3.2.1 利用两角判定三角形相似（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用两角判定三角形相似（AA）”核心知识点，通过问题链导入，从全等与相似的关系、相似三角形定义切入，对比全等判定方法，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步理解定理内涵。 其亮点在于采用问题驱动探究，如合作画三角形验证AA定理，结合分层练习（选择、填空、解答题由浅入深）和模型总结（平行型、公共角等），培养学生推理意识与几何直观。学生能夯实基础提升解题能力，教师可获得系统教学资源与分层训练素材，助力高效教学。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.2.1 利用两角判定三角形相似 第三章 图形的相似 3.2.1 利用两角判定三角形相似 同步练习题（含解析） 本次练习题适配九年级3.2.1课时内容，聚焦两角分别相等的两个三角形相似（AA）核心判定定理，重点考查定理理解、基础图形判定、平行线衍生相似、公共角、对顶角、等角代换等必考考点，题型由浅入深，贴合课堂同步训练，帮助学生掌握三角形相似最常用的判定方法，为后续相似计算与证明夯实基础。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 判定两个三角形相似最常用的基本定理是：两角分别相等的两个三角形（） A. 全等 B. 相似 C. 周长相等 D. 面积相等 2. 在△ABC和△DEF中，若∠A=∠D，∠B=∠E，则这两个三角形（） A. 一定相似 B. 一定不相似 C. 不一定相似 D. 无法判断 3. 如图，DE∥BC，则△ADE∽△ABC的依据是（） A. 三边成比例 B. 两边成比例且夹角相等 C. 两角分别相等 D. 直角三角形斜边直角边相等 4. 已知△ABC中，∠A=40°，∠B=60°；△MNP中，∠M=40°，∠P=80°，则（） A. △ABC∽△MNP B. 不相似 C. 无法判定 D. 全等 5. 下列说法正确的是（） A. 任意两个直角三角形一定相似 B. 任意两个等腰三角形一定相似 C. 任意两个等边三角形一定相似 D. 有一个角相等的两个三角形一定相似 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 相似三角形判定定理（AA）：________的两个三角形相似。 7. 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形________。 8. 若两个三角形有一个公共角，再满足________，即可判定两三角形相似。 9. Rt△ABC与Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，若再满足________，可利用AA判定两三角形相似。 10. 等腰三角形顶角为50°，另一等腰三角形底角为65°，这两个三角形________（填“相似”或“不相似”）。 三、解答题（共60分） 11.（18分）根据已知条件，利用AA定理判断两组三角形是否相似，并说明理由。 （1）△ABC中∠A=50°，∠B=70°；△DEF中∠D=50°，∠F=60°。 （2）△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC。 12.（20分）如图，在△ABC中，∠B=∠ACD。（1）找出图中的相似三角形；（2）利用AA定理证明相似；（3）写出对应相等的两组角。 13.（22分）已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高。（1）找出图中所有相似的三角形；（2）任选一组利用AA定理证明；（3）简述直角三角形斜高模型的相似规律。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. B 解析：两角分别相等（AA）是三角形相似的核心判定定理，可直接判定三角形相似。 2. A 解析：两组对应角分别相等，满足AA判定定理，两三角形一定相似。 3. C 解析：由DE∥BC，可得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，两角对应相等，三角形相似。 4. A 解析：△ABC内角：40°、60°、80°；△MNP内角：40°、60°、80°，三组角对应相等，满足AA相似。 5. C 解析：等边三角形三个角均为60°，两角对应相等，一定相似；直角三角形、等腰三角形角度不一定对应相等，不一定相似。 填空题 6. 两角分别相等 7. 相似 8. 一组对应角相等 9. 一组锐角对应相等（答案不唯一） 10. 相似 解答题 11.（1）相似。△ABC第三个角∠C=60°，△DEF第三个角∠E=70°，∠A=∠D，∠B=∠E，两角对应相等，两三角形相似。（2）证明：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC（AA）。 12.（1）△ABC∽△ACD；（2）证明：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A（公共角），两角对应相等，∴△ABC∽△ACD；（3）对应角：∠A=∠A，∠B=∠ACD。 13.（1）相似三角形：△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，△ACD∽△CBD；（2）证明△ACD∽△ABC：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∠A=∠A（公共角），∴△ACD∽△ABC（AA）；（3）规律：直角三角形斜边上的高，将原三角形分成的两个小直角三角形，与原三角形两两相似。 本节核心知识点总结 1. AA判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，是判定三角形相似最简便、使用率最高的方法。 2. 常见模型：平行型相似、公共角模型、对顶角模型、直角三角形斜高模型，均可通过找两组等角证明相似。 3. 解题关键：优先寻找公共角、对顶角、平行线同位角/内错角，通过角度计算推导等角，满足AA条件即可判定相似。 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点） 学习目标 问题1 这两个三角形有什么关系？ 全等三角形 那这样变化一下呢？ 相似三角形 相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形. 对应角……？ 对应边……？ 问题2 根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？ 全等是一种特殊的相似 定义 判定方法 全等三角形 相似三角形 三角、三边对应相等的两个三角形全等 三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似 角边角 ASA 角角边 AAS 边边边 SSS 边角边 SAS 斜边、直角边 HL 问题3 三角形全等的性质和判定方法有哪些？ 需要三个等量条件 思考 全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？ 如果两个三角形只有一个角相等，它们一定相似吗？ 如果两个三角形只有一个角相等，它们不一定相似. 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 【想一想】 如果有两个角分别相等呢？ 55 与同伴合作，两个人分别画 △ABC 和 △A'B'C'，使得∠A 和 ∠A' 都等于∠α，∠B 和 ∠B' 都等于 ∠β，此时， ∠C 与 ∠C' 相等吗？三边的比 相等吗？这样的两个三角形相似吗？ 改变 ∠α，∠β 的大小，再试一试. 【合作探究】 这两个三角形是相似的 A' B' C' C A B 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 55 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两个三角形相似. ∵ ∠A =∠A'，∠B =∠B'， ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. 符号语言： 【归纳总结】 A' B' C' C A B 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 例1 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AB，AC 上的点，DE∥BC， AB = 7，AD = 5，DE = 10，求BC 的长. 解：∵DE∥BC， ∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C. ∴△ADE∽△ABC. (两角分别相等的两个三角形相似). ∴ . B A D E C 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 9 1. 如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC. A E F B C D 证明: ∵ DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C， ∠A＝∠FEC. ∴ △ADE∽△EFC. 【练一练】 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 证明 因为∠C = 90°，所以 BC⊥AC. 因为 DF⊥AC，所以 DF∥BC. 从而∠DHE = ∠B， 又 DE⊥AB，所以∠DEH = 90° = ∠C. 因此 △DEH∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). 2. 如图，在△ABC 中，∠C = 90°. 从点 D 分别做边 AB、AC 的垂线，垂足分别为点 E、F，DF 与 AB 交于点 H. 求证：△DHE∽△ABC． D A C H F B E 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 证明：∵∠BAC = ∠1+∠DAC，∠DAE = ∠3 +∠DAC，∠1=∠3， ∴ ∠BAC = ∠DAE. ∵∠C = 180°－∠2－∠DOC ， ∠E = 180°－∠3－∠AOE， ∠DOC =∠AOE（对顶角相等）， ∴ ∠C =∠E. ∴ △ABC∽△ADE. 例2 如图，∠1 =∠2 =∠3，求证：△ABC ∽△ADE． A B C D E 1 3 2 O 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 ∴ 解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°. 又∠C = 90°，∠A =∠A， ∴ △AED ∽△ABC. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D. 求 AD 的长. D A B C E ∴ 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 探究点：两角分别相等的两个三角形相似 图a b， 图b 图a 图b 图c 图d a a,b,c) d) 知识点1 相似三角形的定义 1. 已知，，若，则 的长为( ) C A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 返回 考试考法 15 （第2题） 2. 如图， ，若 ， ，则 的度数 为( ) A. B. C. D. A 返回 考试考法 （第3题） 3. 如图，在平面直角坐标系 中，，且，若点 的 坐标为，则点 的坐标为______. 【点拨】,且, 点 的坐标为,, , ,, 点的坐标为 . 返回 考试考法 17 知识点2 用两角分别相等判定两三角形相似 4. 下列判断中，正确的有( ) ①全等三角形是相似三角形 ②顶角相等的两个等腰三角形相似 ③所有的等边三角形都相似 ④所有的直角三角形都相似 C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 18 5. 在中， ，用直尺和圆规在 上确定点 ，使 ，根据作图痕迹判断，正确的是 ( ) B A. B. C. D. 利用“两角分别相等”判定两个三角形相似时，注意 挖掘题中的隐含条件：公共角、对顶角、同角（等角）的余 角（补角）等. . . . . 返回 考试考法 19 6. [2025河北] 如图，在五边形 中，，延长， ，分别交直线 于点， .若添加下列一个条件后，仍 无法判定 ，则这个条件是 ( ) D A. B. C. D. 考试考法 20 【点拨】A. ， ， ， ， ，故A 不符合题意；B. ， ， ， ，故B不符合题意；C. ， . ， ， 考试考法 21 , ， ， ，故C 不符合题意；D. 根据 结合已知条件不 能证明 ，故D符合题意.故选D. 返回 考试考法 7. 如图，点,在线段上， 是等边三 角形，, . （1）求证： . 考试考法 23 【证明】 是等边三角形， . . ,， . ,即 . . 考试考法 24 （2）线段,, 之间有怎样的数量关系？请说明理由. 【解】 . 理由： ， , . 考试考法 25 由（1）知 ， ， . ， . 是等边三角形， ， . 考试考法 从已知条件，找出和 有两对角对应相 等是解答（1）的关键，解答（2）的关键是得出 , . 返回 考试考法 27 （第8题） 8. 如图，一束光线从 轴上 的点发出，经过轴上的点 反 射后，经过点，则光线从点 到 点 经过的路线长为( ) C A. 6 B. C. D. 8 考试考法 28 利用两角判定三角形相似 定理1：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理 1 的运用 课堂小结 $