5.4一次函数的图象与性质 同步测试 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数图象与性质，通过基础巩固、综合应用、探究拓展三层设计，实现从概念理解到复杂问题解决的递进，适配新授课知识内化与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一次函数概念、图象性质、基本计算|选择题1-5、填空题11-14，直接考查单一知识点，如交点坐标、增减性，培养抽象能力| |综合应用|函数与几何结合、动态问题、性质综合|选择题6-10、填空题15-16，如光线反射、折叠函数，体现数形结合，发展推理意识| |探究拓展|新定义问题、多情境综合、规律探究|解答题21-24，如“a宝点”定义、对称函数应用，培养创新意识与模型观念|

5.4一次函数的图象与性质 同步测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．直线y＝x+n与直线y＝mx+3n（m是常数，m≠0且m≠1）交于点A，当n的值发生变化时，点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，则m的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 2．如果函数y=kx-6和y=-2x+a的图象的交点在第三象限，那么k，a的取值范围是（　　） A．k>0，a>-6 B．k>0，a<-6 C．k>0，a>6 D．k<0，a>6 3．一次函数y= kx+b的图象过点P （2，8），且分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点O为坐标原点．当△AOB面积最小时，则k+b的值为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 和直线 相交于点 ，根据图象可知，不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 5．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，例如max{﹣2，0，2}＝2，则函数y＝max{﹣3x﹣3，2﹣x，x}的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．如图，直线y＝﹣x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点，则光线第一次的反射点Q的坐标是（　　） A．（2，2） B．（2.5，1.5） C．（3，1） D．（1.5，2.5） 7．关于x的一次函数，当时，y的最大值是（　　） A． B． C． D． 8．一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，O为坐标原点，则在△OAB内部(包括边界)，纵坐标、横坐标都是整数的点共有（　　） A．90个 B．92个 C．104个 D．106个 9．一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点，下列结论正确的序号是（　　） ①关于的方程的解为； ②一次函数（）图像上任意不同两点和满足：； ③若（），则； ④若，且，则当时，． A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，An在x轴上，点B1，B2，…，B在直线上，若点A1的坐标为（1，0），且，，…，都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1，S2，…，Sn，则Sn可表示为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每空3分，共18分） 11．已知直线y＝﹣x+2与直线y＝2x+4相交于点A，与x轴分别交于B，C两点，若点D（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界），则m的取值范围是 　 　. 12．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．点是直线上的一个动点，将点向下平移4个单位长度得到点，若线段与轴有一个公共点，设点的横坐标为，则的取值范围是　 　． 13．已知点A的坐标是 ，点B是正比例函数 的图象上一点，若只存在唯一的点B，使 为等腰三角形，则k的取值范围是　 　. 14．已知直线与（其中k为正整数），记与x轴围成的三角形面积为，则　 　． 15．将函数（为常数）的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方后，所得的折线是函数（为常数）的图象．在以下四个结论中正确的是　 　（填序号）． ①当时，函数的图象与轴的交点是； ②当时，函数以的图象与轴的交点是； ③不论为任意常数，函数的最小值都是0； ④若图象在直线下方的点的横坐标满足，则的取值范围为． 16．定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知三点，连接，以为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．设函数y1＝ax+b，y2＝bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P. （1）求点P的横坐标. （2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大. ①当x＝2时，y2﹣y1＝2，求a的取值范围. ②若点P的坐标是（1，1），且a＞b，求证：当x＝2时，y1﹣y2＜ 18．定义：叫做关于直线x=m的“分边折叠函数”． （1）已知“分边折叠函数” ①直接写出该函数与y轴的交点坐标； ②若直线y=4x+t与该函数只有一个交点，求t的取值范围； （2）已知“分边折叠函数”的图象被直线x=m与y轴所夹的线段长为，则k的值为　 　． 19．定义：函数 叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B. （1）关于1的对称函数 与直线 交于点C，如图. ① ， ， . ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当 时，求点P的坐标； （2）当直线 与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围. 20．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索，画函数 的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示： x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… y …… 6 4 2 0 2 4 6 …… 经历同样的过程画函数 和 的图象如下图所示，观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形：三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化. （1）请直接写出 与 的交点坐标和函数 的对称轴； （2）在所给的平面直角坐标系内画出函数 的图象(不列表)，并写出函数 的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出不等式 时x的取值范围. 21．在平面直角坐标系中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得，且，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点． （1）如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点　 　．（填“A”“B”“C”或“D”） （2）如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标． （3）如图②，若一次函数的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标 （4）若一次函数图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式． 22．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，直线l1： 交x轴于点B，交y轴于点A，过点C（1，0）作x轴的垂线l2，将直线l2绕点C按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）. （1）若直线l2经过点A，①求线段AC的长；②直接写出旋转角α的度数； （2）若直线l2在旋转过程中与y轴交于D点，当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角α的度数. （3）若直线l2在旋转过程中与直线l1 交于点E，连OE，以OE为边作等边△OEF（点O、E、F按逆时针方向排列），连BF.请你探究线段BE，OB与BF之间的数量关系？并说明理由。 23．如图，已知直线y＝﹣x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点C（1，0）作CD⊥x轴交直线AB于点D.点P是x轴上的一个动点，点E是BD的中点，在△PEF中（三顶点顺时针排列），∠PEF＝90°，PE＝EF. （1）则A、B、D三点的坐标分别为：A　 　，B　 　，D　 　. （2）如图，当点P在线段CB上时，若CP＝2BP，求点F的坐标. （3）当点P在射线CB上运动，连接AF.若S△AEF＝5S△PBE，求点P的坐标. 24． （1）【应用拓展】 如图3，点A坐标为，点B坐标为，点B与点关于直线对称，连接与直线交于点C，则点C的坐标为　 　． （2）【操作思考】 如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系．先画出正比例函数的图象，再画出关于正比例函数的图象对称的． （3）【猜想验证】 猜想：点关于正比例函数的图象对称的点Q的坐标为； 验证点在第一象限时的情况（请将下面的证明过程补充完整）． 证明：如图2，点、Q关于正比例函数的图象对称，轴，垂足为H． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】联立方程组， 解得：， ∴点A的坐标为（，）， ∴点A所在的直线解析式为， ∵点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值， ∴直线与直线 y＝x-3 平行， ∴， 解得：m=， 故答案为：C. 【分析】先联立方程组求出点A的坐标，求出点A所在直线解析式，再结合点A到直线y＝x-3的距离总是一个定值，可得，再求出m的值即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：kx-6=-2x+a， (k+2)x=a+6， ∴x=， y=， 当k>0， k+2>0， ∵交点在第三象限， ∴x<0， ∴a+6<0， ∴a<-6， 这时ka-12<0， ∴当k>0， a<-6时符合. ∵当k<0， k+2的正负无法确定， ∴交点不一定在第三象限， 故答案为：B. 【分析】先把两函数联立把x、y用含k，a的代数式表示，结合交点在第三象限分两种情况讨论，可得当当k>0， k+2>0， 可以确定交点在第三象限，而当k<0， 由于k+2的正负无法确定，可知交点不一定在第三象限. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵一次函数分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点， ∴b＞0，k＜0， ∵一次函数y= kx+b的图象过点P （2，8）， ∴b=8-2k， 令y=0，则x=-=-=2-， ∴A（2-，0）， 令x=0，则y=b=8-2k， ∴B（0，8-2k）， ∴S △AOB=OA·OB=×（2-） ·（8-2k）=16+2（-k-）≥16+4=32， 当-k=-时，S △AOB=32， ∵k＜0， ∴k=-4， ∴b=8-2×（-4）=16， ∴k+b=-4+16=12. 故答案为：B. 【分析】由一次函数分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点得b＞0，k＜0，由一次函数y= kx+b的图象过点P （2，8），代入解析式求得b和k的关系式，从而得到点A和点B的坐标，利用三角形面积公式得S △AOB=OA·OB=16+2（-k-），再利用完全平方公式和不等式的性质得（-k-）2≥4（-k）（-），当-k=时等号成立，此时S △AOB最小，即-k=-，求得符合题意的k，从而得到b的值，即可求得k+b的值. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知：直线 与直线 相交于P 结合函数图象可知当 时， 直线 的图像位于直线 图像的上方 即关于 的不等式 的解集为： 故答案为：A． 【分析】本题要注意利用数形结合的思想比较一次函数的大小 5．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，分别画出的函数图象， 根据定义可知，y＝max{﹣3x﹣3，2﹣x，x}，取三个一次函数中，函数值较大的函数值，故大致图象与C符合， 故答案为：C 【分析】分别画出的函数图象，根据函数图象即可判断. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点 ∴A（4，0），B（0，4） ∵从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点 如图，设光线射在AB、OB上的点Q、M两处，作点P关于OB的对称点P1，关于AB的对称点P2 ∴∠PQA=∠BQM，∠PMO=∠BMQ ∵P与P1关于OB对称 ∴P1（-2，0） ∵P与P2关于AB对称 ∴∠P2QA=∠PQA=∠BQM，∠P1MO=∠PMO=∠BMQ ∴P1，N，M，P2共线 ∵∠P2AB=∠PAB=45° 即P2A⊥OA ∴P2（4，2） 设直线P1P2的解析式为：y=kx+b，代入P1（-2，0），P2（4，2） 则有： ，解得， ∴直线P1P2的解析式为： ∵点Q是直线P1P2与直线AB的交点 ∴，解得 ∴点Q的坐标为（2.5，1.5） 故答案为：B. 【分析】根据一次函数先求出A、B两点的坐标，由“ 从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后又经直线OB反射回到P点 ”可以设光线射在AB、OB上的点Q、M两处，做P点的两个对称点，由反射角等于入射角得∠PQA=∠BQM，∠PMO=∠BMQ，再由P2A⊥OA可以求出P2的坐标，从而得到直线P1P2的解析式，最后将直线P1P2与直线AB联立，得到交点Q的坐标. 7．【答案】A 【解析】【解答】解： ∵0＜k＜1， ∴该一次函数y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，取x=3时，y有最大值， 故答案为：A. 【分析】将一次函数化为y=kx+b的形式，先确定k的符号，再确定其增减性，然后根据自变量的范围求最值. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝﹣15， ∴B（0，﹣15）， 当y＝0时，0x﹣15， ∴x＝12， ∴A（12，0）， x＝0时，y＝﹣15，共有16个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝1时，y1﹣15＝﹣13，共有14个纵坐标、横坐标都是整数的点， 同理x＝2时，y＝﹣12，共有13个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝3时，y＝﹣11，共有12个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝4时，y＝﹣10，共有11个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝5时，y＝﹣8，有9个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝6时，y＝﹣7，有8个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝7时，y＝﹣6，有7个纵坐标、横坐标都是整数的点 x＝8时，y＝﹣5，共有6个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝9时，y＝﹣3，共有4个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝10时，y＝﹣2，共有3个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝11时，y＝﹣1，共有2个纵坐标、横坐标都是整数的点， x＝12时，y＝0，共有1个即A点，纵坐标、横坐标都是整数的点．在△OAB内部（包括边界），纵坐标、横坐标都是整数的点有16+14+13+12+11+9+8+7+6+4+3+2+1＝106个． 故答案为：D． 【分析】 由求出A、B的坐标，然后分别求出横坐标时1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的纵坐标，即可得出横坐标是1、2、3、4···时点的个数，再加上两坐标轴上的点，即可得解. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：①∵一次函数（，k、b是常数）与（，m是常数）的图像交于点， ∴关于的方程的解为，①正确； ②将点D代入解得m=-1， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∴，， ∴恒成立，②正确； ③∵（）， ∴， ∴， ∴x=0或k=-1，③错误； ④将点D代入得k+b=2， ∴k=2-b， ∵，且， ∴k＞-1且k≠0， 画出图像如图所示： ∴当时，，④正确； 故答案为：B 【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可判断①；将点D代入即可求出m，进而根据一次函数的性质结合题意即可判断②；先根据题意即可得到，进而解方程即可判断③；将点D代入结合题意即可得到k=2-b，进而根据题意画出图形，观察图像即可求解。 10．【答案】D 【解析】【解答】解：∵、…都是等边三角形， ∴， ∵直线与轴的成角，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理，…，， ∴，，…，， 易得，…，， ∴，，…，， ∴，，…，； 故答案为：D. 【分析】由等边三角形的性质可得，由于直线与轴的成角，，可得出，=1，同理，…，，从而得出，，…，，易得，…，，可求出，，…，，根据三角形面积公式求解即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：∵点D（m，﹣2m+1）落在△ABC内部（不含边界）， ∴D点在两条直线的下方同时在x轴上方， ∴列不等式组 ， 解得： ， 故答案为： . 【分析】由题意可得D点在两条直线的下方同时在x轴上方，则-2m+1<-m+2，-2m+1<2m+4，-2m+1>0，联立求解即可. 12．【答案】 【解析】【解答】A(0，2)的纵坐标即b值，解析式为y=x+2，可知与x轴交点B为（-2，0）； M的坐标为（m，m+2），则N的坐标为（m，m-2）；由题意得M是与x轴公共点时m有最小值是m+2=0，N是与x轴公共点时m有最大值是m-2=0，解得 故填： 【分析】设定M和N的坐标后，根据题意分析动点的移动过程，可发现M、N点成为与x轴公共点时，m有最值，因此可求得m取值范围。 13．【答案】或 【解析】【解答】解：①如图，当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F， ∴∠OFB=∠OEA=90°=∠AOB， ∵∠AOE＋∠BOF＝90°，∠AOE＋∠OAE＝90°， ∴∠BOF＝∠OAE， 在△BOF和△OAE中 ∴△BOF≌△OAE（AAS）， ∴BF＝OE＝1，OF＝AE＝ ， ∵B的坐标是（1， ） ∴＝k， 检验，当∠AOB>90°时，即k≥ 满足题意； ②当点B与点A关于x轴对称时满足题意，点B坐标为（ ，1）， 设AB交x轴与点E，在Rt△AOE中， ∴AE＝ OA， ∴∠EOA＝30°， ∴∠BOA＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴点B（ ，1） 把（ ，1）代入y＝kx得 k=1， 解答k＝ ． 故答案为：k≥ 或k＝ . 【分析】分情况讨论：当OA⊥OB且OA＝OB时，作AE⊥y轴于点E，作BF⊥y轴于点F，利用垂直的定义和余角的性质可证得∠BOF＝∠OAE，∠OFB=∠OEA，利用AAS证明△BOF≌△OAE，利用全等三角形的性质可求出OF，BF的长，可得到点B的坐标，利用待定系数法可求出k的值，可得到k的取值范围；当点B与点A关于x轴对称时满足题意，利用勾股定理求出OA的长，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，可推出∠EOA=30°，由此可得到∠BOA=60°，利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，可证得△AOB为等边三角形，可得到点B的坐标，利用待定系数法求出k的值，综上所述可得到k的取值范围. 14．【答案】 【解析】【解答】解：直线I1：y=kx+k+1=k（x+1）+1，则直线I1经过定点（-1，1），与x轴的交点为 直线I2：y=（k+1）x+k+2=（k+1）（x+1）+1，则直线I2经过定点（-1，1）与x轴的交点为 所以无论k取何值时，直线I1与I2的交点均为定点（-1，1） 所以 所以 故答案为 【分析】化简直线解析式得到无论k取何值直线都经过定点（-1，1），求出直线与x轴交点坐标，利用三角形面积公式求出Sk即可求出答案。 15．【答案】①③④ 【解析】【解答】A：的图象与x轴的交点，纵坐标为0，即，解得x=2，故A正确 B：的图象与y轴的交点，横坐标为0，代入，坐标应为（0，4），故B不正确 C： 不论b为任意常数，函数的最小值都是0 ，描述正确 D： 题意 得 即 ，代入x最值，得到b的取值范围 为 ，描述正确 故填： ①③④ 【分析】根据一次函数图象性质可判定。 16．【答案】 【解析】【解答】解：在直线y=x+n中， 令y=0，则x=-n；令x=0，则y=n，即直线y=x+n经过点（-n，0）和（0，n）， ∴点（-n，0）和（0，n）关于直线x=2对称的点的坐标分别为：（4+n，0）和（4，n）， 设直线y=x+n关于直线x=2对称的直线为y=kx+b，则： ，解方程组，可得， ∴直线y=x+n关于直线x=2对称的直线为：y=-x+n+4， 把点A（-2，0）代入直线y=-x+n+4中，得n=-6， 把点C（4，4）代入直线y=-x+n+4中，得n=4， ∴-6＜n＜4. 故第1空答案为：-6＜n＜4. 【分析】首先求出直线y=x+n与x轴和y轴的交点坐标分别为（-n，0）和（0，n），然后再求出这两点关于直线x=2的对称点的坐标分别为：（4+n，0）和（4，n），从而利用待定系数法求得直线y=x+n关于直线x=2对称的直线解析式（系数含有n），然后分别代入临界点的坐标，可求得两个n的值，也就得出了n的取值范围。 17．【答案】（1）证明：令ax+b=bx+a，解得x=1， ∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1； （2）解：①∵函数y2的值随x的增大而增大， ∴b＞0， 由（1）知P（1，a+b）， ∵点P在第一象限， ∴a+b＞0， 当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a， ∵y2-y1=2， ∴（2b+a）-（2a+b）=2， ∴b-a=2，即b=a+2， ∵b＞0， ∴a+2＞0， ∴a＞-2； 此时满足a+b＞0， ∴a的取值范围是a＞-2； ②证明：∵点P的坐标是（1，1）， ∴a+b=1， ∴b=1-a， ∵a＞b，b＞0， ∴a＞1-a且1-a＞0， ∴ ＜a＜1， 当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1， ， ∵ ＜a＜1， ∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0， ∴ ， ∴ ， ∴y1-y2＜ . 【解析】【分析】（1） 令ax+b=bx+a，解得x=1， 即得点P的横坐标； （2）① 由函数y2的值随x的增大而增大可得b＞0，由（1）知P（1，a+b）及点P在第一象限，可得 a+b＞0，当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，根据y2-y1=2， 可求出b=a+2＞0，求出a的范围即可； ②由点P的坐标是（1，1），可得b=1-a ， 根据a＞b，b＞0求出 ＜a＜1 ， 当x=2时，y1-y2=2a-1，由于 ， 结合 ＜a＜1 可求出 ，据此即得结论. 18．【答案】（1）解：①将x=0代入y=-3x-6得y=-6， ∴ 该函数与y轴的交点坐标 （0，-6）； ②将x=4代入y=3x-6得y=6 令y=4x+t经过点（4，6） ∴6=16+t ∴t=-10 同理，将x=4代入y=-3x-6得y=-18 令y=4x+t经过点（4，-18） ∴-18=16+t ∴t=-34 综上分析所得，当t≥-10或t<-34时y=4x+t与该函数只有一个交点； （2）2或−2 【解析】【解答】解：（2）解： 当x＝m时，y＝−km＋k， ∴函数与直线x=m的交点为（m，−km＋k）， 又∵直线y＝−kx＋k与y轴的交点为（0，k）， ∴ 解得k＝2或k＝−2， 故答案为：2或−2． 【分析】（1）①将x＝0代入y＝−3x−6中，即可求解； ②将x=4分别代入y=3x-6与y=3-x-6，可得两界点的坐标为（4，6），（4，−18），进而分别将这两界点坐标代入y=4x+t算出t的值结合函数的性质可知t≥−10或t＜−34时，直线y＝4x＋t与该函数只有一个交点； （2）先求出函数与直线x=m的交点为（m，−km＋k），直线y＝−kx＋k与y轴的交点为（0，k），由两点间的距离公式并结合已知可得方程，求解即可. 19．【答案】（1）解：① ; ; ②当点P在x轴上方时， ∵ ，则点P、C所在的直线与x轴平行， 而点 ，故点P的纵坐标为2， 当 时， ，故点 ； 当点P在x轴下方时， 同理可得， ，解得 或 故点P的坐标为 或 或 ； （2）解：①如图所示， 当直线 与对称函数图象相交在C1点时， 此时直线 与关于m的对称函数仅有一个交点， 联立 ，解得： ，即 ； ②如图所示， 当直线 与对称函数图象相交在C2点时， 此时直线 与关于 的对称函数有两个交点， 联立 ，解得： ，即 ； ∴当 在 之间时，均能满足直线 与关于m的对称函数有两个交点， ∴ ； 【解析】【解答】解：（1）①令 ，代入对称函数得： 或 ， 解得： 或 ， ∴ ； ； 令 代入得 ， ∴ ， 故答案为： ， ， ； 【分析】（1）①令 ，代入对称函数求解即可得到A，B的横坐标，然后代入 求解得到C的纵坐标，从而得到这几个点的完整坐标；②分为点P在x轴上方和在x轴下方时两种情况进行讨论即可； （2）当直线 与关于m的对称函数有两个交点时，临界点为点C，根据C的不同位置情况进行讨论，即可得出结论. 20．【答案】（1）解：由图像可知： 与 的交点坐标为（﹣1，2）， 函数 的对称轴为直线x＝﹣2； （2）函数 的图象如图所示： 性质：函数 的图象的对称轴为直线x＝3（答案不唯一）； （3）函数 的图像如图所示： 令 ， 当 时， ， 解得 ， 则 ， ∴ 与 的一个交点坐标为（5，5）， 当 时， ， 解得 ， 则 ， ∴ 与 的另一个交点坐标为（ ， ）， ∴由图像可知：不等式 的解集为 ， 故答案为： . 【解析】【分析】（1）根据所给图像即可得到答案；（2）画出函数 的图象，结合所画图像即可得到相应的图像性质；（3）先画出 的函数图象，再通过与 联立方程求出交点坐标，结合函数图象即可得到答案. 21．【答案】（1）D （2）解：如图，作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T， 设直线AM为y=kx+b， 将点 M（4，0），T（0，3） 代入， 得 解得 ∴直线MT为：， ∵HT⊥AM于点T ∴直线TH为：， 根据题意易得点N一定在直线HT上，设点N， 则可得， 解得a=±3， ∴当a=3时，， 当a=-3时，， ∴N（-3，-1）或N（3，7）. （3）解：设2宝点为点A' ①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，如图所示： ∵A'是2的宝点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， 设 ，则 ∴ 将 代入 得： ，解得 ， ∴ （2，4） ②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，如图所示： 同①可证明 （AAS）， ∴ ， 设 ，则 ∴A'（-n，n-2）， 将 （-n，n-2）代入 得： ，解得 ∴A'（0，-2） 综上所述， A点的坐标为（2，4）或（0，-2）； （4）解：y=x+3；y=-x-3 【解析】【解答】解：（1）如图，取点T（0，2），连接DT，AT， ∵D（−2，0），A（2，0），T（0，2）， ∴OT＝OD＝OA＝2， ∴△ADT是等腰直角三角形， ∴在点B（2，−2），C（0，1），D（−2，0）中，2宝点是点D， 故答案为：D； （4） 若一次函数y=kx+b（k≠0）图象上存在无数个3宝点，分类讨论： ①当k＞0时，如图， ∵N是3宝点， ∴∠MTN＝90°，MT＝NT， ∴∠NTF＝90°−∠MTO＝∠TMO， ∵∠NFT＝∠TOM＝90°， ∴△NFT≌△TOM（AAS）， ∴TF＝MO＝3，NF＝OT， 设OT＝NF＝m，则OF＝OT＋TF＝m＋3， ∴N（m，m＋3）， ∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点， ∴该一次函数的解析式为y＝x＋3； ②当k＜0时，如图， 同①可证明△MOT≌THN（AAS）， ∴NH＝OT，TH＝OM＝3， 设NH＝OT＝n，则OH＝TH−OT＝n−3， ∴N（−n，n−3）， ∴该一次函数的解析式为y＝−x−3， 综上，该一次函数的所有解析式为y＝x＋3或y＝−x−3． 【分析】 （1）取点T（0，2），连接DT，AT，可得△ADT是等腰直角三角形，即知2宝点是点D； 若一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象上存在无数个无数个3宝点， （2）作直线MT，并过点T作HT⊥AM于点T，利用待定系数法求出直线MT的解析式，根据互相垂直的直线中自变量的系数乘积为-1易得直线HT的解析式为，根据题干提供的信息可知点N一定在直线HT上，且满足TN=TM，设点N，据此结合两点间的距离公式建立方程，求解可得a的值，从而即可求出点N的坐标； （3）①当A'在x轴上方时，过A'作AF'⊥y 轴于F，证明△A'FE≌△EOA（AAS），得EF＝AO＝2，A'F＝OE，设OE＝A'F＝m，则OF＝OE＋EF＝m＋2，则N（m，m＋2），将N（m，m＋2）代入y＝3x−2可得N（2，4）；②当A'在x轴下方时，过A'作A'H⊥y 轴于H，同理可得N（0，−2）； （4）分两种情况：①当k＞0时，②当k＜0时，利用（2）的方法即可求解． 22．【答案】（1）解：①如图直线l2旋转到AC的位置， 当x=0时y= ，当y=0时x=-1 ∴点A（0， ），点B（-1，0） ∵点C（1，0） ∴OA= ，OC=1 ∴AC= ， ② α＝30° （2）解：∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC， ∴△DBC总是等腰三角形； ①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时（图2）， ∴∠ACD＝∠ADC＝15° ∵CE∥OD，∴α=∠ODC＝15° ②当DA＝DC＝DB时（图3），易知∠DAC＝∠DCA＝30°，∴α＝60°， ③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时（图4）， 易知∠ABD＝∠ADB＝∠ADC＝∠ACD＝75°， ∠DBC＝∠DCB＝15°， ∴α＝105°； ④当AB＝BD＝DC＝AC（图5）易知△BDC是等边三角形， ∴α＝150° 综上所述：当α＝15°或60°或105°或150°时，△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形. （3）解：当E在x轴上方时，BE=BO+BF 如图，在AB上截取BG=BO ∵∠GBO=60°， ∴△BOG是等边三角形， ∵△OEF是等边三角形， ∴OB=OG=BG，OF=OE，∠BOG=60°=∠BOF+∠FOG，∠FOG+∠EOG=60°， ∴∠BOF=∠EOG， 在△BOF和△EOG中 ∴△BOF≌△EOG（SAS）， ∴BF=EG， ∵BE=BG+GE ∴BE=BF+OB； 当E在x轴下方时，BE=BF-BO 作∠BOH=60°， ∴△OBH是等边三角形， ∴∠HOB=60°，OH=OB=BH， ∵△OEF是等边三角形， ∴∠EOF=60°，OE=OF， ∴∠HOE=∠FOB， 在△EOH和△OBF， ∴△EOH≌△OBF（SAS） ∴EH=BF， ∵EH=BE+BH ∴BF=BE+OB即BE=BF-BO. 【解析】【解答】解：（1）②∵AC=2OC， ∴∠BAC=30°，∠ACO=90°-30°=60°， ∴旋转角α的度数为90°-60°=30°. 【分析】（1）利用函数解析式可求出点A，B的坐标，可求出OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出AC的长. （2）利用垂直平分线的性质可证得DB=DC，可知△DBC总是等腰三角形；①当AD＝AC＝AB且D在A点上方时；②当DA＝DC＝DB时；③当AD＝AC＝AB且D在A点下方时；④当AB＝BD＝DC＝AC；分别求出符合题意的旋转角α的度数. （3）分情况讨论：当E在x轴上方时，BE=BO+BF，在AB上截取BG=BO，利用等边三角形的性质可证得∠BOF=∠EOG，OF=OE，利用SAS证明△BOF≌△EOG，利用全等三角形的性质可得到BF=EG，然后根据BE=BG+GE，可得到线段BE，OB与BF之间的数量关系；当E在x轴下方时，BE=BF-BO，作∠BOH=60°，易证△OBH是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠HOB=60°，OH=OB=BH，∠EOF=60°，OE=OF，可推出∠HOE=∠FOB，利用SAS证明△EOH≌△OBF，利用全等三角形的性质可得到EH=BF，然后根据EH=BE+BH，可证得结论. 23．【答案】（1）（0，4）；（4，0）；（1，3） （2）解：过E作x轴的垂线，交x轴于点G，过F作y轴的垂线，交EG于点H， ∵DC⊥x轴， ∴EG//DC， ∵E是BD的中点， ∴ ， ∵CP＝2BP， ∴ ， ∴PG＝CP﹣CG ＝ ， ∴∠PEF＝90°， ∴∠GEP+∠HEF＝90°， ∵∠HFE+∠HEF＝90°， ∴∠HFE＝∠GEP， 又∵EF＝EP， ∴△HEF≌△GPE， ∴ ， ∵ ＝ ， ∴HG＝HE+EG＝2， ∵ ， OG＝OC+CG＝1+ ＝ ， ∴ ， ∴F（4，2）； （3）解：∵C（1，0）， ∴OC＝1， ∴ ， ∴ ， ， ∵E是BD的中点， ∴ ， ， ∴ ， 作FM⊥AB于点M，PN⊥AB于点N， 则 ， ， ∵S△AEF＝5S△PBE， ∴ ， ∴ ， ①当P在B，C之间时， ∵∠FEM+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°， ∴∠FEM＝∠EPN， ∵∠FME＝∠ENP，EF＝EP， ∴△EFM≌△PEN（AAS）， ∴MF＝EN， ∴EN＝3PN， ∵∠OBA＝45°，∠PNB＝90° ∴PN＝BN， ∴BE＝EN+BN＝4PN， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ②当P在CB的延长线上时， ∴∠EFM+∠MEF＝90°， ∠PEN+∠MEF＝90°， ∴∠EFM＝∠PEN， ∵∠FME＝∠NEP＝90°，EF＝EP， ∴△MFE≌△NEP （AAS）， ∴EN＝FM＝3PN， ∴BE＝EN﹣BN＝3PN﹣PN＝2PN， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述P的坐标为 或 . 【解析】【解答】（1）把x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4， ∴A（0，4）， 把y＝0代入y＝﹣x+4，得﹣x+4＝0， 解得x＝4， ∴B（4，0）， 把x＝1代入y＝﹣x+4，得y＝3， ∴D（1，3） 故答案为：（0，4），（4，0），（1，3）； 【分析】（1）分别令y＝-x+4中的x=0、y=0，求出y、x的值，进而可得点A、B的坐标，将x=1代入y=-x+4中求出y的值，据此可得点D的坐标； （2）过E作x轴的垂线，交x轴于点G，过F作y轴的垂线，交EG于点H，则EG//DC，根据中点的概念可得CG=BG= ，由CP=2BP可得CP的值，进而求出PG，由同角的余角相等可得∠HFE＝∠GEP，证明△HEF≌△GPE，则HE=PG= ，根据EG= DC可得EG，进而求出HG、OG，据此不难求出点F的坐标； （3） 由点C的坐标可得OC，进而得到AD= AB，BD= AB，根据点E是BD的中点可得BE= AB，AE= AB，作FM⊥AB于点M，PN⊥AB于点N，根据S△AEF＝5S△PBE可得 ，①当P在B，C之间时，由同角的余角相等可得∠FEM＝∠EPN，证明△EFM≌△PEN，得到MF＝EN，则EN＝3PN，易知PN＝BN，则BE＝4PN，据此可得PN、PB，进而得到点P的坐标；②当P在CB的延长线上时，同理证明△MFE≌△NEP，得到EN＝FM＝3PN，BE＝2PN，求出PN、PB的值，进而可得点P的坐标. 24．【答案】（1） （2）解： （3）解： 证明：作轴，垂足为I，连接． ∵点P、Q关于函数的图象对称， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 【解析】【解答】解：（3）∵点， ∴直线的解析式为：， 由猜想验证可得：点关于直线的对称点为， 设直线的函数解析式为：，代入和， 可得， 解得， ∴， 设直线的函数解析式为：，代入， 可得， ∴， ∵两直线交于点C， ∴， 解得：， ∴． 【分析】（1）选取（0，0）和（1，1）即可得到正比例函数y=x的图象；再根据轴对称图形的画法得到 出关于正比例函数的图象对称的 ； （2） 作轴，垂足为I，连接 ，可根据AAS证明， 从而得出，， 即可得出结论Q(b，a)； （3）首先根据（2）猜想的结论，可求得点B'的坐标（-1，-2），然后可分别利用待定系数法求得直线AB'和直线BO的函数解析式，然后解由两直线的解析式组成的方程组即可求得点C的坐标。 1 学科网（北京）股份有限公司 $