广东佛山市第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 涵盖立体几何（青铜器表面积、正方体截面）、三角函数（解三角形两解）、向量（投影向量）等核心知识，通过真实情境（青铜器）与抽象问题（三棱锥外接球）结合，考查空间观念、运算能力及逻辑推理，体现数学眼光观察现实、数学思维分析问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量坐标（1题）、线面关系（3题）、解三角形（6题）|基础题注重概念辨析，如向量方向相反求坐标，体现抽象能力| |多选题|3/18|棱锥棱台定义（9题）、三角形性质（10题）|通过错误选项辨析空间观念，如“侧面等腰三角形的三棱锥是否正三棱锥”| |填空题|3/15|复数运算（12题）、投影向量（13题）|考查数学语言表达，如向量在方向上的投影坐标| |解答题|5/77|面面垂直证明（15题）、中线与面积最值（16题）|分层设计，如15题逻辑推理证明，16题用向量法求面积最大值，体现模型观念|

佛山市第一中学2026年高一下学期期中考试 数 学 试 题 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为（      ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知直线m，n与平面，、，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，则该青铜器的表面积为（    ）（假设上、下底面圆是封闭的） A． B． C． D． 5．已知向量满足，则（    ） A．2 B． C．1 D． 6．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（   ） A． B． C． D． 7．在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 8．三棱锥的四个顶点都在半径为5的球面上，并且，，则三棱锥的体积的最大值为（   ） A．56 B．48 C．32 D．58 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法中，错误的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台； C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥． 10．设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（    ）    A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面MBN C．过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面面积的取值范围为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若复数满足：，则______． 13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为________． 14．已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图所示，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，，是的中点． (1)求证：平面平面． (2)求二面角的余弦值． 16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)若中边上中线的长度为3，求面积的最大值. 17．如图，在三棱锥中，为的中点，是边长为1的等边三角形，. (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求三棱锥的体积. 18．已知函数的部分图象如图所示． (1)求，，． (2)已知函数． ①求的分段解析式； ②若在上的图象与直线恰有3个公共点，求的取值范围 19．已知函数. (1)若，试求的值； (2)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围； (3)定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，.设，记且，试求中所有元素之和. 试卷第1页，共3页 佛山市第一中学2026年高一下学期期中考试 数 学 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B A A C B A ABC BCD 题号 11 答案 ABD 12． 13． 14． 15．（1）四边形是直角梯形,, ,，, 平面,平面, ,又,,平面, 平面,又平面,平面平面. （2）由(1)可知平面, ,平面,,, 为二面角的平面角. ,,. ,二面角的余弦值为. 16．（1）由题意知， 由正弦定理得，， 所以， 又因，则， 所以， 因A为的内角，所以， 由得，则. （2）因是中边上中线， 则， 即，所以， 则， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立. 故，即面积的最大值为.    17．（1）是边长为1的等边三角形， 为的中点，， ，， ， 又平面平面； （2）由（1）知平面，且平面， 平面平面， 取的中点，连接， ，平面平面， 面， 即为与平面所成的角，， 为的中位线，， 在中，， 故三棱锥的体积为 . 18.（1）由题图可知，由，得， 得．由题图可知，的图象过点， 则，得， 因为，所以． （2）①当时，， 此时，得． 当时，， 此时，得． 故． ②由，得． 由，得， 即或， 因为在上的图象与直线恰有3个公共点， 所以， 得，即的取值范围为. 19． （1）由题意得，， ∴， ∴. （2）∵，∴，故在上为减函数，在上为增函数， 当时，在上为减函数，不合题意. 当时，，其中，. 由得，. ∵函数在区间上是增函数， ∴，即，故， ∴，故. （3）当时，. ∵的图象关于直线对称， ∴当时，，. 记中所有元素之和为. 由得，，根据对称性得， 根据，作出在上的图象， 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有三个交点，其中一个交点横坐标为，其余两点关于直线对称，故. 当时，直线与函数的图象有四个交点，此时有两对关于直线对称的点，故. 当时，直线与函数的图象有两个交点，这两个交点关于直线对称，故. 综上得，当或时，；当时，；当时，. 学科网（北京）股份有限公司 $