27.2 第1课时 反比例函数的图象和性质(1).（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数的图象和性质，通过复习一次函数、二次函数的研究过程，对比正比例函数与反比例函数的表达式、图象形状等要素，搭建前后知识联系的学习支架。 以描点法画函数图象为基础，引导学生观察分析图象特征，从特殊到一般归纳性质，培养几何直观与推理意识，例题及当堂反馈结合性质应用，强化模型意识，助力学生自主构建知识，提升数学思维与应用能力。

第二十七章 反比例函数 27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质(1) 【学习目标】 学习目标：1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程； (重点、难点) 2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点) 3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点) 【复习导入】 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程： 如何研究反比例函数的图象和性质？ 函数 正比例函数 反比例函数 表达式 图象形状 k>0 位置 增减性 k<0 位置 增减性 【合作探究】 探究点：反比例函数的图象和性质 探究：对于反比例函数 y＝ 与 y＝ ，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？ 用描点法画出反比例函数y＝ 与 y＝ 的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同. 例1 画出反比例函数y＝ 与 y＝ 的图象. 【提示】画函数的图象步骤一般分为：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0. 解：列表： －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 y＝ … － － － －1 － －3 3 1 … y＝ … … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点． 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得y＝ 与 y＝的图象． 思考 观察这两个函数图象，回答问题： （1）每个函数图象分别位于哪些象限？ （2）在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ （3）对于反比例函数(k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ [要点归纳]反比例函数(k＞0) 的图象和性质： 由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. [针对训练] 反比例函数的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 例2 反比例函数的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞x2，则 y1与y2的大小关系为 ( ) A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 [提示] 因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系 [观察与思考] 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数的图象，有哪些共同特征？ 思考 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？ [要点归纳] 反比例函数(k＜0) 的图象和性质： (1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小； (2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大. k 的正负决定了反比例函数的图象所在的象限和增减性 [练一练] 2. 点(2，y1)和(3，y2)在函数的图象上，则y1 y2(填“>”“<”或“=”). 例3 已知反比例函数，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值. [练一练] 3. 已知反比例函数在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 当堂反馈 1.若某反比例函数y＝的图象经过点(－2，3)，则该函数图象位于(　　) A.第一、第二象限 B.第二、第四象限 C.第一、第三象限 D.第三、第四象限 2.[一题多法(性质法/图象法/代入法)]已知点P(1，m)，Q(2，n)是反比例函数y＝图象上的两点，则(　　) A.m＜n＜0 B.n＜m＜0 C.0＜m＜n D.0＜n＜m 草图通关 点P，Q所在象限：第　　象限 3.已知反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象如图所示，当1≤x≤2时，y的取值范围是　　. 4.已知反比例函数y＝，图中已经画出了此函数图象的其中一支.根据图中所给信息解答下列问题. (1)[作图通关]请把这个反比例函数图象的另一支补充完整； (2)[开放题]写出这个反比例函数具有的一条性质. 参考答案 【合作探究】 探究点：反比例函数的图象和性质 例1 解：列表如右： 描点、连线如图所示. 【练一练】 1.C 例2 C 【练一练】2.< 例3 解：由题意得a2 + a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3. 【练一练】 3.解：由题意得 | m |－4=－1，且 3m－8＞0．解得m=3. 当堂反馈 1.B　 2.　D　 3.　2≤y≤4　. 4.解：(1)如图所示. (2)该反比例函数的图象关于直线y＝x对称 (答案不唯一，合理即可). 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $