出现错误，错误的原因是_________； （2）写出该分式化简的正确解答过程，然后在三个数中选择一个合适的数作为代入求值． 【答案】（1）一；通分时，第二个分式的分子漏乘因式 （2）化简结果为，当时，值为 【解析】 【分析】（1）根据分式的混合运算过程进行判断即可； （2）先正确进行化简，再选择合适的的值进行计算． 【小问1详解】 解：以上化简步骤中，第一步开始出现错误，错误的原因是第二个分式的分子漏乘因式； 【小问2详解】 解：原式 ； 根据题意得：， ∴，， ∴当时，原式． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后，三个顶点的坐标分别为． （1）将沿轴向右平移4个单位长度得，画出，并写出点的坐标； （2）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标； （3）四边形的形状_________（填“是”或“不是”）平行四边形． 【答案】（1）， （2）， （3）是 【解析】 【小问1详解】 解：作图略， 根据平移的性质可得，即； 【小问2详解】 解：作图略， 根据中心对称的性质可得； 【小问3详解】 解：根据平移的性质可得，， 根据中心对称的性质可得，， ，， ∴四边形为平行四边形． 20. 综合与实践 如何分配工作，使公司支付的总费用最少 素材1 河南省第十五届运动会2026年8月开幕，通过招标安阳某文创企业承接省运会吉祥物“鼎鼎”“牛牛”系列文创订单8000个．计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少8天． 素材2 经调查，由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．这项订单需要支付甲部门4500元/天，乙部门3000元/天． 问题解决 （1）分析效率： 求甲、乙两个部门每天分别生产多少个文创用品？ （2）拟订设计方案： 若甲部门工作天，乙部门工作天，如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总费用最少？最少需要多少元？ 【答案】（1）甲部门每天生产1000个文创用品，乙部门每天生产500个文创用品 （2）安排甲部门工作4天，乙部门工作8天，总费用最少，最少总费用为42000元 【解析】 【分析】（1）设乙部门每天生产的数量，根据甲是乙的2倍表示甲的效率，再利用“甲单独完成时间比乙少8天”列分式方程求解，检验后得到结果； （2）先根据总工资的计算方法列出总费用关于甲工作天数的一次函数，再根据甲工作天数的限制条件求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性求出最小总费用，得到分配方案． 【小问1详解】 解：设乙部门每天生产x个文创用品，则甲部门每天生产个文创用品. 根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，符合题意， 则， 答：甲部门每天生产1000个文创用品，乙部门每天生产500个文创用品； 【小问2详解】 解：设公司支付的总费用为W元，根据题意得 ， 根据题意，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半，可得， 同时满足，即， 解不等式得， ∴， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当a取最大值4时，W取得最小值 将代入得， 此时乙部门工作天数为（天）， 答：安排甲部门工作4天，乙部门工作8天，最少需要支付总费用42000元． 21. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：“换元法”是初中数学经常用到的一种方法．在因式分解时， 我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的． （1）下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式___________________． 将代入，得原式_________． （2）请用“换元法”对多项式进行因式分解． （3）当_________时，多项式存在最_________值（填“大”或“小”），这个值是_________． 【答案】（1）； （2） （3）；小，0 【解析】 【分析】（1）仿照示例，进行因式分解，可得到结果； （2）设，则原式，进行因式分解，可得到结果． （3）设，原式变形为，可得，故可得结论． 【小问1详解】 解：设， 原式 将代入，得原式； 【小问2详解】 解：设，则原式变为 ， 把代入得：原式； 【小问3详解】 解：设，则原式变为： ， 代入，得， ∵， ∴当时，， ∴当时，多项式存在最小值，这个最小值为0． 22. 如图（1），四边形是平行四边形，过点的直线经过点． （1）请直接写出的数量关系_________． （2）将绕点逆时针方向旋转如图（2）的位置，作，此时、有怎样的数量关系？并说明理由． （3）将绕点顺时针方向旋转，，如图（3），点为中点，当时，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 理由：如图，过点作于点， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ，即； （3）或 【解析】 【分析】（1）证明即可解答； （2）过点作于点，证明，证明四边形为矩形，利用线段等量代换即可解答； （3）分情况讨论，当点到达直线之前或当点到达直线之后，分别画图，利用全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，进行解答． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点到达直线之前，如图，过点作，交的延长线于点，取的中点， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 分别为的中点， ， ， ， 点到直线的距离为； 当点到达直线之后，如图，过点作，交于点，取的中点， 在平行四边形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 分别为的中点， ， ， ， 点到直线的距离为； 综上，点到直线的距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $