精品解析：陕西西安市第三中学2025-2026学年下学期期末考试八年级数学试题

八年级数学 （考试时间：120分钟分值：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 近年来，中国新能源汽车产业发展迅速，2025年产量突破1652.4万辆，同比增长25.1%，保有量达4397万辆，连续10年产销量位居全球第一．以下四个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）． A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 5. 如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解： ______． 10. 如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 11. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 13. 若关于x的分式方程解为正数，则m的取值范围是________． 14. 如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 三、解答题（共11小题，共78分） 15. 分解因式： （1）； （2） 16. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 青岛浮山森林公园计划推进智慧园区改造，打造三角形生态监测区，为边上已布设的环境监测桩点位．现计划在监测区内部设置一处数据中转站，要求，且中转站到监测区两个入口B、C的距离相等，请作出符合要求的中转站． 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出； （3）可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 21. 如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 22. 小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． （1）请结合小逸同学的方法分解因式：． （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 24. 【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如下表所示： 燃油车 新能源汽车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 充电电价：元/千瓦时 行驶里程：千米 行驶里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：______元 （1）新能源车的每千米行驶费用是______元；（用含的代数式表示） （2）根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，请求出以及这两款车的每千米行驶费用； （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 25. 【问题提出】 （1）如图①，在中，D，E，F分别是，，的中点，，，则四边形的周长为______； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是，的中点，且，连接，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的平面示意图，A，B，C，D分别是该公园的四个入口，两条立干道、交于点O，经测量，，，为提升游客游览的体验感，准备修建三条鹅卵石小路，，，按照设计要求，点M在主干道上，点N在主干道上，且点M与点O，B不重合，若修建鹅卵石小路每千米费用为10万元，该会园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入多少资金？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （考试时间：120分钟分值：120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 近年来，中国新能源汽车产业发展迅速，2025年产量突破1652.4万辆，同比增长25.1%，保有量达4397万辆，连续10年产销量位居全球第一．以下四个新能源车标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形； B、是轴对称图形不是中心对称图形； C、既是轴对称图形又是中心对称图形； D、是轴对称图形不是中心对称图形． 2. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，∵，根据不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴，故A不成立，不符合题意； B选项，∵，根据不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴，故B不成立，不符合题意； C选项，∵，根据不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变， ∴，故C一定成立，符合题意； D选项，当时，满足，但，故D不一定成立，不符合题意． 3. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因式分解需满足两个条件：一是结果为几个整式的乘积形式，二是变形前后等式成立，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，不是因式分解，错误； B．右边结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，错误； C．，等式不成立，错误； D．提取公因式x得，是多项式化为整式乘积的形式，等式成立，符合因式分解的定义，正确． 4. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）． A. 扩大2倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】将和代入即可得到答案． 【详解】解：将分式中的和都扩大2倍可得， 原分式缩小到原来的． 5. 如图，在中，平分，交于点F，E为上一点，交的延长线于点D，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线、三角形外角等于不相邻的两个内角之和的性质，根据角平分线的性质以及三角形内角之和为180°的性质，分析相互角度关系，把已知角度代入关系式求解，问题即可得到解决． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ， 又， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将点的坐标代入直线求出的值，确定交点横坐标，再根据函数图象的上下位置关系写出不等式的解集． 【详解】解：点在直线上， 解得， 两直线交点的横坐标为， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方， 关于的不等式的解集为． 7. 如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另外两个顶点均在网格的格点（网格线的交点）上，这样的平行四边形最多可以画（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示，最多能画5个平行四边形， 8. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理； ①先根据角平分线和平行线的性质得，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得，最后由平行线的性质可作判断；②求出，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得，然后求出，即可判断；④利用勾股定理分别求出和，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确： ②， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③错误； ④在中，，， ， 在中，， ， ，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 因式分解： ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 如图，在五边形中，，，，，是五边形的外角，则__________°． 【答案】##270度 【解析】 【分析】根据，可先求出与的外角的度数，再用五边形的外角和减去前面求出的那个外角的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴的邻补角， ∴． 11. 如图，中，，，将其折叠，使点 A 落在边上点处，折痕为，则的度数为_______． 【答案】##10度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正确运用外角的性质是解题关键． 先根据直角三角形两锐角互余求得，再由翻折的性质可知最后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：， ， ， . 故答案为：. 12. 已知关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得； ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的分式方程解为正数，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程，再根据解为正数且分式分母不为零列出不等式，求解不等式得到m的取值范围． 【详解】解：方程两边同乘得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： ∵方程的解为正数， ∴且 即且， 解得且． 14. 如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， 当时，最小，此时为等腰直角三角形，， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共11小题，共78分） 15. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分解因式，两个小题都需要先提取公因式，再利用乘法公式继续分解． 【小问1详解】 解：    【小问2详解】 解：   16. 解不等式组：，并写出满足不等式组的所有整数解． 【答案】；整数解为，，，， 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，再取公共部分得到不等式的解集，最后在解集中写出所有整数解即可. 【详解】 解不等式①，得 解得， 解不等式②，得 解得， 原不等式组的解集为 不等式组的所有整数解为，，，，． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 18. 青岛浮山森林公园计划推进智慧园区改造，打造三角形生态监测区，为边上已布设的环境监测桩点位．现计划在监测区内部设置一处数据中转站，要求，且中转站到监测区两个入口B、C的距离相等，请作出符合要求的中转站． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点作，作的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求， 19. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； （2）将绕点逆时针旋转90°得到，画出； （3）可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）旋转中心的坐标为，旋转角的度数为 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则可由绕点P逆时针旋转得到， ∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为． 21. 如图，点为外一点，为的中点，于点，交的延长线于点，连接，，且，． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，中垂线的性质以及角平分线的判定，熟练掌握是解答本题的关键． （1）先根据中垂线的性质得到，可证，从而得到，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上即可证明； （2）易证，得到，再根据线段之间的关系即可求出的长． 【小问1详解】 证明：如图，连接，， ，为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ，，， ， 即， 解得． 22. 小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． （1）请结合小逸同学的方法分解因式：． （2）已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】（1） （2）为等腰三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 23. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定分别进行判断即可； （2）由平行四边形的性质和勾股定理求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：，， ， 在和中， ， ， ∴， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24. 【综合与实践】某校综合与实践活动中，某学生小组对两款售价相同的汽车展开了调研，调研结果如下表所示： 燃油车 新能源汽车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 充电电价：元/千瓦时 行驶里程：千米 行驶里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：______元 （1）新能源车的每千米行驶费用是______元；（用含的代数式表示） （2）根据调研数据了解，新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，请求出以及这两款车的每千米行驶费用； （3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用比燃油车年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）或 （2），燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； （3）当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式即可； （2）根据新能源车每千米行驶费用只有燃油车每千米行驶费用的，列出分式方程，求解即可； （3）设每年行驶里程为，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用是或； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶里程为， 由题意得， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低． 25. 【问题提出】 （1）如图①，在中，D，E，F分别是，，的中点，，，则四边形的周长为______； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是，的中点，且，连接，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，是某公园的平面示意图，A，B，C，D分别是该公园的四个入口，两条立干道、交于点O，经测量，，，为提升游客游览的体验感，准备修建三条鹅卵石小路，，，按照设计要求，点M在主干道上，点N在主干道上，且点M与点O，B不重合，若修建鹅卵石小路每千米费用为10万元，该会园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入多少资金？ 【答案】（1）18；（2） 2；（3）该公园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入万元资金 【解析】 【分析】（1）根据D，E，F分别是，，的中点，可得、是的中位线，进而根据中位线的性质即可求解； （2）根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论； （3）如图，过点N作，过点C作，，交于点E，连接，过点E作交的延长线于点H，过点D作于点，证明，求出的最小值可得结论． 【详解】解：（1），E，F分别是，，的中点，，， 由中位线的定义可知：、是的中位线， ，， 四边形DECF的周长； （2），F分别是，的中点， 是的中位线， ，， ， ， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ； （3）如图，过点N作，过点C作，，交于点E，连接，过点E作交的延长线于点H，过点D作于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ，即， ， ∵，， 四边形是平行四边形，， ，， 又， ， ，， ， 在中，根据勾股定理，得， ， 的最小值为， 的最小值为， ， 该公园修建这三条鹅卵石小路最少需要投入万元资金． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会构造平行四边形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $