数学活动：用“矩形”画双曲线和用简易密度计测量密度（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦反比例函数“乘积为定值”的本质，通过面积相等矩形的边长关系、密度计浸入深度与密度的“一增一减”问题导入，链接已学概念，搭建从具体实例到抽象模型的学习支架。 特色在于结合几何与物理情境设计探究活动，学生经历“计算—画图—建模”过程，用数学眼光观察现象，用数学思维推导关系，用数学语言建立模型，习题注重实际应用与数形结合，培养抽象能力、推理意识和模型观念。

第二十七章 反比例函数 数学活动　用矩形“画”双曲线和用简易密度计测量密度 【学习目标】 1.掌握反比例函数“乘积为定值”的本质，能通过矩形边长补全、密度计数据推导建立反比例函数模型，并绘制对应图象. 2.经历“计算—画图—建模”的探究过程，提升数形结合与从实际问题中抽象数学模型的能力. 3.感受反比例函数在几何、物理中的应用价值，激发用数学解释生活现象的兴趣. 学习重点：从“矩形面积相等”“密度计浮力平衡”中提炼“乘积为定值”的关系，建立并验证反比例函数模型. 学习难点：理解面积相等的矩形对角顶点的连线是反比例函数图象的一支，理解反比例函数中系数k的几何意义. 【复习导入】 知识链接：今天我们探究两个结合学科与生活的问题，用反比例函数解答： ①多个面积相等的矩形，一边变长，邻边会怎么变？边长是否符合“乘积为定值”？连接这些矩形对角顶点会画出什么曲线？ ②密度计漂浮在不同液体中，密度越大浸入深度越浅，这种“一增一减”的关系，能否用反比例函数表示？ 【合作探究】 探究点一：用矩形画双曲线 下表是 10 个面积相等的矩形的两邻边长，请补全表格. 一边长/cm 1 2 3 4 5 邻边长/mL 2 设∠A 为这 10 个矩形的公共角，画出这 10 个矩形，然后取∠A 的 10 个对角的顶点，并把这 10 个点用平滑的曲线连接起来. 思考1：如果我们把矩形的公共角∠A 放在直角坐标系的原点，两条边分别在 x 轴和 y 轴上，那么每个矩形对角顶点的坐标是什么？ 思考2：按照题目要求画出 10 个矩形，标出对角顶点，再用平滑的曲线连接这些点，你觉得这条曲线会是什么形状？ [归纳小结] 面积相等的矩形，邻边长满足反比例函数关系（面积定值)，其对角顶点的连线就是反比例函数图象的一支（因为边长都是正数，所以只取第一象限的分支）. 探究点2：用简易密度计测量密度 活动2 用简易密度计测量密度 如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度计，其质量为 7.2 g，底面积为 1 cm²，能悬浮在液体中. 经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其浸入液体的深度，得到如下数据： 液体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 p/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.29 9 8 7.2 6.26 5.14 (1) 简易密度计浸入液体的深度 h (单位：cm) 与液体的密度 p (单位：g/cm²) 之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型描述这种关系. (2) 当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为 6.99 cm，则牛奶的密度为多少(结果保留小数点后两位)？ [归纳总结] 1. 定变量：分清题目中哪两个量在变化； 2. 寻定值：判断乘积是否固定不变； 3. 判函数：乘积一定→成反比例关系； 4. 列式子：写出反比例函数解析式； 5. 用性质：结合图象、表格、公式计算求解. 当堂反馈 1.下表是简易密度计在不同液体中的部分测量数据，已知浸入深度h（cm）与液体密度ρ（g·cm－3）满足反比例函数关系： 液体 白醋 酒精 豆浆 牛奶 洗衣液 糖水 ρ（g·cm－3） 1.05 0.78 1.03 1.02 1.20 1.35 h（cm） ？ 9.23 ？ 7.06 6.0 ？ 根据表格和反比例函数关系，下列说法正确的是（　　） A.该反比例函数解析式为h＝ B.白醋对应的浸入深度约为6.86cm C.豆浆对应的浸入深度约为8.0cm D.液体密度越小，密度计浸入深度越浅 2.面积为12的矩形，一边长为x（x＞0），邻边长为y.当x从3增大到6时，y的值如何变化？结合反比例函数的特征说明原因. 参考答案 【合作探究】 探究点一：用矩形画双曲线 思考1：坐标为 (x，y)，其中 x、y 为矩形的两边长，满足 xy = 10. 思考2：这条曲线是反比例函数图象的一支 探究点2：用简易密度计测量密度 活动2 用简易密度计测量密度 (1) 分析：物理原理告诉我们：密度计漂浮时，浮力等于自身重力， 即 F浮＝ρ液gV排＝ρ液gh浸入S底面积＝mg，你能推导出 p液 和 h 的关系式吗？ ρ液gh浸入S底面积＝mg，ρh＝ 已知 m = 7.2 g，S = 1 cm²，则 ρh = 7.2，即h＝ 说明 h 与 p 成反比例函数关系. (2) 由 h＝，变形得 ＝，将 h＝ 6.99 cm 代入计算. ＝≈1.03(g/cm3) 当堂反馈 1.　B　 2.解：反比例函数中k＝12＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小.故当x从3增大到6时，y的值逐渐减小. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $