综合与实践：高铁列车运行中的数量关系（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案围绕反比例函数综合实践展开，以高铁列车运行为情境，引导学生从时刻表中提取信息，通过分析匀变速、匀速阶段的路程与速度关系，抽象出一次函数（速度变化）和二次函数（非均匀路程）模型，复习导入联系函数基础，搭建从实际到数学的学习支架。 资料以真实高铁数据为载体，引导学生用数学眼光观察现实数量关系，通过分段路程估算、平均速度计算等任务培养推理意识和运算能力，借助函数图象表达运行状态，发展模型观念和应用意识，习题设计贴近实际，助力提升解决问题能力。

第二十七章 反比例函数 综合与实践：高铁列车运行中的数量关系 【学习目标】 1.科学、全面分析已有信息，通过假设、推理和运算，进行估计和判断，获得新的信息. 2.对照估计获得的信息与真实信息，反思解决问题过程中的收获与不足. 3.根据实际信息，推断高铁列车的实际运行状态. 4.认识路程随时间均匀变化（一次函数），速度随时间均匀变化（一次函数），以及路程随时间非均匀变化（二次函数）的数学模型. 学习重点：分段路程的估算（匀变速、匀速）、平均速度的计算. 学习难点：匀变速阶段的路程分析. 【复习导入】 坐风驰电掣的高铁列车，看行稳致远的美丽中国. 我国高速铁路从无到有，由少到多，无论是建设，还是运营，都实现了跨越式发展，现在，我国是全球高铁建设速度最快、运营里程最多的国家. 【合作探究】 探究点：选择合适的函数模型解决实际问题 活动一 根据高铁列车时刻表，获得信息、提出问题 任务1 图1是 2023 年 1 月“北京南—上海虹桥”的G19 次“复兴号”高铁列车的时刻表，你能由此表得到哪些信息？你能根据所得信息发现并提出哪些问题？ 任务2 根据从高铁列车时刻表中得到的信息，你能否解决自己提出的问题？如果不能，还需要获得哪些信息？ (1) 假设列车在这三段路线的起始 10 min、最后 10 min 分别做匀变速运动，中间阶段以 350 km/h 做匀速运动，你能计算“北京南至济南西”的路程吗？“济南西至南京南”呢？“南京南至上海虹桥”呢? (2) 列车在上述三段路线中的平均速度一样吗？不计算能判断吗？依据是什么? (3) 京沪高铁全长大概是多少？列车的全程平均速度大概是多少？全程的平均速度等于每段平均速度的平均值吗？ (4) 画出列车运行全程中速度随时间变化的图象. (5) 画出列车运行路程随时间变化的图象，根据图象，你还能提出并解决哪些问题？ 当堂反馈 已知高铁运行规律：出站阶段做匀加速直线运动，15min速度从0提升至350km/h，该阶段路程可按“平均速度×时间”计算（平均速度为最大速度的）；进站阶段做匀减速直线运动，耗时与匀加速阶段相同，规律与匀加速一致；中间阶段为匀速直线运动. （1）若该高铁从N站到P站用时0.5h，且站间距离较短，无匀速行驶阶段，仅包含匀加速、匀减速过程（减速前已达到最大速度），则N站到P站的路程为　 　km. （2）设高铁某段行程的总用时为th（t＞），匀速行驶时间为t0h，请用含t的代数式表示t0＝　 　，并写出该段行程总路程s（单位：km）与t的函数关系式： s＝　 　. 参考答案 【合作探究】 探究点：选择合适的函数模型解决实际问题 任务2 2023 年 1 月 1 日，某乘客乘 G19 次“复兴号”京沪高铁列车，由北京南到上海虹桥. 由时刻表知道，该列车行驶全程用时约 4.5 h， 经停济南西、南京南两站，在两站均停留 2 min. 从北京南到济南西行驶用时约 1.5 h， 从济南西到南京南行驶用时 2 h， 从南京南到上海虹桥行驶用时约 1 h， 该乘客通过列车屏幕上的信息发现， 列车大概在出站 15 min 后加速到最大值 350 km/h， 在入站前 15 min由 350 km/h 减速直至 0 km/h， 在中间时间段近似地以 350 km/h 的速度匀速行驶. (1) 分析：高铁 3 阶段运行： 阶段1 (匀加速)：出站 15 min，速度从 0→350 km/h，平均速度 175 km/h； 阶段2 (匀速)：途中保持 350 km/h； 阶段3 (匀减速)：进站 15 min，速度从 350→0 km/h，平均速度 175 km/h. 1.北京南至济南西: ①站间总用时：1.5 h (90 min)； ②拆分运行时间：匀变速时间＝15＋15＝30(min)＝0.5h， 匀速时间＝90－30＝60(min)＝1h； ③计算两段路程：匀变速路程＝175×0.5＝87.5(km)， 匀速路程＝350×1＝350 (km)； ④总路程＝87.5＋350＝437.5 (km). 2.济南西→南京南用时 2 h (120 min)，计算： 匀变速时间 0.5 h，匀速时间 1.5 h， 路程＝175×0.5＋350×1.5＝612.5 (km)； 3.南京南→上海虹桥用时 1 h (60 min)，计算： 匀变速时间 0.5 h，匀速时间 0.5 h， 路程＝175×0.5＋350×0.5＝262.5 (km). (2) 不一样. 依据：三段的总时间不同，且匀速行驶的时间占比不同(匀速阶段速度 350 km/h，远高于匀变速阶段的平均速度 175 km/h). 匀速时间占比越高，整段的平均速度越接近 350 km/h，因此三段平均速度不同. (3) 全程路程＝437.5＋612.5＋262.5＝1312.5 km， 全程用时 4.5 h，平均速度＝1312.5÷4.5＝291.7 km/h； ①北京南→济南西：437.5÷1.5≈291.7 (km/h)； ②济南西→南京南：612.5÷2＝306.25 (km/h)； ③南京南→上海虹桥：262.5÷1＝262.5 (km/h)； (291.7＋306.25＋262.5)÷3≈286.82 不等于三段平均速度的的平均值，因为各段用时不同. (4) (5) 分析：高铁 3 阶段运行速度： 阶段1 (匀加速)：出站 15 min，一次函数； 阶段2 (匀速)：途中保持 350 km/h； 阶段3 (匀减速)：进站 15 min，一次函数. 则高铁 3 阶段运行路程： 阶段1 (匀加速)：出站 15 min，开口向上的二次函数； 阶段2 (匀速)：途中 一次函数； 阶段3 (匀减速)：进站 15 min，开口向下的二次函数. 全程路程＝437.5＋612.5＋262.5＝1312.5 km 当堂反馈 （1）　87.5　.（2）　t－　，　350t－87.5　. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $