精品解析：福建厦门市同安实验中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

厦门市同安实验中学2023-2024学年（下） 高一年第一次月考数学试卷 全卷满分150分，考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数1+i对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ） A. B. C. D. 3. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ） A. 7 B. 13 C. D. 5. 在锐角 中，角， ，所对的边分别为， ，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（ ） A. B. C. D. 7. 湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 平行四边形中，，，，点 在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若复数满足，则的最大值为 11. 已知分别是 三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若，，分别表示，的面积，则 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 化简：___________． 13. 一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h． 14. 在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段和上，且，，当__________时，则有最小值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值； （2）记复数，求复数. 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17. 已知在 中， 是边的中点，且，设与交于点 .记,. （1）用表示向量； （2）若，且，求证：； （3）设，，求， 的值. 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，求； （3）若，求周长的最大值. 19. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2023-2024学年（下） 高一年第一次月考数学试卷 全卷满分150分，考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分） 1. 在复平面内，复数1+i对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】求出所给复数在复平面内所对点的坐标即可得解. 【详解】复平面内，复数1+i对应的点的坐标是(1，1)，而点(1，1)在第一象限， 所以复数1+i对应的点位于第一象限. 故选：A 2. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a=2，A=45°，B=30°，那么b=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°，直接利用正弦定理求解. 【详解】因为在△ABC中，a=2，A=45°，B=30°， 所以由正弦定理得， 解得， 故选：A. 【点睛】本题在考查正弦定理的应用，属于基础题》 3. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断. 【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，，所以和共线. 故选: B. 4. 已知，是夹角为60°的单位向量，则（ ） A. 7 B. 13 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合单位向量的定义及数量积的公式，求出，进而可求. 【详解】解：，所以. 故选:C. 【点睛】本题考查了单位向量的定义，考查了向量的数量积公式，考查了向量模的求解.本题的关键是求出模的平方.一般求向量的模时，可通过向量的平方等于模的平方这一性质，先求出向量平方的值，再求模；也可由模的坐标表示进行求解. 5. 在锐角 中，角， ，所对的边分别为 ， ， ，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理对条件进行化简，可得，再由锐角 中，可得角的大小. 【详解】由余弦定理可得，所以， 所以，即. 又 为锐角三角形，所以. 故选：A 【点睛】本题考查余弦定理、由正弦值求角等解三角形等基本知识，考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于容易题目. 6. 已知向量，，，且A，B，C三点共线，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求向量和，再将三点共线转化成向量共线求参数的取值. 【详解】，. 因为A，B，C三点共线，所以共线， 所以，解得. 故选：A 【点睛】本题考查根据三点共线求参数的取值范围，重点考查向量共线的公式，属于基础题型. 7. 湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线 ，测得米，则岳阳楼的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度结合三角函数解三角形即可. 【详解】因为， 所以 又可得米. 故选：D. 8. 平行四边形中，，，，点 在边上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，把的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可求得本题答案. 【详解】作，垂足为 ，以点 为原点，所在直线为轴，轴建立如下图的平面直角坐标系. 因为，而,所以， 在直角中，因为，，所以，， 则，设， 所以， 所以， 因为二次函数开口向上，对称轴为，且， 所以当时，取最小值 ，当时，取最大值， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每题6分，共18分） 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 的相反向量是 B. 若，则 C. 在上的投影向量为 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出 的值，从而判断BD. 【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误． 故选：AC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数为纯虚数，则 D. 若复数满足，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A由复数相等条件即可判断正误；B、C应用特殊值法，代入验证即可；D根据的几何含义：以为圆心2为半径的圆，求为该圆上的点到最大距离，判断正误. 【详解】A：由复数相等知：，有，正确； B：若，有，错误； C：若时，，错误； D：令，则为圆O：，而表示圆O上的点到的最大距离，所以，正确. 故选：AD. 11. 已知分别是 三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则是等腰三角形或直角三角形 D. 若，，分别表示，的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理结合大边对大角可判断选项A；由二倍角的余弦公式，结合正余弦定理可判断选项B；由题可得，即可判断选项C；由题可得，令，根据题意，可得 为中点和，即可判断选项D. 【详解】对于A，已知，由正弦定理，， 又，则，则或，且注意两种情况均可满足三角形内角和为， 故A正确； 对于B，由二倍角的余弦公式，结合， 可得， 根据正弦定理和余弦定理，可得，即只能得到为锐角， 不能得到为锐角三角形，故B错误； 对于C，已知，由正弦定理可得，，即， 解得或，即是等腰三角形或直角三角形，故C正确； 对于D，如图所示： 由，可得， 设，则共线， 为中点， 又，则三点共线， 则，，所以， 即，故D正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分） 12. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加减运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：． 13. 一条河宽为8 000 m，一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ h． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意画出示意图，求得实际速度，即可求解. 【详解】如图， 则，，， ∴． ∴所需时间 (h)． ∴该船到达B处所需的时间为h． 故答案为：. 14. 在等腰梯形中，已知，，，，动点E和F分别在线段 和上，且，，当__________时，则有最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出，，，，则 ，代入结合均值不等式即可求出答案. 【详解】因为在等腰梯形中，已知，，，，可知， 所以， ， ， ， 则 . 当且仅当，即时取等号，即最小值． 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值； （2）记复数，求复数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，根据复数相等的条件求解即可； （2）由（1），再根据复数的除法求解即可. 【小问1详解】 由题意得：， 所以， 所以，所以，， 解得：； 【小问2详解】 由（1），故， 所以. 16. 已知向量，，且与的夹角为． （1）求 及； （2）求在上的投影向量的坐标； （3）若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的夹角坐标公式列出方程，求解得，代入向量坐标计算； （2）因在上的投影向量为，代入（1）中求得的，，计算和即得； （3）根据两向量的数量积大于0，且两向量不共线,列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由于与的夹角为， 所以，即，解得， 则，，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，，在上的投影向量为， 即在上的投影向量的坐标为； 【小问3详解】 由（1）知，，则， ， 由于与所成的角是锐角， 所以,即：， 解得且，即实数的取值范围为. 17. 已知在 中， 是边 的中点，且，设与交于点 .记,. （1）用表示向量； （2）若，且，求证：； （3）设，，求，的值. 【答案】（1），， （2）因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以，所以； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算结合条件求解即得； （2）根据数量积运算律求，结合向量垂直与数量积关系证明结论； （3）结合条件利用表示可得结论. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，， 由（1），， 所以，， 所以， 故，， 所以，. 18. 的内角的对边分别为，已知. （1）求角的值； （2）若的面积为，求； （3）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） ， （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理通过解已知方程即可求出角A的值； （2）利用三角形的面积公式求出，结合余弦定理即可求解； （3）利用余弦定理求出，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 已知，根据正弦定理可得，， 由于在中，，所以，， 因此，化简得， 由于，，所以，由于，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，又因为的面积为，即， 化简得，， 又因为，根据余弦定理，可得， 化简得， 所以，即，结合，解得. 【小问3详解】 由（1）可知，，又因为， 根据余弦定理，可得， 化简得，即，， 根据基本不等式，有，所以，解得，即， 当且仅当，即时取等号， 所以周长的最大值为. 19. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】（1）两船相距海里. （2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】 【分析】（1）在 中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在 中， 由余弦定理得 所以 在 中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. 【小问2详解】 当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $