精品解析：陕西西安市高陵区药惠中学2025-2026学年度第二学期期末检测八年级数学

2025～2026学年度第二学期期末检测 八年级数学（人教版A） 满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，1， B. 1，2，3 C. 5，15，20 D. ，，5 4. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某品牌电动车专卖店5月份的日销量箱线图，根据图象判断下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 这组数据的最小值是3，最大值是18 6. 正比例函数（）与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝12，求EF的长（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 8. 如图，在矩形中，点E在边上，连接、交于点F，若，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：________． 10. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 11. 已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 12. 如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________． 13. 已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 14. 如图，在菱形中，，过点D作，垂足为E，过点E作，分别交，于点F，G，M，N分别是，的中点，连接，若，则的长为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 某校舞蹈社团在一次舞蹈节目评选中，按照每支舞蹈的编排创意占，舞者表现力占，舞台视觉效果占计算最终得分．若舞蹈《热力节奏》的编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项得分依次为90分，80分，80分，请你计算这支舞蹈的最终得分． 18. 如图，是的对角线，且．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在四边形中，连接，，点E在线段的垂直平分线上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 小张和小王去爬山，小王从山脚先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所处位置与出发点的竖直距离h（单位：）和小张出发后的时间t（单位：）的函数关系如图所示，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）山的高度是________； （2）小张的爬升速度是________ ，小王的爬升速度是________ ； （3）小王比小张先出发几分钟？ 21. 为营造节日气氛，现从楼顶A处拉一条彩带到地面点C处，已知彩带的长为10m，点C到楼房底部B的距离为，且．为使美观，现计划从楼顶A处再拉一条彩带到地面点D处，点D在的延长线上，，请求出彩带的长度． 22. 生长素是人类最早发现的植物激素，对植物的生长、发育具有多种调节作用．数学兴趣小组为研究某种生长素对植物茎生长的作用，利用豌豆苗进行了相关实验，取一株长势良好的豌豆苗，使用生长素处理后，逐天记录一次豌豆苗的高度，发现豌豆苗的高度y（单位：）与使用生长素的天数x（单位：天）成一次函数关系，并得到如下数据： 使用生长素的天数x/天 1 2 3 4 5 豌豆苗的高度 11 13 15 17 19 （1）求y与x之间的函数解析式； （2）使用生长素几天，豌豆苗的高度为？ 23. 为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动（竞赛满分为100分），为了解八年级学生此次竞赛成绩的情况，从八年级中随机抽取了50名参赛学生的成绩，整理并分析出如下信息． a．50名参赛学生成绩的频数分布表： 组别 分数x/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A 8 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 b．参赛学生的成绩在这组的数据：81，82，82，84，84，85，85，85，85，86，87，87，88，89．根据上述信息，解答下列问题： （1）所抽取参赛学生成绩的中位数是________分 （2）求所抽取参赛学生成绩的平均数； （3）小明的成绩是被抽取的50名参赛学生的成绩之一，他的成绩是84分，小丽说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于被抽取的一半参赛学生的成绩．”你认为小丽的说法正确吗？请说明理由． 24. 如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 25. 富平柿饼是陕西省富平县的特色传统食品，被评为国家地理标志保护产品，口感香甜软糯，甜而不腻，深受广大市民喜爱．小梅假期去富平游玩，准备带点富平柿饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家特产超市都以25元/盒的价格销售同一种富平柿饼，并且同时在做促销活动： 甲特产超市：按原价的八折出售； 乙特产超市：若一次性购买富平柿饼的数量不超过10盒，按原价出售；若一次性购买富平柿饼的数量超过10盒，超过10盒的部分按原价的七折出售． 设小梅购买x盒柿饼，活动期间，在甲、乙特产超市购买所需费用分别为元，元． （1）请写出，与x之间的函数解析式； （2）小梅选择在哪家特产超市购买富平柿饼更划算？ 26. 【问题提出】 如图①，在矩形中，，，E是边的中点，作的垂直平分线，分别交，，于点G，F，H． （1）的长为________； （2）过点G作，交的延长线于点M，试探究与之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图②，李伯伯有一块矩形空地，，，他计划在田埂，上分别寻找一点G，E，将作为玉米育苗区，沿折叠得到土豆育苗区，点B的对应点恰好落在边上，按设计要求，灌溉点M在EG上，过点M作交于点N，沿铺设一条水管，点Q在上，且，沿和修建小路，求小路（）的最短长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末检测 八年级数学（人教版A） 满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得 ． 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形邻角互补的性质，结合已知条件求出的度数，再利用平行四边形对角相等的性质求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 3. 下列各组数中，可以作为直角三角形三边长的是（ ） A. 1，1， B. 1，2，3 C. 5，15，20 D. ，，5 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理解题，只需验证各选项中两短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可作为直角三角形三边长． 【详解】解： A、最长边为，，，，可以作为直角三角形三边长，符合题意； B、最长边为，，，，不可以作为直角三角形三边长，不符合题意； C、最长边为，，，，不可以作为直角三角形三边长，不符合题意； D、最长边为，，，，不可以作为直角三角形三边长，不符合题意． 4. 已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，无法推出平行四边形满足矩形，故A错误； B．仅说明与对角线垂直，无法推出平行四边形的内角为直角，不能判定为矩形，故B错误； C．对角线垂直无法推出平行四边形是矩形，故C错误； D．对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，故D正确． 5. 如图是某品牌电动车专卖店5月份的日销量箱线图，根据图象判断下列说法不正确的是（ ） A. 这组数据的第一四分位数是4 B. 这组数据的中位数是10 C. 这组数据的第三四分位数是15 D. 这组数据的最小值是3，最大值是18 【答案】B 【解析】 【详解】解：由箱线图可知：这组数据的最小值为，最大值为，故D选项说法正确； 第一四分位数（箱体左边缘）为，故A选项说法正确； 第三四分位数（箱体右边缘）为，故C选项说法正确； 中位数（箱体中间竖线）在和之间，不是，故B选项说法不正确． 6. 正比例函数（）与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数、正比例函数的增减性，以及与轴的交点情况逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项：由正比例函数的图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项不符合题意； 选项：由正比例函数图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项不符合题意； 选项：一次函数中，应该随的增大而减小，故选项不符合题意； 选项：由正比例函数的图象，可知，即， 由一次函数的图象，可知，故选项符合题意． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF＝BC．若AB＝12，求EF的长（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】连接DC，根据三角形中位线定理可得，DE=BC，DE∥BC，又因CF=BC，可得DE=CF，进而得出四边形DEFC是平行四边形，即可得出答案． 【详解】解：连接DC， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE=BC，DE∥BC， ∵CF=BC， ∴DE=CF， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴DC=EF， ∵∠ACB＝90°，AB=12 ∴DC=AB=6， ∴EF=DC=6． 故选B. 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 8. 如图，在矩形中，点E在边上，连接、交于点F，若，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，根据题意表示出，，得到，推出，勾股定理求出，进而得到，然后证明出，勾股定理求解即可． 【详解】设，则 ∵四边形是矩形 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算被开方数，再求出结果即可． 【详解】解：． 10. 如图，正五边形的边的延长线交于点F，则的大小为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知一组数据3，a，4，6，7的方差是5，则这组数据的离差平方和是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差等于离差平方和除以数据的个数，已知方差和数据个数，即可求出离差平方和． 【详解】解：由题意可知，这组数据共有5个数据，方差是5， ∴离差平方和． 12. 如图，P是正方形内一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，从而证得，求出的度数，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 13. 已知一次函数与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】一次函数图象的交点坐标就是对应两个解析式联立得到的二元一次方程组的解，先根据点P在一次函数上求出交点纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：点在一次函数的图象上， 将代入，得， 即一次函数与的图象交点为， ∴二元一次方程组解为． 又二元一次方程组整理变形得， 二元一次方程组的解为． 14. 如图，在菱形中，，过点D作，垂足为E，过点E作，分别交，于点F，G，M，N分别是，的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形中，，，得到，，，再证明四边形是平行四边形，得到，，根据，得到，，，连接，取中点，连接并延长交于，连接，即可根据中位线得到，，，，在中求出，，最后在中根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图，连接，则是等边三角形， ∴， 取中点，连接并延长交于，连接， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵N是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 17. 某校舞蹈社团在一次舞蹈节目评选中，按照每支舞蹈的编排创意占，舞者表现力占，舞台视觉效果占计算最终得分．若舞蹈《热力节奏》的编排创意、舞者表现力、舞台视觉效果三项得分依次为90分，80分，80分，请你计算这支舞蹈的最终得分． 【答案】83分 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题关键． 利用各项的得分乘以其所占的百分比，然后相加即可得． 【详解】解：（分）， 这支舞蹈的最终得分为83分． 18. 如图，是的对角线，且．请用尺规作图法，在边上求作一点E，在边上求作一点F，使得四边形是矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，四边形是矩形 【解析】 【分析】分别作、的垂直平分线，交于点E，交于点F，连接、，根据平行四边形的性质得，即可得、，则四边形是矩形． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，连接，，点E在线段的垂直平分线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵点E在线段的垂直平分线上， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】由得，根据垂直平分线的性质得，进而可得，再证明得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】略 20. 小张和小王去爬山，小王从山脚先出发一段时间后小张再出发，途中小张追上了小王并最终先爬到山顶，两人所处位置与出发点的竖直距离h（单位：）和小张出发后的时间t（单位：）的函数关系如图所示，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）山的高度是________； （2）小张的爬升速度是________ ，小王的爬升速度是________ ； （3）小王比小张先出发几分钟？ 【答案】（1）60 （2）2；1 （3）小王比小张先出发20分钟 【解析】 【分析】（1）由图可直接得出山的高度； （2）结合图象，根据速度路程时间分别计算小张和小王的爬升速度； （3）用20除以小王的爬升速度，即可得小王比小张先出发的时间． 【小问1详解】 解：由图可知，山的高度是； 【小问2详解】 解：由图可得，小张的爬升速度是， 小王的爬升速度是； 【小问3详解】 解：， 答：小王比小张先出发20分钟． 21. 为营造节日气氛，现从楼顶A处拉一条彩带到地面点C处，已知彩带的长为10m，点C到楼房底部B的距离为，且．为使美观，现计划从楼顶A处再拉一条彩带到地面点D处，点D在的延长线上，，请求出彩带的长度． 【答案】彩带的长度为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 首先利用勾股定理求出，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴楼房的高度为； ∴， ∴， ∴彩带的长度为． 22. 生长素是人类最早发现的植物激素，对植物的生长、发育具有多种调节作用．数学兴趣小组为研究某种生长素对植物茎生长的作用，利用豌豆苗进行了相关实验，取一株长势良好的豌豆苗，使用生长素处理后，逐天记录一次豌豆苗的高度，发现豌豆苗的高度y（单位：）与使用生长素的天数x（单位：天）成一次函数关系，并得到如下数据： 使用生长素的天数x/天 1 2 3 4 5 豌豆苗的高度 11 13 15 17 19 （1）求y与x之间的函数解析式； （2）使用生长素几天，豌豆苗的高度为？ 【答案】（1）（为正整数） （2）8天 【解析】 【分析】（1）用待定系数法，代入已知点的坐标求出系数，得到函数解析式； （2）把代入所求解析式，解一元一次方程得到对应天数． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 选取表格中两组数据和代入解析式，得， 解得， 因此与之间的函数解析式为（为正整数）； 【小问2详解】 解：当时，代入得， 解得． 答：使用生长素8天，豌豆苗的高度为． 23. 为了进一步推进学校安全教育，切实增强广大学生的安全防范意识和自护自救能力，某校举行了安全知识网络竞赛活动（竞赛满分为100分），为了解八年级学生此次竞赛成绩的情况，从八年级中随机抽取了50名参赛学生的成绩，整理并分析出如下信息． a．50名参赛学生成绩的频数分布表： 组别 分数x/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A 8 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 b．参赛学生的成绩在这组的数据：81，82，82，84，84，85，85，85，85，86，87，87，88，89．根据上述信息，解答下列问题： （1）所抽取参赛学生成绩的中位数是________分 （2）求所抽取参赛学生成绩的平均数； （3）小明的成绩是被抽取的50名参赛学生的成绩之一，他的成绩是84分，小丽说：“小明的成绩高于平均分，所以小明的成绩高于被抽取的一半参赛学生的成绩．”你认为小丽的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）分 （3）解：小丽的说法不正确，理由如下： ∵这组数据的中位数为分，中位数表示约有一半的参赛学生成绩高于分，小明的成绩为分，， ∴小明的成绩低于一半参赛学生的成绩， ∴小丽的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，先确定50个数据中第25和第26个数据所在组，再找到对应数据计算中位数； （2）利用加权平均数的计算公式，用每组总成绩求和后除以总人数得到平均数； （3）根据中位数的统计意义判断说法是否正确即可． 【小问1详解】 解：∵共抽取50名学生的成绩， ∴中位数是从小到大排列后第25个和第26个成绩的平均数， ∵A组频数为8，B组频数为10，，即前18个成绩在A、B组，第19到第32个成绩在C组， ∴第25个和第26个成绩都在C组，按顺序数得第25个成绩为，第26个成绩为， ∴中位数为分； 【小问2详解】 解：分， ∴所抽取参赛学生成绩的平均数为分； 【小问3详解】 略． 24. 如图，四边形为平行四边形，为对角线的中点，过点作分别交边，于点，，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）在的延长线上取一点，使，连接．若为的中点，且，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】1）先证出，则，进而可得四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可得证； （2）过点作于点，先求出，，再求出的长，则可得的长，利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∵为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵为对角线的中点，为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴在中，，， ∴的面积为． 25. 富平柿饼是陕西省富平县的特色传统食品，被评为国家地理标志保护产品，口感香甜软糯，甜而不腻，深受广大市民喜爱．小梅假期去富平游玩，准备带点富平柿饼给亲朋好友品尝，已知甲、乙两家特产超市都以25元/盒的价格销售同一种富平柿饼，并且同时在做促销活动： 甲特产超市：按原价的八折出售； 乙特产超市：若一次性购买富平柿饼的数量不超过10盒，按原价出售；若一次性购买富平柿饼的数量超过10盒，超过10盒的部分按原价的七折出售． 设小梅购买x盒柿饼，活动期间，在甲、乙特产超市购买所需费用分别为元，元． （1）请写出，与x之间的函数解析式； （2）小梅选择在哪家特产超市购买富平柿饼更划算？ 【答案】（1）（为正整数）； （2）当购买柿饼数量少于30盒时，选择甲特产超市更划算；当购买数量等于30盒时，选择两家特产超市费用相同；当购买数量多于30盒时，选择乙特产超市更划算． 【解析】 【分析】（1）求出甲超市每盒实际单价，即可得到与x之间的函数解析式；乙超市分两段根据实际单价即可得到与x之间的函数解析式； （2）分情况列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：甲超市富平柿饼均八折，每盒实际单价为元， 因此：（为正整数）； 乙超市分两段计价： 当购买数量（为正整数）时，按原价出售，得， 当购买数量（为正整数）时，前10盒原价，超出部分七折，化简：， 综上乙的函数为：； 【小问2详解】 解：当时：，此时甲超市更划算； 当时：令，即，解得，即购买数量大于10盒少于30盒时，选甲超市更划算； 令，即，解得，即购买数量等于30盒时，两家费用相同，任选即可； 令，即，解得，即购买数量多于30盒时，选乙超市更划算； 综上所述，当购买柿饼数量少于30盒时，选择甲特产超市更划算；当购买数量等于30盒时，选择两家特产超市费用相同；当购买数量多于30盒时，选择乙特产超市更划算． 26. 【问题提出】 如图①，在矩形中，，，E是边的中点，作的垂直平分线，分别交，，于点G，F，H． （1）的长为________； （2）过点G作，交的延长线于点M，试探究与之间存在的数量关系； 【问题解决】 （3）如图②，李伯伯有一块矩形空地，，，他计划在田埂，上分别寻找一点G，E，将作为玉米育苗区，沿折叠得到土豆育苗区，点B的对应点恰好落在边上，按设计要求，灌溉点M在EG上，过点M作交于点N，沿铺设一条水管，点Q在上，且，沿和修建小路，求小路（）的最短长度． 【答案】（1）3 （2） （3）小路（）的最短长度 【解析】 【分析】（1）连接，设，则，在和中，分别由勾股定理用含x的代数式表示出、，再根据垂直平分线的性质得，即可得关于x的方程，解方程即可； （2）由（1）得，，，证明得到，进而得到，，，由勾股定理求解即可； （3）先根据折叠结合勾股定理求出，，取中点，过作于，在上取一点，使，则，过作于，即可得到，是等边三角形，则，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，在证明四边形是矩形，得到，即可得到，则，最后根据垂线段最短求最小值即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∵E是边的中点， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴，即， 解得， 即； 【小问2详解】 解：由（1）得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵矩形空地，，， ∴， ∵沿折叠得到， ∴，，，， 设，则， ∵在中，，， ∴， 解得， ∴，， 如图，取中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 过作于，在上取一点，使，连接，则，过作于， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴根据两点之间线段最短可得时最小， 根据垂线段最短可得最小， ∴小路（）的最短长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $