27.3　实际问题与反比例函数 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该教案聚焦“实际问题与反比例函数”，分两课时教学。第1课时通过行程问题情景导入和反比例函数概念复习，引导学生抽象实际问题为函数模型；第2课时结合压强、杠杆等置疑与悬念导入，衔接图象应用，搭建旧知到新知的学习支架。 资料特色在于融合生活（如卸货、销售）与物理（电路电流、杠杆原理）实例，以问题链驱动探究，培养模型意识与推理意识。跨学科案例助力学生用数学语言表达现实，活动设计与分层作业提升解决问题能力，为教师提供系统教学素材与实践思路。

27.3　实际问题与反比例函数 第1课时　将实际问题抽象成反比例函数问题 教师备课　素材示例 ●情景导入　1.小明家离学校4 200 m，他骑自行车的速度x(m/min)与时间y(min)之间的函数关系式是什么？若他每分钟骑450 m，需多长时间到校？ 2．你还能举出我们在日常生活、生产或学习中遇到的具有反比例函数关系的实际应用的例子吗？ 【教学与建议】教学：利用学生熟悉的行程问题中，路程不变的情况下，速度与时间之间的反比例函数关系，引导学生体验创建反比例函数模型解决问题．建议：教师复习路程＝速度×时间，引导学生确定速度与时间的函数关系，构建反比例函数模型解决． ●复习导入　1.什么是反比例函数？它的图象是什么？有哪些性质？ 2．圆柱体体积一定，底面积S是深度d的__反比例__函数；装运货物的总量一定，装运速度v是装运时间t的__反比例__函数． 3．若一个三角形的面积为常数k，底边长y与该边上的高x的函数关系式为__y＝__，它的图象只分布在第__一__象限，是__双曲线__的一部分． 4．同学们，类比前面一次函数和二次函数的学习过程，我们将继续探究反比例函数在日常生活中的应用． 【教学与建议】教学：通过复习反比例函数的概念、图象和性质，类比学习一次函数与二次函数的过程和方法，为灵活应用反比例函数解决实际问题奠定基础．建议：学生回忆所学，教师做适当补充和辅导． 命题角度1　将生活实际问题抽象成反比例函数模型 生活中两个变量的乘积为定值时，构建反比例函数模型．先求出函数解析式，再解决实际问题． 【例1】一辆货车上装有40 t货物，货车到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v(单位：t/h)，卸完这批货物所需的时间为t(单位：h)． (1)求v关于t的函数解析式； (2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过5 h，则平均每小时至少要卸货多少吨？ 解：(1)根据题意，卸货总量为40 t，卸货速度为v t/h，时间为t h， 由“卸货总量＝卸货速度×时间”，得vt＝40，变形可得v＝. 因此v关于t的函数解析式为v＝. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)已知卸货时间不超过5 h，即0<t≤5. 由v＝，可知v随t的增大而减小，因此当t取最大值5时，v取得最小值． 将t＝5代入v＝，得v＝＝8，所以平均每小时至少要卸货8 t． 命题角度2　将物理学科问题抽象成反比例函数模型 【例2】在电压不变的情况下，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系．当R＝24时，I＝0.5，则电流I与电阻R之间的函数解析式为__I＝__． 【例3】如图，路政工人要用撬棍撬动一块落石，已知阻力为1 800 N，阻力臂长为0.5 m．设动力为y(单位：N)，动力臂长为x(单位：m).(图中撬棍本身所受的重力忽略不计) 　　　 (1)求y关于x的函数关系式(不要求写自变量的取值范围)； (2)当动力臂长为1.8 m时，撬动石头至少需要多大的力？ 解：(1)由题意，得xy＝1 800×0.5，化简，得y＝. 故y关于x的函数关系式为y＝. (2)由(1)可知y关于x的函数关系式为y＝. 当x＝1.8时，y＝＝500. 答：当动力臂长为1.8 m时，撬动石头至少需要500 N的力． 高效课堂　教学设计 1．将实际问题抽象成反比例函数模型． 2．初步掌握建立反比例函数模型解决实际问题的思想和方法． ▲重点 根据实际问题建立反比例函数模型． ▲难点 理解“总量不变”是建立反比例函数的核心条件． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆活动1　新课导入 我们知道，确定一个一次函数y＝kx＋b的解析式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数解析式，则只需一个独立条件即可，如点(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的解析式是__y＝__，当x＝4时，y的值为____，而当y＝时，相应x的值为__18__．用反比例函数可以反映很多实际问题中的两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？ ◆活动2　探究新知 1．教材P74　例1. 提出问题： (1)货物总量(工作总量)是多少？ (2)工作总量、工作效率(工作速度)与工作时间有怎样的关系？ (3)你能独立完成例1吗？ 学生完成并交流展示． 2．教材P75　例2. 提出问题： (1)由“杠杆原理”可知，本例中存在怎样的等量关系？ (2)动力F是动力臂l的反比例函数吗？若是，请写出反比例函数解析式． (3)请独立完成例2. (4)思考：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长，越省力？ 学生完成并交流展示． ◆活动3　例题与练习 例1　某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 售价x(元/双) 150 200 250 300 销售量y(双) 40 30 24 20 　　(1)观察表中数据，x，y满足什么函数关系？请求出这个函数解析式． (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？ 解：(1)由表中数据，得xy＝6 000，故所求函数解析式为y＝. (2)由题意，得(x－120)y＝3 000.把y＝代入，得(x－120)·＝3 000，解得x＝240.经检验，x＝240是原方程的根． 答：若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为240元． 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例2　根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U(单位：V)一定时，通过导体的电流I(单位：A)与导体的电阻R(单位：Ω)满足关系式I＝，其中I与R满足反比例函数关系，当I＝2 A时，R＝5 Ω. (1)求电流I与电阻R之间的函数关系式； (2)当I＝2.5 A时，求电阻R的值． 解：(1)∵通过导体的电流I(单位：A)与导体的电阻R(单位：Ω)满足反比例函数关系，且I＝，当I＝2 A时，R＝5 Ω.∴U＝IR＝2×5＝10(V). ∴电流I与电阻R之间的函数关系式为I＝. (2)当I＝2.5 A时，2.5＝， 解得R＝4. 答：电阻R的值为4 Ω. 练习 1．教材P76　练习第1，2题． 2．小明从家到学校的路程为1 200 m，步行的速度v(m/min)与所用时间t(min)成反比例关系． (1)写出v与t之间的函数关系式； (2)若小明步行的速度是60 m/min，他从家到学校需要多长时间？ 解：(1)∵路程＝速度×时间，已知路程为1 200 m， ∴vt＝1 200，即v＝(t>0). (2)当v＝60时，60＝，解得t＝20. ∴他从家到学校需要20 min. ◆活动4　课堂小结 如何建立反比例函数模型解决实际问题． 1．作业布置 (1)教材P80　习题27.3第1，2，3，7题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 第2课时　结合反比例函数图象解决实际问题 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 教师备课　素材示例 ●置疑导入　勘探小组进行野外勘探，途中遇到一片烂泥湿地．他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，从而顺利完成了任务． 问题：1.你能用物理中学过的关于压强的知识解释他们这样做的道理吗？ 2．压强问题能利用反比例函数知识解决吗？ 【教学与建议】教学：日常生活中有关物理知识利用反比例函数解决，让学生体会到数学与实际生活的密切联系．建议：教师展示情境后先复习物理中有关压强的知识，再提出问题． ●悬念激趣　公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德说了这样一句名言：“给我一个支点，我可以撬动地球！”给你一个支点，你能撬动地球吗？这里蕴含着什么原理呢？ 　　 杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂，由这个等式，我们可以发现当阻力与阻力臂一定时，__动力__和__动力臂__成反比例函数关系． 【教学与建议】教学：通过科学家的经典名言抓住学生的注意力，并让学生尝试用反比例函数关系理解问题．建议：教师先用幻灯片展示图片，然后给出名言，继而提出问题． 命题角度1　利用反比例函数的图象及性质解决生活中的实际问题 【例1】一辆车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝，其图象为如图所示的一段曲线，端点为A(40，1)和B(m，0.5). (1)求k和m的值； (2)若行驶速度为60 km/h，则汽车通过该路段需要多长时间？ 解：(1)由题意，得函数t＝经过点A(40，1)，故1＝，解得k＝40.∴函数关系式为t＝.把B(m，0.5)代入t＝，得m＝＝80. (2)当v＝60时，t＝＝.答：汽车通过该路段需要 h． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 命题角度2　利用反比例函数的图象及性质解决物理问题 利用反比例函数的图象和性质解决物理中常见的杠杆、电功率、压强等问题． 【例2】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于10 Ω时，电流I可能是 (D) A．5 A B．4 A C．3 A D．2 A 【例3】某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图． (1)求这个函数的解析式； (2)当气体体积为1 m3时，气压是多少？ (3)当气体内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01 m3) 解：(1)设p＝.根据题意，得120＝，解得k＝96. ∴这个函数的解析式为p＝. (2)当V＝1 m3时，p＝＝96(kPa). (3)当p＝140 kPa时，V＝≈0.69(m3). 答：为了安全起见，气体的体积应不小于0.69 m3. 高效课堂　教学设计 1．通过反比例函数在物理问题中的应用，进一步增强建模思想． 2．经历“实际问题——数学建模——拓展应用”的过程，提高学生分析问题，解决问题的能力． ▲重点 运用反比例函数的有关知识解决物理问题． ▲难点 构建反比例函数模型解决实际应用问题． ◆活动1　新课导入 “给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆原理”通俗地讲是：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系． ◆活动2　探究新知 教材P76　例3. 提出问题： (1)力F、物体在力F的方向上发生的位移s与力F所做的功W有怎样的关系式？ (2)对W＝Fs，通过公式变形，可以得到F＝____或s＝____． (3)当W一定时，F是s的反比例函数吗？请写出该反比例函数的解析式． (4)请独立完成例3. 学生完成并交流展示． ◆活动3　例题与练习 例1　在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示． (1)求I与R之间的函数解析式； (2)结合图象回答：当电路中的电流不超过12 A时，电路中电阻R的取值范围是什么？ 解：(1)设I＝，根据题目条件知，当R＝6时，I＝6， ∴U＝36.∴I与R之间的函数解析式为I＝. (2)根据图象，得R≥3. 例2　某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的阻力F(N)之间的函数关系为v＝，且当F＝3 000时，v＝20. (1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的解析式． (2)当它所受的阻力为2 500 N时，汽车的速度为多少？ (3)如果限定汽车的速度不超过30 m/s，则阻力在什么范围？ 解：(1)由v＝，得P＝Fv＝3 000×20＝60 000(W)， ∴这辆汽车的功率为60 000 W，此函数的解析式为v＝. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)当F＝2 500 N时，v＝＝＝24，∴汽车的速度为24 m/s. (3)由≤30，F＞0，解得F≥2 000，∴阻力大于或等于2 000 N． 练习 1．研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是 (A) A．0.5 m B．0.4 m C．0.125 m D．0.6 m 2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球的体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(kPa是一种压强单位) (1)写出这个函数的解析式； (2)当气球的体积为0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？ (3)当气球内气压大于144 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 解：(1)这个函数的解析式为p＝； (2)当V＝0.8 m3时，p＝＝120， ∴气球内的气压是120 kPa. (3)当p＝144 kPa时，V＝ m3.根据函数图象得，当p≤144 kPa时，V≥ m3. ∴为了安全起见，气球的体积应不小于 m3. ◆活动4　课堂小结 1．反比例函数知识在物理问题中的应用． 2．进一步掌握建模思想． 1．作业布置 (1)教材P81　习题27.3第6，8题； (2)学生用书对应课时练习． 2．教学反思 ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $