福建厦门市同安实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以复数、解三角形、向量为主体，通过岳阳楼测量、巡逻艇追击等真实情境题，考查数学抽象、运算推理及模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、正弦定理、向量基底|题7以岳阳楼为背景考查解三角形应用，体现数学眼光| |多选题|3/18|向量性质、复数命题判断|题11结合正弦定理、面积公式考查三角形性质，培养推理意识| |填空题|3/15|复数运算、速度合成、向量最值|题13船速水速合成问题，强化数学应用意识| |解答题|5/77|复数方程、向量投影、解三角形综合|题19巡逻艇追击问题，综合正弦定理与建模，提升运算能力与逻辑思维|

厦门市同安实验中学2023-2024学年（下）高一年第一次月考 数学试卷 全卷满分150分，考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1．在复平面内，复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（    ） A． B． C． D． 3．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和B．和C．和D．和 4．已知，是夹角为60°的单位向量，则（    ） A．7 B．13 C． D． 5．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（    ） A． B． C． D． 7．湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 8．平行四边形中，，，，点在边上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9．已知向量则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是B．若，则 C．在上的投影向量为D．若，则 10．下列命题中正确的是（    ） A．若，，，则 B．若复数，满足，则 C．若复数为纯虚数，则 D．若复数满足，则的最大值为 11．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则为锐角三角形 C．若，则是等腰三角形或直角三角形 D．若，，分别表示，的面积，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12．= 13．一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h， 水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为 h． 14．在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当时，则有最小值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. (1)求的值；(2)记复数，求复数． 16．（15分）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及；(2)求在上的投影向量的坐标； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17．（15分）已知在中，N是边AB的中点，且，设AM与CN交于点P．记,． (1)用表示向量； (2)若，且，求证：； (3)设，，求x，y的值． 18．（17分）的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值；(2)若的面积为，求； (3)若a=2，求周长的最大值． 19．（17分）如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里； (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 高一（下）第一次月考数学参考答案 1．A 2．D 3．B4．C5．A6．B 【详解】，. 因为A，B，C三点共线，所以共线，所以，解得. 7．D【详解】因为，所以 又可得米. 8．C【详解】作，垂足为，以点为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系. 因为， 而,所以， 在直角中，因为，，所以，， 则，设， 所以， 所以， 因为二次函数开口向上，对称轴为，且， 所以当时，取最小值，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 9．AC【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误． 10．AD【详解】A：由复数相等知：，有，正确； B：若，有，错误； C：若时，，错误； D：令，则为圆O：，而表示圆O上的点到的最大距离，所以，正确. 11．ACD【详解】A选项，由正弦定理，， 又，则，则或， 且注意两种情况均可满足三角形内角和为，故A正确； B选项，由，结合， 可得， 即，即只能得到C为锐角，不能得到为锐角三角形，故B错误； C选项，由正弦定理，. 易得或，即是等腰三角形或直角三角形.故C正确； D选项，由，可得. 设，则共线，O为中点. 又.则三点共线. 则，故D正确. 12． 13．/【详解】如图， 则，，， ∴． ∴所需时间 (h)．∴该船到达B处所需的时间为h． 14． 【详解】因为在等腰梯形中，已知，，，，可知，所以，， ，， 则 .当且仅当，即时取等号，即最小值．  15．(1)(2) 【详解】（1）由题意得:，即， 所以，所以，，解得：； （2）， 16．(1)，(2)(3) 【详解】（1）由于与的夹角为，所以，即，解得，则，，， 所以； （2）由（1）知，，在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为； （3）由（1）知，，则， ， 由于与所成的角是锐角， 所以,即：， 解得且，即实数的取值范围为. 18．(1)(2)2，2（3）4+2 【详解】（1）， 由正弦定理可得：， ， ，即， ，，，. （2）由题意，，所以， 由，得， 所以，解得：. 19．(1)两船相距海里.(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 答案第4页，共4页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $