精品解析：四川省渠县中学2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2026年春季学期期末教学质量监测七年级数学学科 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2025/2026四川省城市足球超级联赛，简称“川超”，是一项体育和文旅全民参与的大型赛事，2026年4月18日由渠县主办的以“福美之地，好客渠县”为主题大型开幕文艺演出，精彩绝伦，震撼全场．下列汉字具有轴对称特征的是（ ） A. 福 B. 美 C. 渠 D. 县 2. 在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如右图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 3. 在2026年马年春晚上，一群会空翻、跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则数据0.00000008用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明天要出大太阳 B. C. 打开电视机，它正在播电视剧 D. 5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点为的中点．点是下方一点，连接；平分，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 10. 计算：_______． 11. 如图，在中，是的垂直平分线，若的周长是，，则______． 12. 在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 13. 如图，直线相交于点平分，垂足为．若，则的度数为_______°． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）先化简，再求值：，其中， 15. 如图，在中，，于点D，平分，相交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 16. 实践背景：四季海棠可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 71 4 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 101 16 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 m 0.40 n （1）表中　 　，　 　； （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第　 　组的数据不适合用频率估计概率，理由是　 　．你认为一株该植物开出红花的概率是　 　（结果精确到0.1）． （3）某小公园自然生长有大量该植物，经统计其中开红花的植株有600棵，请你估计该公园此植物的总数量． 17. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点． （1）画出关于直线对称的． （2）写出的长度． （3）求的面积． 18. 2026年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 所以_________， 所以． 因为， 所以_________， 所以_________． 【迁移应用】如图③，在一款手推车的平面示意图中． （2）若，则_______°． （3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （4）如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，请直接写出的度数？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是 ___________． 20. 若，，则___________． 21. 如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____；   22. 折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 23. 如图，是等腰直角三角形，，在的内部，，为射线上一点，当最大时，则的度数是_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲、乙两人分别从，两地同时出发前往地，甲匀速步行至地，乙前分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至地已知，乙骑行的速度是自己步行速度的倍，甲、乙两人同时到终点甲、乙两人各自到地的距离米与所用时间分的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1），两地之间的距离是 米 （2）求乙中途休息了多少分钟． （3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为米？ 25. 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，则， 所以．请根据材料解答下列问题： （1）若满足，求的值． （2）如图，在长方形中，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形． ①用含的代数式表示： ， ； ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 26. 综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期期末教学质量监测七年级数学学科 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 2025/2026四川省城市足球超级联赛，简称“川超”，是一项体育和文旅全民参与的大型赛事，2026年4月18日由渠县主办的以“福美之地，好客渠县”为主题大型开幕文艺演出，精彩绝伦，震撼全场．下列汉字具有轴对称特征的是（ ） A. 福 B. 美 C. 渠 D. 县 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，判断哪个汉字沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合即可得到结果． 【详解】解：∵“福”，“渠”，“县”都找不到一条直线，使汉字沿直线对折后直线两旁部分完全重合， 只有“美”沿中间竖直直线对折后，直线两旁部分可以完全重合， ∴具有轴对称特征的是“美”． 2. 在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如右图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短的性质求解即可． 【详解】解：∵起跳线是一条直线，落地脚印的后端点A是直线外一点，且， ∴依据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 3. 在2026年马年春晚上，一群会空翻、跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为，则数据0.00000008用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，当原数绝对值小于时，为负数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数，据此确定和即可求解． 【详解】解： ． 4. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明天要出大太阳 B. C. 打开电视机，它正在播电视剧 D. 【答案】D 【解析】 【分析】必然事件是一定条件下必定发生的事件，据此定义逐一判断选项即可求解． 【详解】解：A、明天出大太阳是随机事件，不一定发生，选项错误； B、负数比较大小，绝对值大的数更小，得，B选项是不可能事件，选项错误； C、打开电视机正在播电视剧是随机事件，不一定发生，选项错误； D、由绝对值的性质，对任意实数，都有，该事件一定发生，为必然事件，选项正确． 5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，先判定是直角三角形，再进一步判断即可； 【详解】解：根据题意可得：，， A．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与不全等． B．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． C．三角形不是直角三角形，图中的三角形（阴影部分）与不全等． D．两条直角边分别为，图中的三角形（阴影部分）与全等． 故答案为：D． 6. 图1是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图2，现将其中的一组背景线条与直线a，b抽象出来，下列说法能判断出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法依次判定即可．本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和是同位角，，则，A选项正确； B、和是对顶角，不能得出，B选项错误； C、和是领补角，不能得出，C选项错误； D、和既不是同位角也不是内错角，不能得出，D选项错误； 故选：A． 7. 如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，点为的中点．点是下方一点，连接；平分，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，先由平行线性质、中点定义及全等三角形的判定与性质得到，再由角平分线定义得到，结合，确定，由等角对等边求出，数形结合表示出并代入计算即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， 平分， ， ， ， ，则． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 在一个不透明的盒子中装有4个白球，m个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率为，则m＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查概率的计算与分式方程的求解，根据摸出白球的概率，结合概率公式列分式方程求解即可，掌握概率公式与分式方程的解法是解题的关键． 【详解】解：从中随机摸出一个球是白球的概率为， ， 解得 ， 检验，当时，，原分式方程有意义 是原分式方程的解． 10. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 11. 如图，在中，是的垂直平分线，若的周长是，，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”的性质，将中的等量替换为，由此把三角形周长转化为，再代入已知周长和的长度，即可计算的长度． 【详解】解：是的垂直平分线， ． 的周长是， ． ， ． 12. 在弹性限度内，弹簧的长度随所挂物体的质量的增加而增长，经过实验与测量，得到弹簧的长度与所挂物体的质量之间的对应关系如下表；若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是______． 物体的质量 1 2 3 4 5 弹簧的长度 13 13.5 14 14.5 15 【答案】12 【解析】 【分析】先根据表格数据得到弹簧长度与所挂物体质量的变化规律，再列出方程解答即可． 【详解】解：由表格数据可知，物体质量每增加，弹簧长度增加， 设所挂物体的质量为， 则：， 解得， ∴若弹簧的长度是，则所挂物体的质量是． 13. 如图，直线相交于点平分，垂足为．若，则的度数为_______°． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线定义、邻补角定义及垂直定义，数形结合求出角度即可． 【详解】解：平分，， ，则， ， ， ，则． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求完成下列各题： （1）计算： ； （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）2 （2）；3 【解析】 【分析】（1）先利用有理数乘方、绝对值、负整数次幂、零次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用整式的混合运算法则化简，然后将，代入求值即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 当、时，原式． 15. 如图，在中，，于点D，平分，相交于点F． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数，接着根据角平分线的定义求出的度数即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余得到，，则可证明，再由，即可证明． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 略 16. 实践背景：四季海棠可能开出多种颜色的花朵．为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的成员打算随机收集一些该植物植株幼苗进行试验研究．试验设计：由五个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，播种在校园五处适合植物生长的空地分开试验，最后统计各组数据． 【数据记录】 一组 二组 三组 四组 五组 开红花的植株数量 39 71 4 63 86 开其他颜色花的植株数量 61 101 16 93 129 出现红花的频率 0.39 0.41 m 0.40 n （1）表中　 　，　 　； （2）经过学习我们知道，在大量重复的试验中，我们可以用一个事件发生的频率来估计该事件发生的概率．在上述五个小组的数据中，你认为第　 　组的数据不适合用频率估计概率，理由是　 　．你认为一株该植物开出红花的概率是　 　（结果精确到0.1）． （3）某小公园自然生长有大量该植物，经统计其中开红花的植株有600棵，请你估计该公园此植物的总数量． 【答案】（1）0.2；0.4 （2）三；抽取的植株数量太少；0.4 （3）1500棵 【解析】 【分析】（1）根据频数除以数据总数得频率即可求解； （2）根据大量重复试验中，频率趋向于概率的特点进行解答即可； （3）根据用样本估计总体的思想即可求解． 【小问1详解】 解：，； 【小问2详解】 解：第三组的数据不适合用频率估计概率，理由是抽取的植株数量太少 除第三组外，其余各组的频率在0.40附近摆动，且试验的植株数比较多， ∴可以认为一株该植物开出红花的概率为0.4． 【小问3详解】 解：由题意得，（棵）， 答：估计该公园此植物的总数量为1500棵． 17. 如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点． （1）画出关于直线对称的． （2）写出的长度． （3）求的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作； （2） （3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用网格直接得出的长度； （3）利用填补法用长方形面积减去三个直角三角形面积求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据对称的性质得； 【小问3详解】 ． 18. 2026年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秩》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． 【提出问题】 图①是练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是多少？ 【思考过程】依靠图中现有的线无法解决该问题，因此，需要添加辅助线构造新的图形． 【问题解决】 （1）解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 所以_________， 所以． 因为， 所以_________， 所以_________． 【迁移应用】如图③，在一款手推车的平面示意图中． （2）若，则_______°． （3）猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展提高】 （4）如图④，，直线交于点E，交于点F，点P是线段上的一点，，平分，平分，请直接写出的度数？ 【答案】（1），， （2） （3）数量关系为，理由如下： 如图：过G作； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵ ∴． （4） 【解析】 【分析】（1）先根据平行公理推论可得，再根据平行线的性质可得，，然后根据角的和差求解即可； （2）如图，过点G作，先根据平行线的性质可得、，再利用角的和差即可解答； （3）如图：过G作，易得，根据平行线的性质可得， ，再根据角的和差以及等量代换即可解答； （4）如图：过点P作，过点H作，先求出，，再根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：如图②，过点作，过点作，则． 因为，， 所以， 因为，， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：如图，过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图：过点P作，过点H作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是 ___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为，其中阴影部分面积为， ∴落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 20. 若，，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据同底数幂除法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 21. 如图，D、E、F分别是三边上的点，平分，，，E是的中点，若的面积为，则的面积为_____；   【答案】 【解析】 【分析】如图：过点D分别作于G， 于H，然后根据角平分线的性质可得，再根据三角形面积公式，即可得出；利用三角形中线的性质可得，再证明，则，最后根据的面积为即可解答． 【详解】解：如图：过点D分别作于G， 于H， ∵平分， ∴，， ∵，，， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 22. 折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则_______． 【答案】30 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 23. 如图，是等腰直角三角形，，在的内部，，为射线上一点，当最大时，则的度数是_____． 【答案】120 【解析】 【分析】作点关于直线的对称点，利用轴对称的性质将转化为，根据三角形两边之差小于第三边的原理，确定；由等腰直角三角形和角度的倍角关系求得，再结合轴对称性质与等腰直角三角形性质，证明为等边三角形，最终由平角关系算出的度数． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，，连接并延长交的延长线于点，当、、三点共线时，的值最大，，连接， 是等腰直角三角形， ，，． ，即， ， ，． 和关于直线对称，结合轴对称的性质可知， ，，． ， ， ， ． ， 是等边三角形，， ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲、乙两人分别从，两地同时出发前往地，甲匀速步行至地，乙前分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至地已知，乙骑行的速度是自己步行速度的倍，甲、乙两人同时到终点甲、乙两人各自到地的距离米与所用时间分的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1），两地之间的距离是 米 （2）求乙中途休息了多少分钟． （3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为米？ 【答案】（1） （2）乙中途休息了分钟 （3）乙骑行前，甲步行分钟或分钟，甲、乙两人之间的距离为米． 【解析】 【分析】（1）由图像可知、两地和、两地的距离，作差即可得到、两地的距离； （2）先根据乙前分钟步行路程求出步行速度，再算出骑行速度与骑行所需时间，用总耗时减去步行、骑行时间即可得到休息时间； （3）分乙步行、乙休息两个阶段，分别表示出甲乙到地的距离，列方程求解出符合对应时间段的时间． 【小问1详解】 解：由图可知，、两地相距米，、两地相距米， （米）． 【小问2详解】 解：由图可知，乙步行的速度为（米分）， 乙骑行的速度为（米分）． 剩余骑行路程为（米）， 乙骑行的时间为（分钟）， 乙中途休息时间为（分钟）． 答：乙中途休息了分钟． 【小问3详解】 解：设乙骑行前，甲步行分钟，甲、乙两人之间的距离为米， 由图可知，乙骑行前包含步行阶段和休息阶段，甲的速度为（米分）；由（2）知，乙步行的速度为（米分）． ①步行阶段 甲距地米，乙距地米， ， 解得，符合题意． ②休息阶段 乙距地保持米，甲距地米， ， 解得，符合题意． 答：乙骑行前，甲步行分钟或分钟，甲、乙两人之间的距离为米． 25. 阅读下列材料：若满足，求的值． 解：设，则， 所以．请根据材料解答下列问题： （1）若满足，求的值． （2）如图，在长方形中，，分别是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形． ①用含的代数式表示： ， ； ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由阅读材料中的解法求解即可； （2）①根据题意，结合长方形性质即可用含代数式表示出；②由题意得到，再由阴影部分的面积为，由阅读材料中的解法求解即可． 【小问1详解】 解：设，则， ， ， ， ，即的值为； 【小问2详解】 解：①， 在长方形中，，， ； ②∵长方形的面积为， ， ， 根据题意，可知阴影部分的面积为， 设， 则， ， 则图中阴影部分的面积和为． 26. 综合与实践：类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题： 【建立模型】： （1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线l经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，直接写出、、之间的数量关系：_________________； 【实践探究】： （2）如图2，在中，，点D、E分别在边、上，且，．若，求的长度． 【拓展应用】： （3）如图3，在中，，，点D、E分别是边、上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，． ①线段和有何数量关系，并说明理由； ②在点D、E运动过程中，点F位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2）4 （3）①， 证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ，即， ∵， ∴， 在和中： ， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②64 【解析】 【分析】（1）由，，，通过等量代换得．结合，证，得，，由得． （2）得．由三角形外角性质得，又，且，故．结合，证，得，．由得． （3）①在上取点使，连接．由，且，结合证，得，．由，得，故．于是，代入得． ②由且得．由得，作，则为等腰直角三角形，．又，也为等腰直角三角形，，故，进而计算的面积． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． 在和中： ， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ∴， 在和中： ， ， ∴，，， ． 【小问3详解】 ①略； ②∵， ∴为定直线， ∴当时，最小， 如图，过点作于点， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ， ， 的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $