精品解析：山东济宁学院附属中学2025—2026学年第二学期期末测评初二数学试题

2025-2026学年第二学期期末测评初二数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式的三条基本性质逐一判断选项即可得到结果． 不等式的基本性质为∶ 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)， 不等号方向不变； 不等式两边乘(或除以)同一个正数， 不等号方向不变； 不等式两边乘(或除以)同一个负数， 不等号方向改变． 【详解】解：∵ ， ∴ 不等式两边同时加5， 不等号方向不变， 可得 ， 选项A正确； 不等式两边同时乘正数2， 不等号方向不变， 可得 ， 选项B错误； 不等式两边同时除以正数3， 不等号方向不变， 可得 ， 选项C错误； 不等式两边同时乘负数， 不等号方向改变， 可得 ， 选项D错误． 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 成语是中华文化的一大瑰宝，“守株待兔”是随机事件 B. 方程是二元一次方程 C. “已知，，求证：．”若用反证法证明的第一步应先假设 D. “济宁明天降雨的概率是”，意思是济宁明天有的时间在降雨 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵随机事件是指一定条件下可能发生也可能不发生的事件，“守株待兔”符合随机事件的定义，∴A正确； ∵二元一次方程要求含有未知数的项的次数都为1，方程中项的次数为2，该方程是二元二次方程，∴B错误； ∵反证法证明命题第一步需假设原结论不成立，证明，应假设，∴C错误； ∵概率表示事件发生的可能性大小，“降雨概率”指明天降雨的可能性为，不是的时间降雨，∴D错误． 3. 数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出，根据含角的直角三角形的性质求出，，再根据线段的和差求出，再次根据含角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 即支撑木条长度为． 4. 如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D. 三角形具有稳定性 【答案】C 【解析】 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：这种做法依据的数学原理是：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合． 理由：∵，， ∴． ∵是重锤所在的直线， ∴是水平的． 5. 采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 【答案】C 【解析】 【分析】设小明答对x道题，则答错或不答的题数为道，根据得分规则建立不等式，解不等式后求解x的最小整数值即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题数为道． 根据题意得：， 解得：， ∴x的最小值为12， ∴他至少要答对12道题． 故选：C． 6. 如图，，已知点和点是对应点，的延长线分别交于点，且，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角和定理的运用，根据三角形全等的性质可得，根据三角形的外角和定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是，的外角， ∴， ∴， 故选：D ． 7. 根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为： ②1班学生的最低身高小于： ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得，，然后利用不等式性质可求出，即可判断②． 【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为， 根据1班班长的对话，得，， ∴ ∴， 解得， 故①错误，③正确； 根据2班班长的对话，得，， ∴， ∴， ∴，故②正确， 故选：C． 8. 若关于的一元一次方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元一次方程，得到用表示的，再根据解为非负数得到，解关于的不等式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 ， 两边同除以得 ， 方程的解为非负数， ，即 解得． 9. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质等，连接，由线段垂直平分线的性质得，即得，可知当在同一直线上时，最小，最小值为，此时周长取最小值，再由等腰三角形的性质得，即得到，即可得，即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即当在同一直线上时，最小，最小值为， ∵周长， ∴此时周长取最小值， ∵，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，‘ 即， 故选：． 10. 如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明得到，推出，进而得到，可判定A，得到是的垂直平分线，可判定B，根据等腰直角三角形、角平分线的性质、三角形的外角性质可判定C，证明得到，结合可判断D． 【详解】解：，，， ， ， 又， ， 平分，即， ， ，故A正确； ，， 是的垂直平分线， ，故B正确； 是等腰直角三角形，，分别是和的平分线， ， 又， ， ， ， ，即，故C正确； ，，， ， ， 又， ， ，故D错误； 故选：D． 【点睛】注意全等三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，角平分线的定义以及三角形的外角性质的结合． 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：______ 【答案】如果两个有理数的平方相等，则它们相等 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的题设是“如果两个有理数相等”，结论是“它们的平方相等”， 故其逆命题是“如果两个有理数的平方相等，则它们相等”． 【点睛】解答本题的关键是熟知两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 12. 若26个英文字母中元音字母有、、、、，则在单词（数学）中任意选择一个字母恰好为元音字母的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率公式进行计算，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：∵单词（数学）中共有11个字母，元音字母、、、、中出现了4次， ∴任意选择一个字母，字母为元音字母、、、、的概率是． 故答案为：． 13. 已知二元一次方程组的解满足，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】两方程相加得，继而知，结合得，解之即可． 【详解】解：两方程相加，得：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于的不等式． 14. 如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【解析】 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 15. 在中，，，点在直线上，且，连接，则的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】解：①当点D在的延长线上时， ∵， ∴． ∵， ∴， ②当点D在的延长线上时， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． 三、解答题 16. 计算 （1）解不等式 （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 17. 如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行线的性质以及角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质以及角平分线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 18. 如图，在中，，点，在上，． （1）求证：； （2）若，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）由得到，即可通过“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据角的和差得到，由得到，，即可得出，从而根据等边三角形的判定得出是等边三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）请直接写出不等式的解集． （3）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点C的横坐标为1代入得到点C的坐标，再将点与点C的坐标代入即可得到答案； （2）根据图象找到一次函数图象在一次函数一次函数图象上方的部分即可得到答案； （3）连接，求出的长，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解∶∵函数的图象过点C，且点C的横坐标为1， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得：． 【小问2详解】 解∶由图象可得，当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴不等式，即的解集是； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∴由（1）可知，一次函数为， 当时，，解得， ∴， ∴． ． 20. 如图，在Rt△ABC中，，在上，． （1）请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：由作图可知平分， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ∴， ． 21. 近期济宁市交警开展“一盔一带”系列公益普法活动取得了一定的成效，根据相关研究表明，在涉及电动自行车的道路交通事故中，头部受伤致死的人数占死亡总数的以上，而在骑行过程中正确佩戴安全头盔，可以保护头部，大大减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：（进售价均保持不变，利润=售价-进价） 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售额（元） 周一 10 15 1150 周二 8 16 1080 请列方程（组）、不等式解答下列各题： （1）求甲、乙两种头盔的销售单价； （2）若商店准备购进这两种头盔共100个，且甲头盔的数量不多于乙头盔数量的2倍，则分别购买多少个甲头盔与乙头盔，可使获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）甲头盔55元，乙头盔40元 （2）购买甲头盔66个，乙头盔34个可获得最大利润，最大利润是1330元 【解析】 【分析】（1）设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，根据表格的销售情况列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购进n个甲头盔，则购进个乙头盔，设获得的利润为w元，根据题意列出w关于n的函数解析式，再求出自变量n的取值范围，根据函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设甲头盔的销售单价为x元，乙头盔的销售单价为y元，根据题意，得 ， 解得， 答：甲头盔的销售单价为55元，乙头盔的销售单价为40元． 【小问2详解】 解：设购进n个甲头盔，则购进个乙头盔，设获得的利润为w元， 根据题意，得 ， ∵n应满足， 解得， ∵n为整数， ∴． ∵， ∴w随n的增大而增大， ∴当时，w有最大值，为， 此时． 答：购买66个甲头盔，34个乙头盔，可使获得的利润最大，最大利润为1330元． 22. 我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2． 根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”________；“整点”为________； （2）若不等式组的“长度”，求a的值； （3）关于y的不等式组恰有4个“整点”，直接写出m的取值范围________． 【答案】（1）；， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先解不等式组确定解集为，然后根据题意求解即可； （3）用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解： 解得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴ ∴． 23. 在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F． （1）如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________． （2）如图2．若，完成以下问题： ①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； ②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）①；②或； 【解析】 【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案； （2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论； ②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案． 【小问1详解】 解：过点C作CG⊥AB于G，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴△EDF≌△CDG， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①过点C作CH⊥AB于H，如图， 与（1）同理，可证△EDF≌△CDH， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ②如图，过点C作CG⊥AB于G， 与（1）同理可证，△EDF≌△CDG， ∴， ∵， 当点F在点A、D之间时，有 ∴， 与①同理，可证是等腰直角三角形， ∴； 当点D在点A、F之间时，如图： ∴， 与①同理，可证是等腰直角三角形， ∴； 综合上述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末测评初二数学试题 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 成语是中华文化的一大瑰宝，“守株待兔”是随机事件 B. 方程是二元一次方程 C. “已知，，求证：．”若用反证法证明的第一步应先假设 D. “济宁明天降雨的概率是”，意思是济宁明天有的时间在降雨 3. 数学实践课上，小丽先用3根木条搭成含角的直角三角形框架，如图，，．然后她依次添加支撑木条，并使得，垂足分别为，则支撑木条长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三角形测平架中，，在的中点D处挂一重锤，让它自然下垂，如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认处于水平位置，这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线互相重合 D. 三角形具有稳定性 5. 采采中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（　　） A. 14道 B. 13道 C. 12道 D. 11道 6. 如图，，已知点和点是对应点，的延长线分别交于点，且，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为： ②1班学生的最低身高小于： ③2班学生的最高身高大于或等于． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 若关于的一元一次方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，边的垂直平分线分别交于点，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是的高，，分别是和的平分线且交于点，与交于点，已知，，连接．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是：______ 12. 若26个英文字母中元音字母有、、、、，则在单词（数学）中任意选择一个字母恰好为元音字母的概率是________． 13. 已知二元一次方程组的解满足，则的取值范围为______． 14. 如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 15. 在中，，，点在直线上，且，连接，则的度数为________． 三、解答题 16. 计算 （1）解不等式 （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数． 18. 如图，在中，，点，在上，． （1）求证：； （2）若，且，试判断的形状，并说明理由． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． （1）求的值； （2）请直接写出不等式的解集． （3）连接，求的面积． 20. 如图，在Rt△ABC中，，在上，． （1）请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． （2）若，求的面积． 21. 近期济宁市交警开展“一盔一带”系列公益普法活动取得了一定的成效，根据相关研究表明，在涉及电动自行车的道路交通事故中，头部受伤致死的人数占死亡总数的以上，而在骑行过程中正确佩戴安全头盔，可以保护头部，大大减少伤害．某商店经销进价分别为40元/个、30元/个的甲、乙两种安全头盔，下表是近两天的销售情况：（进售价均保持不变，利润=售价-进价） 甲头盔销量（个） 乙头盔销量（个） 销售额（元） 周一 10 15 1150 周二 8 16 1080 请列方程（组）、不等式解答下列各题： （1）求甲、乙两种头盔的销售单价； （2）若商店准备购进这两种头盔共100个，且甲头盔的数量不多于乙头盔数量的2倍，则分别购买多少个甲头盔与乙头盔，可使获得的利润最大？最大利润为多少元？ 22. 我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2． 根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”________；“整点”为________； （2）若不等式组的“长度”，求a的值； （3）关于y的不等式组恰有4个“整点”，直接写出m的取值范围________． 23. 在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F． （1）如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________． （2）如图2．若，完成以下问题： ①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由； ②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $