5.3一次函数的意义 培优测试 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 《5.3一次函数的意义 培优测试》含选择（10题）、填空（6题）、解答（8题）共24题，分层覆盖一次函数概念到综合应用，梯度合理，适配新授课巩固与能力提升，体现数学抽象、推理及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|一次函数与正比例函数定义辨析|选择1-5、填空11-13考查概念本质，强化抽象能力| |能力提升|解析式求解及简单实际应用|填空14-16结合快递收费、温标转换建模，培养模型意识| |综合拓展|函数与几何综合及复杂问题|解答22-24涉及等腰三角形存在性、面积分割，发展推理能力|

5.3一次函数的意义 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列说法中，正确的有（　　） ①正比例函数一定是一次函数； ②一次函数一定是正比例函数； ③速度一定，路程s是时间t的一次函数； ④圆的面积是圆的半径r的正比例函数. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　） A．正方形的周长C随着边长x的变化而变化 B．正方形的面积S随着边长x的变化而变化 C．面积为20的三角形的一边a随着这边上的高h的变化而变化 D．水箱以0.5L/min的流量往外放水，水箱中的剩水量VL随着放水时间tmin的变化而变化 3．已知y是x-3的正比例函数，且当x=5时，y=6，则y和x的函数关系描述错误的是（　　） A．y=3(x-3) ；是正比例函数关系 B．y=3x-9；是一次函数关系 C．y=3(x-3)；是一次函数关系 D．y=3x-9；是正比例函数关系 4．若y＝mx|m﹣1|是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．0或﹣2 5．若函数是一次函数，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．问题情境：“一粒米千滴汗，粒粒粮食汗珠换“为积极响应习近平总书记提出的坚决抵制餐饮浪费行为的重要指示，某送餐公司推出了“半份餐”服务，餐量是整份餐的一半，价格也是整份餐的一半，整份餐单价为元，希望中学每天中午从该送餐公司订份午餐，其中半份餐订份，其余均为整份餐，该中学每天午餐订单总费用为元则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 7．某油箱容量为的汽车，加满汽油后行驶了时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为，油箱中剩油量为，则y与x之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．已知平面直角坐标系中，点，点，直线经过点，且将的面积分成两部分，则k的值为（　　） A． B． C．或 D． 或 9．象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（-2，-1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（　　） A．y=x+1 B．y=x-1 C．y=2x+1 D．y=2x-1 10．如图，一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，且每秒移动一个单位，在第1秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，若经过23秒质点到达点A，经过33秒质点到达点B，则直线AB的解析式为（　　） A．y＝x+ B．y＝-x+ C．y＝2x+9 D．y＝-2x+9 二、填空题（每题4分，共24分） 11．对于函数y=(m-4)x+(m2-16)，当m=　 　时，它是正比例函数；当m　 　时，它是一次函数． 12．已知是关于x的正比例函数，则　 　． 13．若函数是一次函数，则　 　． 14．小李从丹东通过快递公司给在铁岭的外婆寄草莓，寄快递时，该公司除每次收取6元的包装费外，不超过1千克，收费20元，每超过1千克时，则超出部分按每千克10元加收费．若小李给外婆快寄了千克草莓，则快寄的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式为　 　． 15．在“探索一次函数y=kx+b的系数k、b与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：A（0，2），B（2，3），C（3，1）．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式．分别计算，的值，其中最大的值等于　 　． 16．全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据： 摄氏温度值 0 10 20 30 40 50 华氏温度值 32 50 68 86 104 122 （1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？　 　（填“是”或“否”） （2）请你根据数据推算时的摄氏温度为　 　 三、解答题（共8题，共66分） 17．如图，已知点)、点． （1）求直线的函数表达式； （2）若C为直线上一动点，当的面积为3时，求点C的坐标． 18．已知三点：，，. （1）在所给的平面直角坐标系中画出； （2）若C点与点关于x轴对称，求直线的函数表达式. 19．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且A、B的坐标分别为（4，0），（0，3）. （1）求一次函数的表达式. （2）点C在线段OA上，沿△OBC将BC翻折，O点恰好落在AB上的D处，求直线BC的表达式. 20．小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%出售． （1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？ （2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x＞10）的关系式，它们都是正比例函数吗？ 21．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 . （1）求直线 的解析式； （2）若直线 上的点 在第一象限，且 ，求点 的坐标. 22．如图，已知直线l：y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴交于A、B两点，A（﹣2，0），B（0，1）． （1）求直线l的函数表达式； （2）若P是x轴上的一个动点，请直接写出当△PAB是等腰三角形时P的坐标； （3）在y轴上有点C（0，3），点D在直线l上，若△ACD面积等于4，求点D的坐标． 23．如图，直线和直线相交于点，直线与y轴交于与x轴交于点B，动点P在直线上运动. （1）求的解析式及点B的坐标； （2）求的面积； （3）当的面积是的面积的时，直接写出这时点P的坐标. 24．如图，在直角坐标系中，直线y＝kx＋b经过（0，4），（10，﹣4）两点，与x轴交于一点A，与y轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）求出三角形AOB的面积； （3）观察图象直接写出：当x取何值时，y大于0？当x取何值时，y小于0？ （4）如果P点是x轴上的一点，且△PAB为等腰三角形，请你直接写出符合条件的P点坐标． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：①正比例函数一定是一次函数，①正确； ②一次函数不一定是正比例函数，②错误； ③当速度一定时，，故路程s是时间t的正比例函数，也是一次函数，③正确； ④， 圆的面积不是圆的半径r的正比例函数，④错误. 故答案为：B. 【分析】对于一次函数y=kx+b，当b=0时，y=kx是正比例函数，故正比例函数是一次函数，一次函数不一定是正比例函数，故①③正确，②错误；若，则S是r的二次函数，④错误. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A、C=4x是正比例函数，故此选项符合题意； B、S=x2不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、a=不是正比例函数，故此选项不符合题意； D、V=10-0.5t不是正比例函数，此选项不符合题意． 故答案为：A． 【分析】根据正比例函数的定义对每个选项一一判断即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】解：设y=k（x-3）， 由题意得：6=k（5-3）， 解得k=3， ∴y=3 (x-3)=3x-9 ， ∴y与x-3的正比例函数， y与x是一次函数关系，不是正比例函数关系. 故答案为：D. 【分析】设y=k（x-3），利用待定系数法求出函数解析式为y=3 (x-3)，则可判断y与x-3的正比例函数， y与x是一次函数关系，即可判断. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得： ， ∴ ； 故答案为：C． 【分析】根据正比例函数的定义可得，求出m的值即可。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵函数是一次函数， ∴m-1≠0，|m|=1， 解得：m≠1，m=±1， ∴m=-1， 故答案为：B. 【分析】根据一次函数的定义求出m-1≠0，|m|=1，再求出m≠1，m=±1，最后求解即可。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：y=5x+10=-5x+200， 故答案为：A. 【分析】根据总费用=半份餐的费用+ 整份餐的费用列式即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：由题意得： 当y=0时，50-0.1x=0，解得：x=500， ∴y=50-0.1x（0≤x≤500）， 故答案为：D. 【分析】根据油箱中剩油量=加满油量-每千米的耗油量，列出函数关系式即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意作出如下图形： 直线经过点，且将的面积分成两部分， 由图可知有两种情况， 当直线经过时，， 当直线经过时，， 的值为：-3或-1， 故答案为：C． 【分析】结合函数图象，以及点的坐标求解即可。 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵帅的坐标为（-2，-1）， ∴马的坐标为（1，2）. 设经过帅和马所在的点的一次函数解析式为y=kx+b，则 解得， ∴y=x+1. 故答案为：A. 【分析】根据帅的位置可得马的位置，设经过帅和马所在的点的一次函数解析式为y=kx+b，代入求出k、b的值，进而可得对应的函数解析式. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：3秒时到了（1，0）； 8秒时到了（0，2）； 15秒时到了（3，0）； 24秒到了（0，4）； 35秒到了（5，0）； ∴23秒到了（1，4），33秒到了（5，2）， ∴A（1，4），B（5，2）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝-x+， 故答案为：B． 【分析】根据题意找出各时间的点的坐标，发现规律，求出点A、B的坐标。利用待定系数法求出直线AB的解析式 。 11．【答案】-4；≠±4 【解析】【解答】解：当该函数为正比例函数时，有：m-4≠0且m2-16=0，解德m=-4. 当该函数为一次函数时，有m-4≠0且m2-16≠0，解德m≠±4. 故答案为：-4，±4. 【分析】由正比例函数的概念可得m-4≠0且m2-16=0，求解可得m的值；由一次函数的概念可得m-4≠0且m2-16≠0，求解可得m的范围. 12．【答案】 【解析】【解答】解： 是关于x的正比例函数， 且， 由， 解得：， 由 解得：， 综上：， 故答案为：． 【分析】根据正比例函数的定义可得且，再求出m的值即可。 13．【答案】2 【解析】【解答】解：∵数是一次函数， ∴m2-3=1且m+2≠0 解之：m=±2且m≠-2 ∴m=2 故答案为：2. 【分析】利用一次函数的定义y=kx+b（k≠0）中x的指数为1，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值. 14．【答案】 【解析】【解答】解：由题意得 y=1×+10（x-1）=10x+16. 故答案为：y=10x+16. 【分析】抓住关键的已知条件：该公司除每次收取6元的包装费外，不超过1千克，收费20元，每超过1千克时，则超出部分按每千克10元加收费，可得到y与x的关系式. 15．【答案】5 【解析】【解答】解：设经过A、B两点的直线为y1=k1x+b1，将点A（0，2）与B（2，3）分别代入得， 解得， ∴k1+b1=； 设经过A、C两点的直线为y2=k2x+b2，将点A（0，2）与C（3，1）分别代入得， 解得， ∴k2+b2=； 设经过B、C两点的直线为y3=k3x+b3，将点B（2，3）与C（3，1）分别代入得， 解得， ∴k3+b3=5； ∵， ∴k1+b1、k2+b2、k3+b3中，最大的值为5. 故答案为：5. 【分析】利用待定系数法分别求出k1、b1、k2、b2、k3、b3，再分别计算k1+b1、k2+b2、k3+b3的值，最后比大小即可得出答案. 16．【答案】（1）是 （2） 【解析】【解答】解：（1）由表格可知：x每增加10，y相应增加18，则两种温标计量值的对应关系是一次函数. （2）设华氏温度y与摄氏温度x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0） 由表格知：（0，32）（10，50）在函数上 则 解得： 则华氏温度y与摄氏温度x之间的函数关系式为y=1.8x+32 当y=0时，x= ∴ 当华氏温度为0°F时，摄氏温度是℃. 【分析】本题考查一次函数的判断、待定系数法求一次函数和根据函数值求自变量的值。 （1）根据图表可知，y是x的一次函数； （2）设出函数解析式，根据表中点的坐标，利用待定系数法求出k，b的值，进而得出函数的解析式，令y=0，求出自变量x的值即可。 17．【答案】（1）解：设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解： ∵， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴或． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据的面积为3，可得，求出，再将和分别代入求出y的值，即可得到点C的坐标。 18．【答案】（1）解：如图，为所作； （2）解：∵C点与点关于x轴对称， ∴， 设直线的函数表达式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为. 【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标找出相应的位置，然后顺次连接即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征可得C′（4，-2），然后利用待定系数法就可求出直线BC′的表达式. 19．【答案】（1）解：设一次函数的解析式为y=kx+b， 分别把A（4，0），B（0，3）代入得0=4k+b，解得3=b， ∴b=3，k= ， ∴y=x+3 （2）解：在Rt△AOB中，OA=4，OB=3；则AB=5 ∵翻折 ∴BD=OB=3，OC=DC，∠BDC=∠BOC=90° ∴AD=5-3=2， 设OC=x， 在Rt△CDA中 ∴ ∴ ∴C 设直线BC的解析式为y=kx+3， 将C代入y=kx+3得出k=-2 ∴BC直线解析式 【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）首先根据勾股定理算出AB的长，根据翻折的性质得BD=OB=3，OC=DC，∠BDC=∠BOC=90° ，进而可算出AD的长，设OC=x， 在Rt△CDA中，利用勾股定理建立方程，求出x的值，从而即可求出点C的坐标，最后利用待定系数法即可求出直线BC的解析式. 20．【答案】（1）解：在甲商店购买需1×10+1×(20-10)×70%=10+7=17(元)， 在乙商店购买需1×20×85%=17(元)， 17元=17元，故买20个练习本，到甲商店或乙商店均可； （2）解：在甲商店购买y甲=1×10+1×(x-10)×70%= x+3 (x>10) 不是正比例函数， 在乙商店购买y乙=1×85%x= x (x>10) 是正比例函数． 【解析】【分析】（1）先分别求出买20个练习本在两家商店所需要的钱在比较大小，即可判断哪个商店购买比较省钱； （2）分别累出函数关系式即可判断。 21．【答案】（1）解：设直线 的解析式为： ，把点 与点 代入得： ， ， 直线 的解析式为 ； （2）设点 的坐标 ， ∵B（0，-4）， ∴OB=4， ∵ ， ， ， 点 的坐标为： . 【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A、B的坐标代入求出k、b，据此可得直线AB的解析式； （2）设C（a，2a-4），由点B的坐标可得OB=4，根据三角形的面积公式可得a的值，进而可得点C的坐标. 22．【答案】（1）解：∵y=kx+b经过点A（﹣2，0），B（0，1）， ∴， 解得， 所以，直线l的表达式为y=x+1； （2）点P的坐标为（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（﹣，0） （3）解： ∵B（0，1），C（0，3）， ∴BC=3﹣1=2， ∵S△ABD=2， ∴点D在点B的右侧时，S△ACD=S△ABC+S△BCD， =×2×（2+xD）=4， 解得xD=2， 此时y=×2+1=2， 点D的坐标为（2，2）， 点D在点A的左侧时，S△ACD=S△BCD﹣S△ABC， =×2×（﹣xD﹣2）=4， 解得xD=﹣6， 此时，y=﹣6×+1=﹣2， 点D的坐标为（﹣6，﹣2）， 综上所述，点D的坐标为（2，2）或（﹣6，﹣2）． 【解析】【解答】解：（2）由勾股定理得，AB=①PA=AB时，若点P在点A的左边，则OP=2+，此时点P的坐标为（﹣2﹣，0）， 若点P在点A的右边，则OP=﹣2，此时点P的坐标为（﹣2，0）， ②PB=AB时，由等腰三角形三线合一的性质得，OP=OA， 所以，点P的坐标为（2，0）， ③PA=PB时，设PA=PB=x， 在Rt△POB中，x2=12+（2﹣x）2 ∴x= ∴AP=，OP=2﹣=， ∴点P得到坐标为（﹣，0）， 综上所述，点P的坐标为（﹣2﹣，0）或（﹣2，0）或（2，0）或（﹣，0）； 【分析】（1）利用待定系数法，即可求出一次函数解析式； （2）由勾股定理得AB的值，①PA=AB时，②PB=AB时，③PA=PB时，分别得出点P的坐标即可； （3）分点D在点B的右侧时，点D在点A的左侧时，分别得出点D的坐标即可。 23．【答案】（1）解：设直线 的解析式为 ， ∵直线 过点 ， ， 把点 ， 代入解析式得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 当 时， ， 解得： ， ∴点B的坐标为： ； （2）解：过点A作 ， ∵ 、 ， ∴ ， ， ∴ ； （3）点P的坐标为 或 【解析】【解答】解：（3）设点P（x，y） ∵的面积是的面积的时， ∴， ∴， ∵动点P在直线上运动， ∴点P所在直线的解析式为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上，点P的坐标为 或 。 【分析】（1）设直线 的解析式为 ，再由直线 过点 ， 即可代入求出解析式，再令y=0即可求出B的坐标； （2）先根据点A和点B的坐标得到三角形的底和高，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）设点P（x，y），先根据题意得到点P的，进而即可得到y的值，再将其代入解析式即可求解。 24．【答案】（1）解：设直线的解析式为y＝kx＋b， 把（0，4）（10，﹣4）代入得 ， 解得 ， 所以直线的解析式是 ； （2）解：当x＝0时，y＝4， 当y＝0时， ，解得x＝5， 所以A（5，0），B（0，4）， 所以S△AOB＝ ； （3）由图象可知当x＜5时，y＞0；当x＞5时，y＜0； （4）P（ ，0）或（5﹣ ，0）或（5＋ ，0）或（﹣5，0） 【解析】【解答】解：（4）①如图1， ， 当PA＝PB时，设P（x，0），则AP＝BP=5﹣x， 在Rt△PBO中，OP2＋OB2＝PB2， ∴x2＋42＝（5﹣x）2， 解得x＝ ， ∴P点的坐标是（ ，0）． ②如图2， ， 当AP＝AB时， ∵ ， AP＝AB ∵A点的坐标是（5，0）， ∴P点在A点左侧时，坐标是（5﹣ ，0）， P点在A点右侧时，坐标是（5＋ ，0）． ③如图3， ， 当BP＝BA时， ∵BO⊥AP， ∴OA=OP， ∵A点的坐标是（5，0）， ∴P点的坐标是（﹣5，0）． 综上，当△PAB为等腰三角形时，P点坐标的坐标是（ ，0）或（5﹣ ，0）或（5＋ ，0）或（﹣5，0）． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出 x＝5， 再求出 A（5，0），B（0，4）， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可； （3）根据函数图象判断求解即可； （4）分类讨论，结合图象，利用勾股定理求解即可。 1 学科网（北京）股份有限公司 $