福建省福清第一中学2023-2024学年高一下学期6月阶段性诊断练习数学试题（分班考）

**基本信息** 2024年6月高一数学月考卷，通过19题分层设计，覆盖集合、立体几何、函数等核心知识，以基础题巩固概念、中档题提升推理能力、创新题发展探究意识，渗透数学抽象与空间观念素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、线面垂直、向量投影|基础概念直接考查，如第2题线面垂直关系判断| |多选|3/18|复数方程、不等式应用、正方体轨迹|选项分层，如第11题结合空间动点考查空间观念| |填空|3/15|三角求值、函数构造、解三角形|开放创新，如第13题构造满足三性质的函数| |解答|5/77|函数奇偶性、三角函数图像、立体几何综合、创新定义|综合应用，如第19题“2倍增区间”考查逻辑推理与创新意识|

绝密★启用前 试卷类型：A 2023—2024学年下学期高一年级阶段性诊断练习 数学参考答案及评分参考 2024.6 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B C A A C 8.已知定义在上的函数满足，且为奇函数， 若，则 A． B． C． D． 解析：∵为奇函数，∴，∴， 即，又∵，∴， ∴，∴，∴的一个周期为4， ∵，∴，∴， ∴，故选C. 另解：由题设条件，不妨设， ∴，∴，故选C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD ABC ABD 11．已知是棱长为的正方体表面上的动点，且，则 A．动点的轨迹长度为 B．的最大值为 C．有且仅有两个点，使得与所成的角为 D．有且仅有三个点，使得三棱锥的体积取得最大值 解析：如图，不难发现动点的轨迹是以为球心，以为半径的球被三个平面所截得的三段圆弧． 考查选项A：由图可知，动点的轨迹长度为，故选项A正确； 考查选项B：由图可知，当位于点位置时，间达到最大距离，为，故选项B正确； 考查选项C：由图可知，当位于弧上时，与所成的角为，故选项C 错误； 考查选项D：由图可知，平面平面，其中，，分别为，，的中点，∴当与，，重合时，三棱锥的体积取得最大值，故选项D正确，故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 .； 13. （答案不唯一）； 14. . 14. 记的面积为，若，且，则的最小值为________． 解析：，又， 由，解得， ∵，得， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴，∴，∴的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数为奇函数. (1) 求； (2) 求不等式的解集. 解：(1) 依题意，， …………2分 整理得，， ……………………………………4分 ∴，∴或（舍）， ………………………………………………5分 ∴. …………………………………………………………………………………6分 (2) 由（1）可知，， ………………………………………………7分 ∵∴，………………………………………………………………8分 ∵， …………………………………………………9分 ∴，即， …………………………………10分 整理得，，解得， …………………………11分 ∵，∴， ∴不等式的解集为. ……………………13分 16．（15分） 已知点是函数图象的一个对称中心，且与相邻的对称中心的距离为. (1) 求的解析式； (2) 将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间 上的最大值与最小值之和为0，求正实数的最小值. 解：(1) 设的最小正周期为，则，∴，……………………2分 ∵，∴，……………………………………………………3分 ∵，∴，…………………………………………………………………5分 ∴. ………………………………………………………………6分 (2) 依题意，， …………………8分 ∵，∴， ………………………………………………9分 当时，的最大值为，最小值为，不符题意；……………10分 当时，的最大值为，∴的最小值为，…………………………12分 ∴，解得，…………………………………………………………14分 ∴的最小值为.……………………………………………………………………15分 17．（15分） 在△中，设内角，，的对边分别为，，，记△的面积为，且. (1) 求； (2) 设为的中点，若，且，求△的周长． 解：(1) ∵， ∴， ……………………………………………2分∴， ………………………………………………………3分 由正弦定理，得，…………………………………4分 ∴， ………………………………………………………5分 ∴为锐角. ………………………………………………………………………6分 (2) ∵，∴， ……………………………………………8分 ∵，……………………………………………………………………9分 ∴， ………………………………10分 ∴，∴，① …………………………………11分 由(1)可得，，② 由①-②可得，，解得， …………………………………12分 又，∴，…………………………14分∴△的周长为. ………………………………………………………15分 试卷第1页，共1页 答案第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 18．（17分） 如图，正三棱柱（以为底面）被一平面所截得的几何体截面为，已知，．A1 B1 C1 C A B O （第18题图） (1) 求该几何体的体积； (2) 设为的中点，证明：平面； (3) 求二面角的余弦值． 解：(1) 如图，取的中点，连接，在线段上取点，使得，连接，. D E A1 B1 C1 C A B O 由题意可知，平面，. …………………………………………1分 ∵，∴四边形是平行四边形，∴， 同理，，. ……………………………………………………………2分 ∵△是等边三角形，∴△也是等边三角形， ∴四棱锥的高为. …………………………………………3分 ∴四棱锥的体积为，………………………4分 正三棱柱的体积为. ∴该几何体的体积为. ……………………………………………………5分 (2) 如图，取中点，连接，. I A1 B1 C1 C A B O 在直角梯形中，，. ……………………………7分 ∵，，∴，∴四边形是平行四边形， ……………8分 ∴. ………………………………………………………………………………9分 ∵平面，∴平面. ………………………………………………10分H A1 B1 C1 C A B O (3) 如图，过作垂直于，连接. 由(2)可知，，∵平面平面，且平面平面，，∴平面，…………………………………………………………12分 ∵平面，∴，又，， ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角， ……………………………………………14分 易知，，由等面积法，， ∴，∴，……………………………………………………15分 ∴，…………………………………………………………………16分 ∴二面角的余弦值为. ……………………………………………………17分 19．（17分） 若存在，使得函数在区间上单调递增，且，则称为的长度为的“倍增区间”． (1) 求函数的长度为的“倍增区间”； (2) 已知区间为函数的长度为的“倍增区间”，且，证明：； (3) 若函数不存在“倍增区间”，求实数的取值范围. 解：（1）设所求“2倍增区间”为，………………………………………………1分 则有，，且． …………………………………………2分 ∴，即，解得． ………………………………4分 ∴函数的长度为的“倍增区间”为． ……………………5分 （2）∵是增函数，∴， …………………………………………6分 ∵，∴， …………………………8分 ∴整理可得，， …………………………………………………9分 ∴， ……………………………………………………………10分 ∴. …………………………………………………………………………………11分 （3）∵，∴在单调递增，值域为．………12分 （i）当时，，不存在使得为“2倍增区间”； ………………13分 （ii）当时，，故不存在“2倍增区间”； ……………………14分 （iii）当时，取，，则在单调递增，且，，存在“倍增区间”． ……………16分 综上，的取值范围是． …………………………………………………17分 $保密★启用前 试卷类型：A 准考证号 姓名 (在此卷上作答无效) 2023一—2024学年下学期高一年级阶段性诊断练习 数学试题 2024.06 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码： 2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑， 3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂 改液 4.考试结束后，考生上交答题卡 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.己知集合M={-1,0,1,2},N={x∈N|x≤1}，则M∩N= A.{1} B.{0,1} C.[-1,1] D.[0,1] 2.已知直线lL平面a,则过l且与a垂直的平面 A.有且仅有1个 B.有且仅有2个 C.有无数个 D.不存在 3.设向量a=(-3,4),b=(2,-1),则a在b方向上的投影向量为 A.(2,-1) B.(（-2,1) C.(4,-2) D.(-4,2) 4.设函数f(x)=√死+2x-4的零点为x0,则x0∈ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 5.已知某圆台的母线长为5，上、下底面半径分别为1、5，则该圆台的体积为 A.11π B.26π C.31π D.93π 6.在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为ab,c,若2b=a+c,且siC=2siA,则cosC= A.- B c-9 D号 (a2+1)x-2,x<1, 7.己知函数f) x+g-2a,x≥1， 则“0≤a≤1”是“f(x)在R上单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 xx试题第1页（共4页） 8.已知定义在R上的函数f(,)满足f)=f(1-),且g)寸x+)2为奇函数，若f(1)=1, 则4f(4k)F A.-2024 B.0 C.2024 D.4048 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知z=1-i为关于x的方程x2-ax+2=0在复数范围内的一个根，则 A.z4=4 B.a=2 C.二+1为纯虚数 D.1+i为关于x的方程x2.+2=0的另一个根 10.已知x>0,y>0,x+2y=4,则 A.xy的最大值为2 B.x2+y2的最小值为(16/(5) C是+二的最小值为是 D.本+的最小值为5 11.已知P是棱长为1的正方体ABCD-AiBICiD1表面上的动点，且AP=√2，则 A.动点P的轨迹长度为 B.BP的最大值为V3 C.有且仅有两个点P,使得AP与AA所成的角为买 D.有且仅有三个点P,使得三棱锥P-ABD的体积取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若a是第三象限角，且ta=,则sin(a+爱) 13.写出一个同时具有下列性质①，②，③的函数，其解析式可以为f(x)= ①Vx≠0，f(2x1x2)=f(x1)十f(x或： ②f(x)在(0，+o)上单调递增； ③f(w)是偶函数 14.记△ABC的面积为S,若AB·AC=2V3S,且BC=1,则BA·BC的最小值为 xx试题第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知函数f(1g(2-1)为奇函数 (1)求a; (2)求不等式f(x)<log2(x+2)-logv2x的解集， 16.(15分) 己知点A(,0)是函数f)=sim(ωx+p)(ω>0,0<p<四图象的一个对称中心，且A与 相邻的对称中心的距离为5 (1)求f(x)的解析式： (2)将f)的图象向右平移个单位长度，得到函数g9)的图象，若g在区间[0，网上 的最大值与最小值之和为0，求正实数α的最小值， 17.(15分) 在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为ab,c,记△ABC的面积为S,且S= a(csinC+bsinB-asinA). (1)求A; (②设D为BC的中点，若AD=罗，且S=,求△ABC的周长 xx试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，以ABC为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体的截面为ABC1,己知AA= 2BB1=2AB=4CC1=3. 0 C A B …C B (第18题图) (1)求该几何体的体积： (2)设O为AB1的中点，证明：C1O/平面ABC, (3)求二面角C1A,B一B1的余弦值 19.(17分) 若存在a,b∈R,使得函数f(w)在区间[a,a+b]上单调递增，且f(a+b=2f()>0,则 称[aa+b)]为fx)的长度为b的2倍增区间” (1)求函数fw=5mx(0≤x≤π)的长度为二的“2倍增区间”； (2)已知区间[a,a+b]为函数g)=2+8的长度为b的“2倍增区间”，且<b<1, 证明：a<- (③)若函数)=号+c不存在“2倍增区间”，求实数c的取值范围 xx试题第4页（共4页） 保密★启用前 试卷类型：A 准考证号 姓名 e （在此卷上作答无效） 2023—2024学年下学期高一年级阶段性诊断练习 数 学 试 题 2024.06 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码. 2．作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑. 3．非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液. 4．考试结束后，考生上交答题卡. 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ={-1,0,1,2}, N = {x∈N | |x| ≤ 1} ，则 M ∩ N = A. {1} B. {0,1} C. [-1,1] D. [0,1] 2. 已知直线 l⊥ 平面 α ，则过l且与 α 垂直的平面 A. 有且仅有1个 B. 有且仅有2个 C. 有无数个 D. 不存在 3. 设向量 a = (-3, 4) , b = (2, -1) ，则 a 在 b 方向上的投影向量为 A. (2,-1) B. (-2,1) C. (4,-2) D. (-4,2) 4. 设函数 f (x) = 的零点为x0，则 x0∈ A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4) 5. 已知某圆台的母线长为5，上、下底面半径分别为1、5，则该圆台的体积为 A. 11π B. 26π C. 31π D. 93π 6. 在△ABC 中, 设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 2b = a + c , 且 sinC = 2sinA,则 cosC= A. B. C. D. 7. 已知函数f (x) = 则“0≤ a≤1”是“ f (x) 在R上单调递增”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知定义在R上的函数 f (x) 满足 f (x) = f (1-x)，且 g(x)=f ()-2 为奇函数，若 f (1)=1，则= A. -2024 B. 0 C.2024 D.4048 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9. 已知 z = 1 - i 为关于 x 的方程 x2- ax + 2 = 0 在复数范围内的一个根，则 A. z4= 4 B. a = 2 C.为纯虚数 D. 1 + i 为关于 x 的方程 x2- ax + 2 = 0 的另一个根 10. 已知 x > 0, y > 0, x + 2y = 4 , 则 A. xy的最大值为 2 B. x2+ y2的最小值为 (16)/(5) C. 的最小值为 D. 的最小值为 5 11. 已知 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1表面上的动点，且AP =，则 A. 动点 P 的轨迹长度为 B. BP 的最大值为 C. 有且仅有两个点 P ,使得 AP 与 AA1所成的角为 D. 有且仅有三个点 P ,使得三棱锥 P - A1BD的体积取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若α是第三象限角,且tanα = ,则sin (α+)=___________. 13. 写出一个同时具有下列性质①, ②, ③的函数, 其解析式可以为 f (x) =____________. ①∀x ≠ 0, f (2x1x2)= f (x1)+ f (x2); ② f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增; ③ f (x) 是偶函数. 14. 记 △ ABC 的面积为 S , 若 · = 2 S ,且 BC = 1 , 则 的最小值为_____________. 四、解答题:本题共5小题,共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13分) 已知函数 f (x)=log2()为奇函数. (1) 求 a ; (2) 求不等式 f (x) < log2(x+ 2) x 的解集. 16. (15分) 已知点 A(,0) 是函数 f (x) = sin() (ω > 0,0 < φ < π) 图象的一个对称中心，且A与相邻的对称中心的距离为 . (1) 求 f (x) 的解析式； (2) 将 f (x) 的图象向右平移 个单位长度, 得到函数 g(x) 的图象, 若 g(x) 在区间 [0, a] 上的最大值与最小值之和为0, 求正实数a的最小值. 17. (15分) 在 △ ABC 中，设内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，记 △ ABC 的面积为 S ，且 (1) 求A; (2) 设 D 为 BC 的中点, 若 AD = , 且 , 求 △ ABC 的周长. 18. (17分) 如图，以 ABC 为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体的截面为A1B1C1，已知 AA1= 2BB1= 2AB = 4, CC1= 3. (第18题图) (1) 求该几何体的体积； (2) 设 O 为 A1B1的中点, 证明: C1O//平面 ABC; (3) 求二面角 C1—A1B—B1的余弦值. 19.(17分) 若存在 a, b ∈R, 使得函数 f (x) 在区间 [a, a + b] 上单调递增, 且 f (a + b) = 2 f (a) > 0 , 则称 [a, a + b] 为 f (x) 的长度为 b 的“2倍增区间”. (1) 求函数 f (x) = sin x ( 0 ≤ x ≤ π ) 的长度为 的“2倍增区间”； (2) 已知区间[a, a + b] 为函数 g (x) = 2x + 8x的长度为 b 的“2倍增区间”，且 < b < 1 ，证明： a < ; (3) 若函数 h (x) 不存在“2倍增区间”，求实数 c 的取值范围. xx试题 第页（共页） 学科网（北京）股份有限公司 $