专题02从立体图形到平面图形(知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026年北师大版六升七数学暑假预习讲义

专题02从立体图形到平面图形暑假预习讲义 1.认识截面的概念，掌握用平面截正方体的实操规律，能判断不同截取角度得到的截面形状（三角形、四边形、五边形、六边形），理解截面边数与立体面数的关系。 2.理解展开图定义，熟练识别正方体 11 种标准展开图，能快速排除 “田字格、凹字形” 等不能折成正方体的错误图形；能对应长方体、圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图，分清各面位置关系。 3.掌握三视图（主视图、左视图、俯视图）的定义，明确三种视图的观察方向：正面、左面、上面，能画出简单立体图形、组合几何体的三视图，也能根据三视图还原立体模型。 4.区分立体图形、截面、展开图、三视图的转化逻辑，建立 “立体↔平面” 双向转化的空间思维，看懂立体与平面图形互相转换的原理。 5.能动手想象、模拟切割、折叠操作，结合实物实操验证截面、展开图、三视图的形状，提升空间想象能力。 6.梳理易混淆题型：判断正方体展开图能否折叠、根据截面反推截取方式、三视图小正方体数量计数，规避典型审题、识图错误。 7.能结合生活实物（包装盒、罐头、魔方）解释立体转平面的实际应用，体会几何在生活中的用处，为后续几何计算、几何证明铺垫基础。 分层预习要求 基础：分清截面、展开图、三视图基础概念；识别圆柱、圆锥、正方体基础展开图；会辨认简单几何体的三视图。 提高：熟记正方体 11 种展开图，快速排除无效展开图；平面截正方体判断所有可能截面；独立绘制简单组合几何体三视图。 拓展：根据三视图数组合立体中小正方体个数；根据截面形状推理截取角度；复杂棱柱、组合立体的展开图与识图分析。 预习必备 知识梳理 1.截面基础概念 2.常见几何体截面特征 3.立体图形的表面展开图 4.正方体 5.由展开图计算几何体表面积与体积 6.平面图形与七巧板 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.从不同方向看几何体 2.几何体展开图的认识 3.由展开图计算几何体表面积 4.由展开图计算几何体体积 5.正方体几种展开图的识别 6.正方体相对两面上的字 7.含图案正方体的展开图 8.求展开图上两点折叠后距离 9.补一个面使图形围成正方体 10.截一个几何体 11.平面图形形状的识别 12.用七巧板拼图形 强化题型 解答题8题 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点02:常见几何体截面特征汇总 几何体 可能截出的截面 不能截出的图形 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 圆、弧形图形 圆柱 圆、长方形、椭圆 三角形 圆锥 圆、椭圆、等腰三角形 四边形、五边形 球 无论怎么截，截面永远是圆 多边形 关键结论 平面截球体，截面一定是圆形；曲面类几何体可以截出弧形，全平面围成的棱柱、棱锥只能截出多边形。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种； 二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种； 二二二型：有 1 种。 正方体展开图口诀 ① 一线不过四，田凹应弃之 ② 找相对面：相间，“Z” 端是对面 ③ 找邻面：间二，拐角邻面知 找正方体相对面技巧 同行隔一个，异行隔一列；不相邻、无公共顶点、无公共边的两个面为相对面。 知识点05:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点06:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点07:高频易错点汇总 易错点 错误示例 正确结论 展开图判断 田字格图形可折成正方体 田字、凹字、一线超 4 个均无效 相对面判断 相邻面是相对面 相间或 “Z” 端才是相对面 截面认知 正方体可截出直角三角形 正方体截面三角形只能是锐角 圆柱展开图 长方形宽 = 底面直径 长方形长 = 底面圆周长，宽 = 高 三视图画图 主、俯视图长度不一致 必须遵守 “长对正、 题型1.从不同方向看几何体 【典例】如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【答案】3 【分析】观察立方体即可得出5个面涂上蓝色的正方体的个数． 【详解】解：由图可得，5个面涂上蓝色的正方体有3个． 【跟踪专练1】如图是用同样大小的正方体搭成的模型，（     ）是从上面看到的模型的形状． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察几何体，确定从上面看到的形状，即俯视图，只需关注底面正方体的排列情况． 【详解】 解：是从上面看到的模型的形状． 【跟踪专练2】用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【答案】 【分析】根据从不同方向看到几何体的形状，判断底层小立方块的个数，再判断上层最多有几个小立方块，即可求解． 【详解】解：根据从上面看的形状可知该几何体底层有5个小立方块，根据从正面看的形状可知该几何体左侧上层至多有3个小立方块， 该几何体最多是用8个小立方块搭成的． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三棱柱从正面看、从左面看都是长方形，从上面看是三角形，则该选项不符合题意； B、圆柱从正面看、从上面看都是长方形，从左面看是圆，则该选项不符合题意； C、圆锥从正面看，从左面看都是三角形，从上面看是圆，则该选项不符合题意； D、球从三个方向看都是圆，则该选项符合题意； 题型2.几何体展开图的认识 【典例】如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“疫”的面相对面上的字是_________． 【答案】英 【分析】根据几何体复原以后的形状判断即可． 【详解】解：由图可知，该几何体中写“疫”的面相对面上的字是“英”． 【跟踪专练1】下列图形经过折叠不能够围成棱柱的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据棱柱的定义，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，B选项要围成棱柱需要4个侧面，而选项中只有3个侧面，不能围成棱柱，其余选项都能围成棱柱. 【跟踪专练2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是______．    【答案】25 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长． 则底面正方形的面积是 故答案为： 【跟踪专练3】下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键．根据几何体的展开图逐项判断即可． 【详解】解：A、左侧图形不能折叠成正方体，故本选项不符合题意； B、左侧图形中的圆形无法折叠成圆锥的底面，因此不能折成圆锥，故本选项不符合题意； C、左侧图形能折叠成圆柱，故本选项符合题意； D、因为三棱柱需要6个面，而左边的图只有5个面，因此不能折叠成三棱柱，故本选项不符合题意． 故选：C． 题型3.由展开图计算几何体表面积 【典例】如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是长方体的表面积公式，解题关键是熟练掌握长方体的表面积公式． 根据长方体的表面积公式得，代入，即可求解． 【详解】解：由题意得，是长方体的高，是长方体的宽，是长方体的长， 长方体的表面积长宽长高宽高， 且这个长方体的表面积为， ， 又，， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为______（结果保留）．    【答案】 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 【跟踪专练3】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【详解】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 题型4.由展开图计算几何体体积 【典例】如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【答案】320 【分析】本题考查了长方体的展开图，体积．解题的关键在于根据图形求出长方体的高，底面正方形的边长． 由图可知，长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为，然后求体积即可． 【详解】解：根据题意可知长方体箱子的正方形底面的边长为，长方体的高为． 则制作成底面为正方形的长方体箱子的体积， 故答案为：320． 【跟踪专练1】如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体的体积计算问题，解答时一定要清楚长方体展开图的特征，以及长方体体积计算的公式． 、的长度均为8的一半，可得长方体的长或宽；6减去的长度值再除以2可得长方体的高，6减高的2倍可得长方体的宽或长；求得长方体的长、宽、高后，进而按“长方体的体积长宽高”求出体积即可． 【详解】解：由题意可得，的长度：（）， 长方体的高：（） 长方体的宽：（） 长方体的体积：（） 答：原长方体的体积是． 故选B． 【跟踪专练2】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为______立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查棱柱的展开与折叠，将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体，根据体积计算方法可求出长方体的体积． 【详解】解：将展开图折叠，可得长、宽、高为y毫米、x毫米、65毫米的长方体， 于是，体积为， 故答案为：． 【跟踪专练3】某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图分别求出每种纸盒的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为：， ∵乙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， ∴乙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵丙所折成的无盖长方体中， 又∵， ∴，， 丙所折成的无盖长方体的容积为：， ∵， ∴从小到大排列顺序为乙甲丙， 故选：B． 题型5.正方体几种展开图的识别 【典例】将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的______．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图是解题的关键． 根据正方体的展开图逐一判断即可． 【详解】解：将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的①③． 故答案为：①③． 【跟踪专练1】在图中剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体．则剪去的小正方形可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠，牢记正方体展开图的模型是解决本题的关键．结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：由正方体的平面展开图得，要剪去的正方形可以是． 故选：A． 【跟踪专练2】如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从图中找出相邻面是解题关键．根据展开图，先确定相对面，进而确定相邻面，即可得出重合顶点． 【详解】解：如图， 2与4是相对面； 1与5是相对面； 3与6是相对面． 可以得出A与I重合． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】结合正方体的平面展开图的特征，逐项分析，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：A． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形①后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； B． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形②后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误； C． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形③后，得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，该项正确； D． 由正方体的平面展开图可得，剪去正方形④后，得到的图形经过折叠不能够围成一个正方体，该项错误． 题型6.正方体相对两面上的字 【典例】如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【答案】 们 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的特征可知，相对面的特点是中间必须间隔一个正方形， 所以“中”与“们”是对面． 【跟踪专练1】如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“丽”字一面的相对面上的字是（   ） A．爱 B．临 C．夏 D．我 【答案】C 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴有“丽”字一面的相对面上的字是夏． 【跟踪专练2】如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是___________． 【答案】想 【分析】本题主要考查了正方体的相对两个面上的字， 先将展开图折叠成正方体，再确定各相对面上的字，即可得出答案． 【详解】解：将展开图折叠为正方体上面的字是“追”，下面的字是“梦”，前面的字是“想”，后面的字是“勇”，左面的字是“敢”，右面的字是“逐”， 所以与“勇”相对的字是“想”． 故答案为：想． 【跟踪专练3】小颖同学做了四个完全一样的正方体，又用同样的方法把每个正方体的六个面分别标上数字1，2，3，4，5，6，再将它们拼成一个如图水平放置的长方体，根据所学知识可推断长方体下底面的所有数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对面与相邻面的位置关系、逻辑推理能力及有理数的加法运算，熟练掌握“正方体中一个面的四个相邻面确定后，剩余的一个面即为相对面”的判断方法是解题的关键． 优先根据数字4的相邻面，利用“正方体中一个面的相对面只有一个，其余四个为相邻面”的性质，确定4的相对面；再结合数字1的相邻面，确定1的相对面，进而推出剩余数字的相对面；对应找出长方体下底面的四个数字，求和后匹配选项得出答案． 【详解】解：∵ 正方体中，与数字4相邻的面是1、3、5、6， ∴ 数字4的相对面是2； ∴正方体中，与数字6相邻的面是4、5、1，且4的相对面是2， ∴ 数字6的相对面是3； ∵ 正方体的数字为1、2、3、4、5、6，4对2，1对5， ∴ 数字3的相对面是6； ∴数字5的对面是1； ∵ 长方体从左到右四个正方体的上底面数字依次为4、3、6、5， ∴ 四个正方体的下底面数字依次为2、6、3、1； ∵ 下底面所有数字之和为， ∴ 该结果对应选项A． 故选：A． 题型7.含图案正方体的展开图 【典例】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．将正方体的展开图重新折叠成正方体，观察图形即可得出答案． 【详解】解：把展开图折叠成正方体如图所示： 观察图形可知，距顶点A最远的点是C． 故答案为：C． 【跟踪专练1】如图是一个无盖正方体收纳盒，其侧面有一个标签，则此收纳盒平面展开图可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方体的展开与折叠， 将四个选项折叠成正方体，再与原图相比较得出答案即可． 【详解】解：将A图折叠成正方体，与标签相对的面是盒盖，所以不符合题意； 将B图折叠成正方体，与标签相邻的面是盒盖，标签的方向不对，所以不符合题意； 将C图折叠成正方体，与标签相邻的面是盒盖，且方向正确，所以符合题意； 将D图折叠成正方体，与标签相对的面是盒盖，所以不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正方体的侧面展开图判断正方体． 根据正方体的侧面展开图的特征判断即可． 【详解】解：由图可知，正方体中圆相邻的四个面中，应为三个相邻的竖线面及一个空白面，且三条竖线均垂直于圆所在的面的边，A正确，B、C错误； 由图可知，正方体中三个竖线面中的竖线应指向统一方向，D错误； 故选：A． 题型8.求展开图上两点折叠后距离 【典例】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 【跟踪专练2】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 【跟踪专练3】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 题型9.补一个面使图形围成正方体 【典例】如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【答案】4 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．利用正方体的展开图即可解决问题，共4种． 【详解】解：如图所示：共4种． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，依据正方体的展开图的结构特征进行判断，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 根据“141型”，②能与阴影部分组成正方体展开图， 故选：B． 【跟踪专练2】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【答案】4 【分析】根据正方体的表面展开图的特征，即可解答． 【详解】解：将写有“庆”字的正方形分别放在“建”、“设”、“美”、“丽”的上方均可构成完整的正方体展开图， 所以，共有4种添加方式， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了几何体的展开图，熟练掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键． 【跟踪专练3】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 题型10.截一个几何体 【典例】用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【答案】③ 【分析】圆柱、圆锥、球体含有曲面，截面可能是圆；正方体由平面围成，截面只能是多边形． 【详解】解：①圆柱，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ②圆锥，用平行于底面的平面去截，截面是圆； ③正方体，用平面去截，截面只能是多边形，不可能是圆； ④球，用任意平面去截，截面都是圆． 综上所述，截面不可能是圆的几何体是③． 【跟踪专练1】给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是长方体；三棱锥；圆锥． 即截面的形状可能是三角形的是①③④． 【跟踪专练2】用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 【跟踪专练3】如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】C 【分析】考查了截一个几何体； 截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，六棱柱有八个面，用平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形． 【详解】解：用一个平面去截六棱柱时最多与八个面相交得八边形， 所以边数最多的截面形状是八边形． 故选：C． 题型11.平面图形形状的识别 【典例】下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的定义 ，立体图形的定义，理解平面图形和立体图形的定义是解题的关键．根据平面图形的定义回答即可． 【详解】解：选项A是长方形，长方形是平面图形； 选项B是球体，球是立体图形； 选项C是长方体，长方体是立体图形； 选项D是三棱柱，三棱柱是立体图形； 故选：A． 【跟踪专练1】将一个圆分割成三个扇形，若三个扇形的面积比是，则扇形的圆心角的度数为___________． 【答案】 /108度 【分析】本题考查了认识平面图形，将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为，再由A，B，C三个扇形的面积比是，可求出扇形C的圆心角度数． 【详解】解：由题意可得，三个圆心角的和为， 又因为A，B，C三个扇形的面积比是， 所以这三个扇形的圆心角的度数比为， 所以扇形C的圆心角的度数为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查基本几何图形，分三种情况，画出图形，即可求解． 【详解】解：如图，分三种情况： 第一种情况剩下的角的个数是3个，第二种情况剩下的角的个数是4个，第三种情况剩下的角的个数是5个， 故答案为：3或4或5． 【跟踪专练3】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形，具备一定的空间想象能力是解题关键．结合图形，分别画出所有可能的正六边形，由此即可得． 【详解】解：①如图，这样的图形有6个． ②如图，这样的图形有3个． ③如图，这样的图形有1个． ④如图，这样的六边形有1个． 则一共有（个）， 故选：C． 题型12.用七巧板拼图形 【典例】如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【答案】6 【分析】本题考查了七巧板问题． 用正方形的面积减去白色三角形的面积即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 【跟踪专练1】七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了七巧板问题，分数的定义，解答此题的关键是要明确七块板的图形的特征．把整个图形的面积看作单位“1”，图中①号部分和②号部分的面积占整个图形面积的，图中①号部分和②号部分的面积相等，据此可得答案． 【详解】解：， ∴图中①号部分的面积是正方形面积的， 故选：B． 【跟踪专练2】七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【详解】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 【跟踪专练3】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角的运算 ，根据图形得到，再根据计算即可． 【详解】解：如图， ， ∴， 故选：C． 解答题 1．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】(1) (2)y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 【详解】（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 2．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 【答案】（1）①③（2）见解析，周长为 【分析】（1）根据有盖长方体纸盒的面数和构成求解即可； （2）要使外围周长最小，则尽量从棱长较小的边剪开，将棱长较大的边尽量多的保留在展开图内部参考图1的展开图样式，长方体的每个展开图中均有五条棱保留在内部，因此设计将边长为的棱保留3条，边长为的棱保留2条在展开图内部，此时外围周长最小，据此画图求解即可． 【详解】解：（1）能通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①③． （2）如图所示， 最小周长为cm． 3．【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 【答案】（1）该长方形卡纸宽是15cm；（2）C；（3） 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠， （1）根据折叠和正方形的性质得，即可得出，则此题可解； （2）根据四个字的位置特点可得对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，进而得出答案； （3）根据长方体的棱最短的剪的越少，展开图的外围周长越大解答即可． 【详解】解：（1）如图所示，根据折叠的性质得，且， ∴． ∵四边形是正方形，且， ∴． ∵， ∴， 即； （2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，且对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，结合选项可知，只有C符合题意； 故答案为：C； （3）如图所示，周长为， 所以长方体表面展开图的最大外围周长为92． 故答案为：92． 4．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．利用正方体及其表面展开图的特点进行解答即可． 【详解】如图展开： 5．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的11种展开图，是解题的关键： （1）利用1，4，1型，添加一个小正方形即可； （2）根据正方体的相对面必定相隔一个小正方形，结合题意，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：； 填写如下： 6．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    7．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 8．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02从立体图形到平面图形暑假预习讲义 1.认识截面的概念，掌握用平面截正方体的实操规律，能判断不同截取角度得到的截面形状（三角形、四边形、五边形、六边形），理解截面边数与立体面数的关系。 2.理解展开图定义，熟练识别正方体 11 种标准展开图，能快速排除 “田字格、凹字形” 等不能折成正方体的错误图形；能对应长方体、圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图，分清各面位置关系。 3.掌握三视图（主视图、左视图、俯视图）的定义，明确三种视图的观察方向：正面、左面、上面，能画出简单立体图形、组合几何体的三视图，也能根据三视图还原立体模型。 4.区分立体图形、截面、展开图、三视图的转化逻辑，建立 “立体↔平面” 双向转化的空间思维，看懂立体与平面图形互相转换的原理。 5.能动手想象、模拟切割、折叠操作，结合实物实操验证截面、展开图、三视图的形状，提升空间想象能力。 6.梳理易混淆题型：判断正方体展开图能否折叠、根据截面反推截取方式、三视图小正方体数量计数，规避典型审题、识图错误。 7.能结合生活实物（包装盒、罐头、魔方）解释立体转平面的实际应用，体会几何在生活中的用处，为后续几何计算、几何证明铺垫基础。 分层预习要求 基础：分清截面、展开图、三视图基础概念；识别圆柱、圆锥、正方体基础展开图；会辨认简单几何体的三视图。 提高：熟记正方体 11 种展开图，快速排除无效展开图；平面截正方体判断所有可能截面；独立绘制简单组合几何体三视图。 拓展：根据三视图数组合立体中小正方体个数；根据截面形状推理截取角度；复杂棱柱、组合立体的展开图与识图分析。 预习必备 知识梳理 1.截面基础概念 2.常见几何体截面特征 3.立体图形的表面展开图 4.正方体 5.由展开图计算几何体表面积与体积 6.平面图形与七巧板 7.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.从不同方向看几何体 2.几何体展开图的认识 3.由展开图计算几何体表面积 4.由展开图计算几何体体积 5.正方体几种展开图的识别 6.正方体相对两面上的字 7.含图案正方体的展开图 8.求展开图上两点折叠后距离 9.补一个面使图形围成正方体 10.截一个几何体 11.平面图形形状的识别 12.用七巧板拼图形 强化题型 解答题8题 知识点01:截面基础概念 用一个平面去截一个几何体，截出的平面图形叫做截面；截面的形状由几何体本身形状和平面截取的角度、位置共同决定。 核心重点：平面截正方体 正方体共 6 个平面，平面每接触 1 个面，截面就多出 1 条边，因此截面最多为六边形。 截取平面接触正方体面的个数 对应截面形状 截取说明 3 个面 锐角三角形 平面经过正方体三个顶点截取，无法截出直角、钝角三角形 4 个面 正方形、长方形、平行四边形、梯形 平行于面截取得正方形 / 长方形；斜着截上下两条对边得梯形 5 个面 五边形 平面同时穿过正方体 5 个面 6 个面 六边形 平面均匀穿过正方体全部 6 个面 知识点02:常见几何体截面特征汇总 几何体 可能截出的截面 不能截出的图形 正方体 三角形、四边形、五边形、六边形 圆、弧形图形 圆柱 圆、长方形、椭圆 三角形 圆锥 圆、椭圆、等腰三角形 四边形、五边形 球 无论怎么截，截面永远是圆 多边形 关键结论 平面截球体，截面一定是圆形；曲面类几何体可以截出弧形，全平面围成的棱柱、棱锥只能截出多边形。 知识点03:立体图形的表面展开图 1. 展开图定义 将立体图形的表面沿棱剪开，平铺在同一平面上得到的平面图形，称为立体图形的展开图；同一个立体图形沿不同棱剪开，展开图样式不唯一。 2. 常见基础几何体标准展开图 长方体 / 正方体：6 个长方形（正方体为 6 个完全相同正方形）； 圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；长方形的长 = 底面圆周长，宽 = 圆柱的高； 圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；扇形弧长 = 底面圆周长； n 棱柱：2 个全等 n 边形 + n 个长方形。 知识点04:正方体 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可得到11 种不同的展开图。 把它归为四类： 一四一型：有 6 种； 二三一型（一三二型）：有 3 种； 三三型：有 1 种； 二二二型：有 1 种。 正方体展开图口诀 ① 一线不过四，田凹应弃之 ② 找相对面：相间，“Z” 端是对面 ③ 找邻面：间二，拐角邻面知 找正方体相对面技巧 同行隔一个，异行隔一列；不相邻、无公共顶点、无公共边的两个面为相对面。 知识点05:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点06:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点07:高频易错点汇总 易错点 错误示例 正确结论 展开图判断 田字格图形可折成正方体 田字、凹字、一线超 4 个均无效 相对面判断 相邻面是相对面 相间或 “Z” 端才是相对面 截面认知 正方体可截出直角三角形 正方体截面三角形只能是锐角 圆柱展开图 长方形宽 = 底面直径 长方形长 = 底面圆周长，宽 = 高 三视图画图 主、俯视图长度不一致 必须遵守 “长对正、 题型1.从不同方向看几何体 【典例】如图是由4个棱长为的正方体搭成的，将这个图形表面涂上蓝色．其中3个面涂上蓝色的正方体有1个，5个面涂上蓝色的正方体有_______个． 【跟踪专练1】如图是用同样大小的正方体搭成的模型，（     ）是从上面看到的模型的形状． A． B． C． D． 【跟踪专练2】用若干个大小相同的小立方块搭成一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭成这个几何体最多用_______个小立方块． 【跟踪专练3】下列几何体中，从正面、左面、上面看完全相同的几何体是（   ） A． B． C． D． 题型2.几何体展开图的认识 【典例】如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“疫”的面相对面上的字是_________． 【跟踪专练1】下列图形经过折叠不能够围成棱柱的是（   ） A．B． C． D． 【跟踪专练2】如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则底面正方形的面积是______．    【跟踪专练3】下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 题型3.由展开图计算几何体表面积 【典例】如图所示是一个长方体的展开图，其中，，要使得这个长方体的表面积为，则的长度应为________． 【跟踪专练1】已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【跟踪专练2】如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为______（结果保留）．    【跟踪专练3】如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 题型4.由展开图计算几何体体积 【典例】如图，长为28，宽为16的长方形硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子的体积是______． 【跟踪专练1】如图是一个长方体的展开图，其中四边形是正方形，根据图中标注的数据可得原长方体的体积是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米），则此长方体包装盒的体积为______立方毫米．（用含x、y的式子表示） 【跟踪专练3】某工厂生产了三种无盖的长方体纸盒，分别用不同方式将长为，宽为的长方形纸片截去两部分（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲纸盒：如图1，盒子底面的四边形是正方形； 乙纸盒：如图2，盒子底面的四边形是长方形，； 丙纸盒：如图3，盒子底面的四边形是长方形，； 三种无盖的长方体纸盒的容积按从小到大的顺序排列为（   ） A．乙丙甲 B．乙甲丙 C．丙甲乙 D．甲丙乙 题型5.正方体几种展开图的识别 【典例】将图1中的正方体剪开，得到的平面展开图可能是图2中的______．（填序号） 【跟踪专练1】在图中剪去个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体．则剪去的小正方形可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，把正方体纸盒沿棱剪开后平铺，原来与点重合的顶点是点_______． 【跟踪专练3】如图，剪去图中标注的一个小正方形，使得到的图形经过折叠能够围成一个正方体，则剪去的是小正方形（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型6.正方体相对两面上的字 【典例】如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字，还原成正方体后“中”的对面的字是________． 【跟踪专练1】如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“丽”字一面的相对面上的字是（   ） A．爱 B．临 C．夏 D．我 【跟踪专练2】如图，已知一个正方体展开图的六个面依次书写“勇”“敢”“追”“逐”“梦”“想”，则折叠成正方体后，与“勇”相对的字是___________． 【跟踪专练3】小颖同学做了四个完全一样的正方体，又用同样的方法把每个正方体的六个面分别标上数字1，2，3，4，5，6，再将它们拼成一个如图水平放置的长方体，根据所学知识可推断长方体下底面的所有数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 题型7.含图案正方体的展开图 【典例】如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 【跟踪专练1】如图是一个无盖正方体收纳盒，其侧面有一个标签，则此收纳盒平面展开图可以是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【跟踪专练3】一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 题型8.求展开图上两点折叠后距离 【典例】如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为______． 【跟踪专练1】如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【跟踪专练2】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【跟踪专练3】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型9.补一个面使图形围成正方体 【典例】如图，纸板上有19个无阴影的小正方形，从中选涂1个，使它与图中5个有阴影的小正方形一起能折叠成一个正方体纸盒，一共有_____________种选法． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，下列小正方形中能与阴影部分组成正方体展开图的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】黑龙江省第五届旅游发展大会将于2023年夏季在大庆市举办，为“迎旅发”，创建美丽城市，九年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“庆”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有 _____种添加方式． 【跟踪专练3】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型10.截一个几何体 【典例】用一个平面去截一个几何体，截面不可能是圆的几何体的是_______． 【跟踪专练1】给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【跟踪专练2】用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【跟踪专练3】如图，泗阳电视塔塔身高158米，素有“小东方明珠”的美誉．塔球上这部分可以近似看成一个六棱柱，如果用一个平面去截六棱柱，边数最多的截面形状是（   ）边形 A．六 B．七 C．八 D．九 题型11.平面图形形状的识别 【典例】下列图形中，是平面图形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将一个圆分割成三个扇形，若三个扇形的面积比是，则扇形的圆心角的度数为___________． 【跟踪专练2】将一个正方形剪下一个角后，剩下部分的角的个数是_______． 【跟踪专练3】如图所示，图中正六边形有（    ）个． A．15 B．13 C．11 D．10 题型12.用七巧板拼图形 【典例】如图1所示的七巧板，是我国古代劳动智慧的结晶，被西方人称为“东方魔板”．小明同学用同一副七巧板拼成的“小天鹅”图案如图2所示，若图1中的大正方形边长为4，则图2中阴影部分的面积为______． 【跟踪专练1】七巧板是我们民间流传广泛的一种古典智力玩具，由正方形分割而成（如图），图中①号部分的面积是正方形面积的（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练2】七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【跟踪专练3】将一副七巧板拼成如图“小鸟”的图案，则（    ） A． B． C． D． 解答题 1．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． (1)x，z 各表示多少？ (2)y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 2．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 3．【动手操作】 在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示． （1）按照图2的方式裁剪，若原长方形卡纸长为，求出原卡纸宽的长度？ （2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ． 【拓展延伸】 (3) 若有盖长方体的长、宽、高分别为将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为 ． 4．下面是一个正方体，有三个面上绘有图案．请在它右边的展开图上画出缺少的图案． 5．小丁帮爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面． (1)请你在图中添加一个正方形，使该展开图折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．（只需画出一种方法） (2)在（1）画出的设计图中，把3，5，，，，这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒每组相对面上的两个数相加的和相等．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 6．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    7．如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 8．问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $