第09讲 有理数的乘方运算（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第09讲 有理数的乘方运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数幂的概念理解 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方运算的符号规律 题型4 乘方的应用 题型5 有理数乘方运算与有理数分类问题 题型6 有理数乘方运算与数轴综合问题 题型7 与有理数乘方有关的新定义型问题 题型8 用科学记数法表示绝对值大于1的数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 乘方、幂、底数、指数、奇负偶正、括号、运算顺序。 1. 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式。 2. 能进行有理数的乘方运算，特别关注负数和分数的乘方中括号的使用。 3. 掌握幂的符号法则：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 4. 能进行简单的混合运算（含加、减、乘、除、乘方），体会运算顺序的规定，培养计算能力。 学习重点：乘方的意义及有理数的乘方运算，特别是负数和分数乘方时的括号使用及符号确定。 学习难点：理解乘方与乘法的区别与联系，准确处理负数和分数的乘方运算（如(-2)4与-24的区别），以及乘方在混合运算中的顺序。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【易错提醒】 有理数乘方易错警示：an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 即时即练1．下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 2．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【易错提醒】 有理数乘方运算易错警示：先确定幂的符号（负数奇次幂为负，偶次为正），再算绝对值。注意底数为分数或负数要加括号，如= ，而 = 不同。勿漏指数。 即时即练1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【易错提醒】 科学记数法易错警示：形式为a×10n，其中1≤|a| < 10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 即时即练1．据商务部消息，2025年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至3月11日，今年全国 电动自行车售旧、换新各166.4万辆，超过2024年总和．数据166.4万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 题型1 有理数幂的概念理解 【例1】下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【例2】表示的意义是（   ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．5个相乘 【技巧归纳】 幂：aⁿ表示n个a相乘，a为底数，n为指数（正整数）。注意区分：(-a)ⁿ与-aⁿ（前者负号在括号内，指数影响符号；后者负号在括号外）。任何非0数的0次幂得1，0的正整数次幂得0。底数可为分数、小数。 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个3相加 C．的指数是3 D．与意义相同 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ） A．表示 B．的结果为正数 C．中是底数，2是指数 D．与是互为相反数 题型2 有理数的乘方运算 【例3】计算： (1)； (2)； (3)． 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【技巧归纳】 乘方运算：先确定符号（正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正），再计算绝对值的乘方。底数是分数时，分子分母分别乘方；底数是小数先化分数。注意区分底数范围，如(-2)⁴=16，-2⁴=-16。 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型3 乘方运算的符号规律 【例5】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【例6】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【技巧归纳】 正数的任何次幂都为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。0的正整数次幂为0。底数为负且指数为奇数，结果负；指数偶数，结果正。注意区分(-a)ⁿ与-aⁿ：前者负号参与乘方，后者负号在乘方结果外。 【变式3-1】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【变式3-2】若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 题型4 乘方的应用 【例7】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【例8】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【技巧归纳】 应用如细胞分裂、拉面折数、增长率等。识别底数为“每轮倍数”，指数为“轮数”。求n次后总量=初始量×倍数ⁿ。注意指数从0开始：第0次为初始。也用于比较大小，如2¹⁰与10³，分别计算或取对数比。 【变式4-1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【变式4-2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … 题型5 有理数乘方运算与有理数分类问题 【例9】把下列各数分别填入相应的括号中； ，0.0314，，，，，0，，， 正有理数：｛ …｝ 整数：｛ …｝ 分数：｛ …｝ 非正整数：｛ …｝ 【例10】将下列有理数填入适当的集合内（写原形式）：，5， ，，，，0，，8，， 正有理数集合：{ …} 整数集合：{ …} 负分数集合：{ …} 【技巧归纳】 先计算乘方，得具体数值后再分类（整数、分数、正负等）。注意底数符号：负底数偶次幂为正，奇次幂为负。乘方结果可能改变数类型，如(-2)2=4是正整数。 【变式5-1】把以下各数填在相应的大括号里：，0，，，，，． （1）正整数集合：{                     }； （2）负分数集合：{                     }； （3）整数集合：{                       }； （4）非负数集合：{                     }． 【变式5-2】在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 题型6 有理数乘方运算与数轴综合问题 【例11】已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数． (3)把这些有理数用“”号连接起来． 【例12】（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【技巧归纳】 先计算乘方得具体数值，再标在数轴上，注意正负和大小位置。比较大小时，可根据数轴右侧大于左侧判断，也可结合乘方运算的符号规律和绝对值比较。 【变式6-1】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上表示下列四个数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，0 用“<”号连接各数：_______________________． 【变式6-2】如图，数轴上A，D两点对应的数分别为，，其中点为原点，点，，所对应的数分别为，， (1)请在图中标出点，，，的位置； (2)把，，，，，这六个数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 题型7 与有理数乘方有关的新定义型问题 【例13】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【例14】规定三角形框“”表示，方框“”表示． 例如：，． (1)计算：_________，_________． (2)现有一个算式： ①若■表示3，求这个算式的值； ②如果原算式的值为，直接写出表示的正整数． 【技巧归纳】 先理解新定义（如a※b表示a的b次方再取倒数），将自定义运算化为标准乘方形式。注意指数为正整数，遇负数或分数底数需加括号。按乘方运算法则计算，再结合题目其他运算顺序。可先举例验证规则。 【变式7-1】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1）， 它们两者之间可以互相换算．若规定：任何一个非0数的0次幂都等于1，（如）那么，二进制换算成十进制数为： ； 二进制换算成十进制数目为： ． (1)将二进制数(10011)2换算成十进制数，则 (2)请将转换为十进制数； (3)十进制数9转换成二进制为：，则将27转换成二进制数为 【变式7-2】【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果： ， ． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是： ．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 题型8 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例15】铜仁市到贵阳市的车程约为324000m．数据324000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例16】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【技巧归纳】 科学记数法：a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为正整数。n等于原数整数位数减1。将小数点左移至第一个数字后，数出移动位数得n。如3800=3.8×10³。注意0的个数与指数关系，不要漏掉数字末尾的0。 【变式8-1】一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省约3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年.“3240万”这个数据用科学记数法表示为 . 【变式8-2】央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 一、单选题 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 3．第57次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026年2月5日发布．报告显示，截至2025年12月，我国网民规模达11.25亿人，互联网普及率达．数据“11.25亿”用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 4．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．的底数是________，读作________． 7．2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米．其中数据720000000用科学记数法表示为___________． 8．定义一种运算：．例如：．那么______． 9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 10．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．规定一种新运算：，，请计算下列各式的值： (1)； (2)． 13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：___________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）； （2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．___________；___________； （3）算一算：． 14．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 15．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 有理数的乘方运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 有理数幂的概念理解 题型2 有理数的乘方运算 题型3 乘方运算的符号规律 题型4 乘方的应用 题型5 有理数乘方运算与有理数分类问题 题型6 有理数乘方运算与数轴综合问题 题型7 与有理数乘方有关的新定义型问题 题型8 用科学记数法表示绝对值大于1的数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 乘方、幂、底数、指数、奇负偶正、括号、运算顺序。 1. 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式。 2. 能进行有理数的乘方运算，特别关注负数和分数的乘方中括号的使用。 3. 掌握幂的符号法则：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。 4. 能进行简单的混合运算（含加、减、乘、除、乘方），体会运算顺序的规定，培养计算能力。 学习重点：乘方的意义及有理数的乘方运算，特别是负数和分数乘方时的括号使用及符号确定。 学习难点：理解乘方与乘法的区别与联系，准确处理负数和分数的乘方运算（如(-2)4与-24的区别），以及乘方在混合运算中的顺序。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 有理数的乘方 一般地，个相同的因数相乘，即，记作，读作的次方.求个相同因数的积的 运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，叫做底数，叫做指数.读作的次方，也可以读作的次幂. 【易错提醒】 有理数乘方易错警示：an表示n个a相乘。注意区分(-2)4=16与-24=-16；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。指数为1时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。 即时即练1．下列关于的说法中，正确的是（   ） A．计算结果为 B．表示4个相乘 C．结果与相等 D．底数是，指数是4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方运算，幂的定义，熟练掌握有理数乘方运算法则，是解题的关键．根据幂的定义，有理数乘方运算法则，进行求解即可． 【详解】解：表示，而非， ，，因此， 的底数为2，指数为4，故A正确，B、C、D错误． 故选：A． 2．的底数是__，指数是__，读作_____，它的含义是_____；的底数是__，指数是__，其结果是__． 【答案】 3 的3次幂 3个相乘 2 4 【分析】本题考查幂的底数和指数的概念，需注意负号的位置，区分整体底数与运算符号． 根据乘方的相关概念作答即可． 【详解】对于，底数是，指数是3，读作“的3次幂，”，含义是个相乘； 对于，负号是运算符号，底数是2，指数是4，表示2的4次幂的相反数，计算结果为． 故答案为：， 3，的3次幂，3个相乘； 2， 4，． 知识点02 有理数的乘方运算 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0； （4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值. 【易错提醒】 有理数乘方运算易错警示：先确定幂的符号（负数奇次幂为负，偶次为正），再算绝对值。注意底数为分数或负数要加括号，如= ，而 = 不同。勿漏指数。 即时即练1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练运用乘方的运算法则是解本题的关键． （1）根据有理数乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 知识点03 科学记数法 把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数． 【易错提醒】 科学记数法易错警示：形式为a×10n，其中1≤|a| < 10，n为整数。注意a是整数部分仅一位的数，n等于原数整数位数减1或小数点移动位数。单位需在括号外。 即时即练1．据商务部消息，2025年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至3月11日，今年全国 电动自行车售旧、换新各166.4万辆，超过2024年总和．数据166.4万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万， 故选：． 2．央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 题型1 有理数幂的概念理解 【例1】下列关于的说法中，正确的是（    ） A．底数是3，指数是2 B．表示 C．表示 D．表示 【答案】B 【分析】本题考查乘方的基本概念，需明确乘方中底数、指数的定义及乘方的意义，即表示个相乘，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵乘方中，是底数，是指数，表示个相乘， ∴对于，底数是2，指数是3，它表示3个2相乘，即， ∴选项A、C、D均错误，选项B正确． 故选：B． 【例2】表示的意义是（   ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．5个相乘 【答案】A 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，是表示5个2相乘的相反数，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：A． 【技巧归纳】 幂：aⁿ表示n个a相乘，a为底数，n为指数（正整数）。注意区分：(-a)ⁿ与-aⁿ（前者负号在括号内，指数影响符号；后者负号在括号外）。任何非0数的0次幂得1，0的正整数次幂得0。底数可为分数、小数。 【变式1-1】下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个3相加 C．的指数是3 D．与意义相同 【答案】C 【分析】本题考查“有理数的乘方的概念”，掌握有理数的乘方的各部分数的含义和名称是解题关键． 根据有理数的乘方的概念，逐项判断即可． 【详解】A选项： 的底数是3，不是，∴ A错误； B选项： 表示3个3相乘，不是相加，∴ B错误； C选项： 的指数是3，∴ C正确； D.选项： 表示三个相乘， 表示三个3相乘的相反数，意义不同，∴ D错误， 故选：C． 【变式1-2】下列说法中，正确的是（    ） A．表示 B．的结果为正数 C．中是底数，2是指数 D．与是互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查指数运算的基本概念，包括底数、指数的定义以及运算顺序，逐项判断各说法的正确性即可． 【详解】解：A、表示，而，两者不相等，故A错误； B、，结果为负数，故B错误； C、在中，底数是括号内的，指数是2，符合指数定义，故C正确； D、，，两者相等，并非互为相反数，故D错误， 故选：C． 题型2 有理数的乘方运算 【例3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)64 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握有理数乘方的运算方法为解题关键． （1）根据计算出结果即可； （2）根据计算出结果即可； （3）根据计算出结果即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【例4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)9 (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算： （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：． 【技巧归纳】 乘方运算：先确定符号（正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正），再计算绝对值的乘方。底数是分数时，分子分母分别乘方；底数是小数先化分数。注意区分底数范围，如(-2)⁴=16，-2⁴=-16。 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据有理数的平方计算，先确定符号，再计算即可； （2）根据有理数的乘方计算，先确定符号，再进行计算即可； （3）把不参与运算的负号先抄下来，再进行有理数乘方的运算； （4）先把括号里的化简，再进行有理数乘方的运算； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数乘方，掌握运算法则是解题的关键． （）根据有理数乘方运算法则即可求解； （）根据有理数乘方运算法则即可求解； （）根据有理数乘方运算法则即可求解； （）根据有理数乘方运算法则即可求解； （）根据有理数乘方运算法则即可求解； （）根据有理数乘方运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解：． 题型3 乘方运算的符号规律 【例5】有下列各数：①；②；③；④，其中结果等于的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可． 【详解】解：①， ②， ③， ④， ∴其中结果等于的是：①②③④． 故选：D． 【例6】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】A、，，不相等，故A选项错误； B、，，不相等，故B选项错误； C、，，相等，故C选项正确； D、，，不相等，故D选项错误． 故选：C． 【技巧归纳】 正数的任何次幂都为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。0的正整数次幂为0。底数为负且指数为奇数，结果负；指数偶数，结果正。注意区分(-a)ⁿ与-aⁿ：前者负号参与乘方，后者负号在乘方结果外。 【变式3-1】已知为正整数，计算的结果是（　　） A．1 B．-1 C．0 D．2 【答案】D 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、有理数的减法运算 【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式3-2】若是自然数，并且有理数a、满足，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相反数的性质，根据题意得到a和互为相反数，进而求解即可． 【详解】∵ ∴a和互为相反数 ∴． 故选：D． 题型4 乘方的应用 【例7】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 【例8】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题： (1)第6次捏合后，可得多少根面条？ (2)经过多少次捏合后可得到256根面条？ 【答案】(1)64根 (2)8次 【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用． （1）计算即可得出答案． （2）由即可得出答案． 【详解】（1）解：（根） 则第6次捏合后，可得64根面条． （2）解：因为， 所以经过8次捏合后可得到256根面条． 【技巧归纳】 应用如细胞分裂、拉面折数、增长率等。识别底数为“每轮倍数”，指数为“轮数”。求n次后总量=初始量×倍数ⁿ。注意指数从0开始：第0次为初始。也用于比较大小，如2¹⁰与10³，分别计算或取对数比。 【变式4-1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放粒米，第二格放粒米，第三格放粒米，然后是粒米，粒米，直到第格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第格放的米粒数为，据此即可求解，根据题意找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一格放粒米，即粒， 第二格放粒米，即粒， 第三格放粒米，即粒， 第四格放粒米，即粒， 第五格放粒米，即粒， ， ∴第格放的米粒数为粒， ∴第格放的米粒数是粒． 【变式4-2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素） (1)假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 … … (2)假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？ 【答案】(1)见解析； (2)35天 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键． （1 ）根据有理数乘方的定义填写即可； （2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5即可． 【详解】（1）根据题意得，当天数为15时，总株数为， 当天数为25时，总株数为， ∴当天数为时，总株数为， 填表如下： 天数 5 10 15 … 25 … 总株数 2 4 8 … 32 … （2）根据题意得，， 解得， （天）． 答：按照上述生长速度，35天时有1280株水葫芦． 题型5 有理数乘方运算与有理数分类问题 【例9】把下列各数分别填入相应的括号中； ，0.0314，，，，，0，，， 正有理数：｛ …｝ 整数：｛ …｝ 分数：｛ …｝ 非正整数：｛ …｝ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查有理数的分类、有理数的乘方运算及绝对值的意义，熟练掌握有理数的分类、有理数的乘方运算及绝对值的意义是解题的关键；因此此题可根据有理数的分类、有理数的乘方运算及绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：由，，，可知： 正有理数：｛0.0314，，，，…｝； 整数：｛，，0，…｝； 分数：｛0.0314，，，，…｝； 非正整数：｛，0…｝． 【例10】将下列有理数填入适当的集合内（写原形式）：，5， ，，，，0，，8，， 正有理数集合：{ …} 整数集合：{ …} 负分数集合：{ …} 【答案】5，，，8；，5，0，，8；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，涉及绝对值，有理数的乘方运算等知识点． 先计算绝对值，有理数的乘方，再根据正有理数、整数、负分数的定义进行分类即可． 【详解】解：，， 则正有理数有：5，，，8； 整数有：，5，0，，8； 负分数有：，，； 故答案为：5，，，8；，5，0，，8；，，． 【技巧归纳】 先计算乘方，得具体数值后再分类（整数、分数、正负等）。注意底数符号：负底数偶次幂为正，奇次幂为负。乘方结果可能改变数类型，如(-2)2=4是正整数。 【变式5-1】把以下各数填在相应的大括号里：，0，，，，，． （1）正整数集合：{                     }； （2）负分数集合：{                     }； （3）整数集合：{                       }； （4）非负数集合：{                     }． 【答案】（1），；（2），；（3）0，，，；（4），0，， 【分析】本题主要考查了有理数的分类，化简绝对值和多重符号，有理数的乘方．根据有理数的分类方法进行求解即可． 【详解】解：，，，． （1）正整数集合：{，}； （2）负分数集合：{，}； （3）整数集合：{0，，，}； （4）非负数集合：{，0，，}． 【变式5-2】在数轴上标出表示下列各数的点． ，，，， (1)在数轴上表示出以上各数，并用“”把下列各数连接起来． (2)将上述的有理数填入图中相应的集合内． 负数集合{                   } 整数集合{                   } 非负整数集合{                   } 【答案】(1)见解析； (2)，；，，；， 【分析】本题考查了有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方，有理数的大小比较，在数轴上表示有理数； （1）先化简多重符号，绝对值，有理数的乘方，根据有理数在数轴上对应的点，然后根据数轴即可比较大小； （2）根据负数、整数、非负整数的定义分类即可； 【详解】（1）解：，，， 在数轴上表示： 用“”把下列各数连接： （2）负数集合{，，…… } 整数集合{，，，……} 非负整数集合{ ，，……} 故答案为：，；，，；，． 题型6 有理数乘方运算与数轴综合问题 【例11】已知下列有理数： (1)中，底数是_______，指数是_______． (2)画一条数轴，在数轴上表示出这些有理数． (3)把这些有理数用“”号连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，有理数的大小比较． （1）根据乘方的定义作答即可； （2）先去括号，计算绝对值和乘方，再在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴判断即可． 【详解】（1）中，底数是，指数是， 故答案为：，； （2）， 在数轴上表示如下： （3）由数轴可知 【例12】（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】（1）和；（2）见解析，． 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的乘方，在数轴上表示有理数，相反数，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简各个数，再结合相反数的定义进行分析，即可作答． （2）先分别得出各个数的相反数，再按要求在数轴上表示出来，结合越在数轴的右边的数越大进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，得， ， ，， ∵和互为相反数， ∴六个有理数中，互为相反数的是和； （2）由（1）得， ， ，， ∴的相反数为，的相反数为，的相反数为，3的相反数是，0的相反数是0， 将其表示在数轴上如图所示： ∴． 【技巧归纳】 先计算乘方得具体数值，再标在数轴上，注意正负和大小位置。比较大小时，可根据数轴右侧大于左侧判断，也可结合乘方运算的符号规律和绝对值比较。 【变式6-1】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上表示下列四个数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，0 用“<”号连接各数：_______________________． 【答案】(1)原点位置见解析，4 (2)图见解析， 【分析】本题考查数轴上表示数，有理数的乘方运算，利用数轴比较大小，掌握在数轴上表示数，利用数轴比较大小是解题关键． （1）利用点A向右平移3个单位确定数轴原点，在确定点B表示的数即可； （2）先化简，，，然后在数轴上描出表示各数的点，标上原数，根据数轴的性质用“<”号把这些数按从小到大连接起来即可． 【详解】（1）解：原点位置如下图， 则点所表示的数是4； （2）解：，，， 在数轴上表示各数， ． 【变式6-2】如图，数轴上A，D两点对应的数分别为，，其中点为原点，点，，所对应的数分别为，， (1)请在图中标出点，，，的位置； (2)把，，，，，这六个数，按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的大小比较，有理数的乘方，化简绝对值，熟练掌握平方和绝对值的化简是解题的关键． （1）先对数据进行化简，再在数轴上表示即可； （2）利用数轴上的位置信息解答即可． 【详解】（1）解：因为：；；， 所以在数轴上可表示为： （2）解：由（1）得：． 题型7 与有理数乘方有关的新定义型问题 【例13】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2)2 (3)或4或7或8或10 【分析】本题考查新定义的运算，有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算分当与同号时和当与异号时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴与异号， ∴， 故答案为：； （2）解：由，，为整数，可得与不可能异号， ∴当与同号时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当与同号时， ∴， ∴，或，或，， 则的值为或或； 当与异号时，， ∴， ∴，或，， 则的值为或； 综上可知：的值为或或或或． 【例14】规定三角形框“”表示，方框“”表示． 例如：，． (1)计算：_________，_________． (2)现有一个算式： ①若■表示3，求这个算式的值； ②如果原算式的值为，直接写出表示的正整数． 【答案】(1)；1 (2)①；②2 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据新定义列式计算即可； （2）①将■的值代入所求式子，利用新定义计算即可； ②根据除法运算法则，先求出，再根据新定义列式计算，即可求出■的值． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：；1； （2） 解：①， ， ∴； ②根据题意得， ∴， ∴， ∴， ∴■表示2． 【技巧归纳】 先理解新定义（如a※b表示a的b次方再取倒数），将自定义运算化为标准乘方形式。注意指数为正整数，遇负数或分数底数需加括号。按乘方运算法则计算，再结合题目其他运算顺序。可先举例验证规则。 【变式7-1】我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制（只有数码0和1）， 它们两者之间可以互相换算．若规定：任何一个非0数的0次幂都等于1，（如）那么，二进制换算成十进制数为： ； 二进制换算成十进制数目为： ． (1)将二进制数(10011)2换算成十进制数，则 (2)请将转换为十进制数； (3)十进制数9转换成二进制为：，则将27转换成二进制数为 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二进制与十进制的转换，有理数的乘方，有理数的加法等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可； （2）根据二进制数转化为十进制数的方法计算即可； （3）根据十进制数转化为二进制数的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 故答案为：； （2）解：； （3）解：， 故答案为：． 【变式7-2】【概念学习】 定义：求若干个相同的有理数（均不等于）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的下次方”，记作，读作“的下次方”．一般地，把记作，读作“的下次方”． (1)直接写出计算结果： ， ． (2)【深入探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如： 类比上面的算式，将一个非零有理数的下次方写成幂的形式是： ．（直接写出结果） (3)【结论应用】 已知同底数幂乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例如：． 请根据同底数幂乘法公式和以上探究结论，计算的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确进行计算是解此题的关键． （1）根据题干所给计算方法计算即可得解； （2）根据题干所给计算方法计算即可得解； （3）根据将进行变形，再计算即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解：； （3）解： ． 题型8 用科学记数法表示绝对值大于1的数 【例15】铜仁市到贵阳市的车程约为324000m．数据324000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 【例16】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是米/秒，用科学记数法表示应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【技巧归纳】 科学记数法：a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n为正整数。n等于原数整数位数减1。将小数点左移至第一个数字后，数出移动位数得n。如3800=3.8×10³。注意0的个数与指数关系，不要漏掉数字末尾的0。 【变式8-1】一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省约3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年.“3240万”这个数据用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3240万， 故答案为：． 【变式8-2】央广网报道“中国旅游研究院数据显示冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过亿人次，预计新一轮，也就是冰雪季有望突破亿人次”，数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记数法的表示形式为，确定的值的方法：当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向左移动的位数即为的值；当原数的绝对值时，把原数变为时，小数点向右移动位数的相反数即为的值． 根据科学记数法的表示方法进行解答即可． 【详解】解：亿， 故答案为： ． 一、单选题 1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案． 【详解】解：∵，是正数， ∴ A不符合题意． ∵，是正数， ∴ B不符合题意． ∵，是正数， ∴ C不符合题意． ∵，是负数， ∴ D符合题意． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和3 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断是否符合定义即可． 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断， 选项A： ，9和3不互为相反数，A错误； 选项B： ，，两个数相等，不互为相反数，B错误； 选项C： ，两个数相等，不互为相反数，C错误； 选项D： ，，3和只有符号不同，互为相反数，D正确． 3．第57次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026年2月5日发布．报告显示，截至2025年12月，我国网民规模达11.25亿人，互联网普及率达．数据“11.25亿”用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 亿． 4．在下列各数中：，，，，，，0，其中是负数的有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可． 【详解】解：依次判断各数： ∵ ，是负数， ，是正数， ，是负数， ，是负数， ，是负数， ，是正数， 既不是正数也不是负数， ∴负数共有个． 5．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 二、填空题 6．的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 7．2026年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约720000000千米．其中数据720000000用科学记数法表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 8．定义一种运算：．例如：．那么______． 【答案】79 【分析】根据新定义，按照先算括号内，再算括号外的顺序，套用给定运算规则计算即可． 【详解】解：根据规则， 再计算 ． 9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第1次计算输出的结果是1，第2次计算输出的结果是,…，这样计算下去，第7次计算输出的结果是_____． 【答案】1 【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案． 【详解】解：当输入时，第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是． 10．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字．我们常用的数是十进制数，如；在电子计算机中用的二进制，如二进制中等于十进制的数；八进制数字换算成十进制是_________． 【答案】 【分析】根据题意推断即可求解． 【详解】等于十进制的数． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可； （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 12．规定一种新运算：，，请计算下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据定义列式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，一般地，把个相除记作，读作“的下次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：___________． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：（幂的形式）； （2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．___________；___________； （3）算一算：． 【答案】 （1） （2）； （3） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解表示“a的下n次方”的意义是正确计算的关键． （1）根据表示“a的下n次方”的意义进行计算即可; （2）根据表示“a的下n次方”的意义，进行计算进而得出答案； （3）按照有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2） ； ； 故答案为: ；； （3） ． 14．阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． (2)的个位数字为________． 【答案】(1)的个位数字为3，的个位数为2. (2)7. 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1），，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现，，，的正整数幂的个位数字变化规律是解题的关键． 15．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示   第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： (1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） (2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】(1) (2)（i）；；（ii）见解析 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ， 答案：； （2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ， 答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $