山西太原市2025-2026学年高一下学期7月期末学业诊断数学试卷

2025~2026学年第二学期高一年级期末学业诊断 数学试卷 (考试时间：上午10：15一12：15) 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 题 号 二 三 四 总分 得 分 如 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 的 符合题目要求 1.下列特征数中，刻画一组数据集中趋势的是 A.平均数 B.极差 C.方差 D.标准差 2.投掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“出现奇数点”，B=“出现3点或5点”，则下列结论正确 的是 A.ACB B.BCA C.A=B D.AUB=0 3.已知α⊥B,a∥&，b∥B,则下列结论正确的是 A.a∥b B.a⊥b C.a与b异面 D.a与b的位置关系不确定 4.已知数据x1,x2,…,xn的平均数和方差分别为5和4，则数据2x1+1,2x2+1,…,2x。+1 的平均数和方差分别为 A.11,16 B.11,8 C.10,8 D.10,16 高一数学第1页（共8页） 5.某项球类比赛按三局两胜的赛制进行，甲、乙两队进行此项比赛.已知每局比赛甲获胜的概率 为0.6，乙获胜的概率为0.4.现用计算机产生1~5之间的随机数，当出现1,2或3时，表示 此局比赛甲获胜，当出现4或5时，表示此局比赛乙获胜.在一次试验中，产生了20组随机 数如下： 125432354534443512541334151314 525332152344114453345423123 423 根据以上数据，利用随机模拟试验，估计甲获胜的概率为 A.0.144 B.0.432 C.0.6 D.0.648 6.某运动软件记录了一组运动时长数据：20,30,25,40,35，从这组数据中随机删除3个数 得到一组新数据，下列结论正确的有 A.新数据的极差是10的概率为0.4 B.新数据的平均数是30的概率为0.3 C.前后两组数据中位数不变的概率为0.2 D.前后两组数据方差不变的概率为0.1 7.如图，PA⊥平面ABC,AC为圆O的直径，B为圆O上一点（不与A,C重合），点M在线段 PC上，且CM=2MP,若线段AB上存在一点N满足MN⊥AB,则下列结论正确的是 AAN=写B B.AN三=B C.AN =2 NB B D.AN =2NB 8.已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状 都完全相同.现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机 摸出一个球.游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也 中奖：若摸出两个红球和1个白球，则不中奖：其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中 奖的概率为 7 24 C 0.12 高一数学第2页（共8页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.袋中装有标号分别为1一8的8个大小形状相同的小球（仅编号不同），从中随机抽取一个 小球，记事件A=“取出的小球编号为奇数”，B=“取出的小球编号为偶数”，C=“取出的小球 编号大于4”，D=“取出的小球编号小于4”，则下列结论正确的是 A.A与B是互斥事件 B.A与B不是对立事件 C.A与C是相互独立事件 D.A与D是相互独立事件 10.某校高一学生有男生300人，女生200人，为了解该校高一学生的身高信息，按性别采用 样本量按比例分配的分层随机抽样，共抽取50人，计算得到样本中男生、女生的平均身高 分别为170和160（单位：厘米），方差分别为20和30，则下列结论正确的是 A.该校每一名高一学生被抽到的概率为0.1 B.男生、女生应抽取的人数分别为30和20 C.样本的平均数为165 D.根据上述数据，估计该校高一学生身高的方差为48 11.已知正方体ABCD-A1B,C,D,的棱长为4米，点P从点C出发，沿着棱以2米秒的速度按 照C-B-B,的路径运动；同时点Q以1米秒的速度沿着棱从点C到D进行运动，运动时间 t∈(0,4]，记过点C1,P,Q的平面为a,平面与平面ABCD的交线为l,则下列结论正确的是 A.平面α截正方体所得的截面可能是三角形、四边形， A D 不可能是五边形 B.平面α截正方体所得的含顶点C的几何体可能是棱锥、 棱柱，但不可能是棱台 C.二面角C,-1-C的最小值为45 B 2V⑤ D.直线1与直线A,D,所成角余弦值的范围为S,川 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.连续两次投掷一枚质地均匀的硬币，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 则该试验的样本空间2= 13.甲、乙两人向同一个目标进行射击，已知甲、乙射中目标的概率分别为0.6和0.5，且两人 射中与否相互独立，则该目标被击中的概率为 14.在三棱锥A-BCD中，AB=2,BC=23,∠ACB=30°，∠BDC=60°，当三棱锥A-BCD的 体积最大时，则其外接球表面积为 高一数学第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.(本小题13分) 某农场种植甲、乙两种小麦，在相同面积的试验田中分别连续种植十次.已知这十次 种植试验中，甲种小麦产量的平均数为67千克，方差为20，乙种小麦的产量数据如下 (单位：千克)： 65656768707365696672 (1)根据上述数据，计算乙种小麦样本数据的平均数与方差； (2)并从计算结果分析，哪种小麦更具有推广价值？请说明理由 烟 高一数学第4页（共8页） 16.(本小题15分》 为了提升网络安全意识，某社区举办了一次“网络安全”知识竞赛，从参赛人群中 随机抽取了100位居民，将其竞赛成绩分组整理，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求频率分布直方图中a的值，并估计这次竞赛成绩的第一四分位数； (2)现按成绩采用样本量比例分配的分层抽样，从竞赛成绩在[75,85)的样本中抽取 5人，再从这5人中随机选出2人参加网络安全宣传活动，求这2人来自不同分组的概率， 频率/组距 蟈 0.08 如 0.03 0.02 0.01 0707580859095100成绩/分 K 高一数学第5页（共8页） 17.(本小题15分) 已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F分别为正方体的棱BC,C,D,的中点. (1)求证：EF∥平面ACD; (2)求点B到平面ACD,的距离. D 了AB C y 高一数学第6页（共8页） 18.(本小题17分) 甲、乙、丙三人计划到A、B、C三个城市观光旅游，每人只选择其中一个城市.在选 择时，三人随机且独立，已知甲选择A、B、C三个城市的概率分别为 23石乙选择A,B 111 两个城市的概率分别 22丙选择A,C两个城市的概率分别为2， 11 ’31 (1)求三人选择同一个城市旅游的概率； (2)求三人选择三个不同城市旅游的概率； (3)求三人中恰有两人选择A市旅游的概率， 高一数学第7页（共8页） 19.(本小题17分) 如图，正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O,将△ACD沿AC翻折至△ACE,连接BE. (1)证明：AC⊥BE; (2)设二面角A-BE-C的余弦值为-3求BE; D C (3)设co∠BAE=了求三棱锥E-ABC内切球的表面积。 0 烯 烟 閭 高一数学第8页（共8页）2025-2026学年第二学期高一年级期末数学试题 参考答案及评分建议 一.选择题：A B B D 二.选择题： 9.AC 10.ABD 11.ACD 三.填空题：12.{11)，1,0)，(0,1)，(0,0)} 13.0.8 14.20π 四.解答题：15.解：(1)设乙种小麦样本数据的平均数为x,方差为s2,由题意得 x=(65+65+67+68+70+73+65+69+66+72)×,1=68, 10 s2=[(65-68)2+(65-68)2+(67-68)2+(68-68)2+(70-68) +(73-68)2+(65-68)+(69-68)2+(66-682+(72-68)]x=7.8: …8分 10 (2)由(1)得及题意可得，乙种小麦产量的平均数68千克大于甲种小麦产量的平均数67 千克，同时其方差7.8小于甲种小麦产量的方差20，说明乙种小麦的产量更高更稳定，更 具有推广价值. …13分 16.解：(1)由题意得5×(0.02+0.02+0.03+0.08++0.01)=1，所以a=0.04:3分 设这100名居民成绩的第一四分位数为x,由频率分布直方图可得成绩在[70,80)的频率为 5×(0.02+0.02)=0.2,在[80,85)的频率为5×0.03=0.15，所以x∈[80,85)， 由0.2+0.03×(x-80)=0.25得x=245 3 所以估计该次竞赛成绩的第一四分位数为，x=245 …7分 3 (2)由题意得采用样本量比例分配的分层抽样抽取5人，则应从成绩在[75,80)的居民中抽 取2人，分别记为A,B:从成绩在[80,85)的居民中抽取3人，分别记为☑，b,c.…9分 再从这5人中随机选出2人的样本空间为 2={(A,B),(A,a①，(A,b),(A,c),(B,a,(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)}, …11分 设事件A=“这2人来自不同分组”，则A={(A,a,(A,b),(A,c),(B,①，(B,b),(B,C)}, 由古典概型可得P(4=心-6=0.6. …15分 (2)10 17.(1)证明：设点G是AB的中点，连接EGFG,点E是BC的中点，∴.GE∥AC, .GEd平面ACD,ACC平面ACD,∴.GE∥平面ACD, …2分 .G,F分别为正方体ABCD-AB,C1D的棱AB,C1D的中点， ∴.AG∥D,F,AG=DF=1,∴.四边形AGFD为平行四边形，∴.GF∥AD, ,GF￠平面ACD,ADC平面ACD,∴.GF∥平面ACD, …4分 .·GE∩GF=G,GEc平面EFG,GFc平面EFG, ∴.平面EFG∥平面ACD, :EFc平面EFG,∴.EF∥平面ACD1 …8分 (2)连接BD,设点B到平面ACD,的距离为d, :正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，“AC=CD,=AD=22, 二△ACD,的面积S2AC”.sim60P=23,△ABC的面积Ssc奇 1AB-BC=2, 2 Va-AcD =VG a-men,d25 …15分 3 18.解：设甲选择A、B、C城市分别记为事件A,A,A,乙选择A、B城市分别记为事件B1,B, 丙选择Ac被市分别记为事件C,C.则P4)-号P4)分4)名 PB)=PB,)=,PC)=,p(C)= …3分 3 3 (1)由题意得三人选择同一个城市旅游为事件A1BC1, P(A BC)=P(A)P(B)P(C)=6 1.121 …6分 (2)由题意得三人选择三个不同城市旅游为事件AB,C,UA,B,C,UA,B,C1, .P(A B,C,UA,BC,UA;B,C)=P(AB,C2)+P(4,BC2)+P(A3B2C) =P(A)P(B)P(C2)+P(A)P(B)P(C2)+P(A)P(B2 )P(C) 1x1×1+1x1x1+1x1×2-7 …10分 22332362336 (3)由题意得三人中恰有两人选择A市旅游为事件AB,C,UAB,C,UAB,C1UAB,C1, ..P(ABC,UAB,C UA BC UA BC)=P(A BC)+P(AB,C)+P(A,BC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B,)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C) -1x1x1+1x1x2+1x1x2+1x1x2-5 =2×2x+2×23+3*2*36231D …17分 19.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD, ∴.AC⊥OE,AC⊥OB,.AC⊥平面BOE,∴.AC⊥BE …4分 (2)设点F是BE的中点，连接AF,CF, AE=AB,AF⊥BE,AF=VAE2-EF?=√4-EF?, 同理可得CF⊥BE,CF=√4-EF2, ÷∠AFC是二面角A-BE-C的平面角，c0SAC= 3 cos∠AFC-AF+CP-ACEF1 2AF.CF EF2-431 .EF=1,.BE=2EF=2 …10分 (3)由题意得BE=AB2+AE2-2 AB.AEcos∠BAE=8-8_16 33 Cos∠BOE= OB+OE2-BE 1 2OB·OE 3'in∠BOE=22 3 ∴S8OB-OEn∠B0B=2V2 3 ·os∠BAE=1， ,SA4腿2AB·AE sin∠B4E4V3 3 …12分 AB=BC,AE=CE,BE=BE,∴△ABE=△CBE，.SAc照= 4V2 3 E方形1cD的边长为2.8e4C,08-2,司-片4C08-2. 设三棱锥E-ABC内切球的半径为r,球心为M, V-ABC=VM-ARC+VM-ABE+VM-CB+VM-ACE 1 ÷35aaAC=3（SMax+8aes+Sas+Sus)7, 1 …15分 :25x25=4+8 3 3)r,r 3+2V26-4V2, 2 .S=4m2=1617-12√2)π. …17分 注：以上各题其它解法请酌情赋分.