2026-2027学年北师大版九年级数学上册预习手册9《第3章图形的相似第1节相似多边形》预习讲义

本讲义聚焦相似多边形的核心知识点，从生活实例直观感知相似图形，抽象出相似多边形“对应角相等、对应边成比例”的定义，梳理其性质（对应角相等、对应边成比例、周长比与面积比）及判定条件，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料以照片放大等实例培养几何直观（数学眼光），通过长方形与菱形反例引导归纳推理（数学思维），结合测量金字塔高度等问题强化应用意识（数学语言）。课中助力突破重难点，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册9 《第3章图形的相似第1节相似多边形》预习讲义 一．学习目标 ( 1.结合生活实例，理解相似图形、相似多边形的定义，精准掌握相似多边形的两大核心特征，熟记相似比的概念及含义。 2.能准确判断两个多边形是否为相似多边形，会求解简单相似多边形的相似比、对应边长，初步掌握相似多边形的基础性质。 3.经历观察、对比、归纳的探究过程，感受图形缩放的几何变换思想，培养几何直观与归纳推理的数学思维。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.相似多边形的定义与核心判定条件。 2.相似多边形的对应角、对应边的性质应用。 （二） 难点 1.区分 “ 形状相同、大小不同 ” 的相似本质，规避 “ 仅有边成比例或仅有角相等就判定相似 ” 的易错误区。 2.准确找准相似多边形的对应边、对应角，正确计算相似比。 ) 三．知识梳理 （一）认识相似图形（直观感知） 仔细观察以下常见图形：同一张照片的原图与放大图、大小不同的正方形、放大镜观察的文字、不同尺寸的同款图片。 【思考】：这些图形的共同特点是形状______，大小______。 【答案】相同，不等。 【概念归纳】 1.定义：形状相同的图形叫做相似图形。 2.相似图形只要求形状一致，大小可以相等也可以不相等；大小相同的相似图形即为全等图形，全等是特殊的相似。 （二）相似多边形的定义（核心新知） 1.图形对比探究 观察四组多边形： 2.定义：如果两个边数相同的多边形满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 3.相似比：相似多边形对应边的比叫做这两个多边形的相似比。 【温馨提示】： （1）相似比有顺序性，多边形A与多边形B的相似比，和多边形B与多边形A的相似比互为倒数； （2）当相似比为1:1时，两个多边形全等。 4.相似多边形的表示 如图，五边形ABCD和五边形A1B1C1D1形状相同，大小不同. 记作: 四边形四边形，符号:“∽”读作相似于，书写要求:对应顶点字母顺序必须对应。 （三）相似多边形的性质 根据相似多边形的定义，自主归纳核心性质： 1.相似多边形的对应角相等； 2.相似多边形的对应边成比例； 3.拓展： （1）相似多边形的周长比=相似比 （2）相似多边形的面积比=相似比的平方 （四）相似多边形的判定 【思考1】两个多边形角都相等，一定相似？ 举例：长方形四个角均为90°，长4宽2的长方形和长5宽2的长方形，角全部相等，边是否成比例？是否相似？ 【解析】长方形1：长4、宽2；长方形2：长5、宽2；边长之比：≠ ，对应边不成比例，所以这两个长方形不相似。 【结论】：仅仅对应角相等的多边形，不一定相似。 【思考2】两个多边形边成比例，一定相似？ 举例：菱形四条边对应成比例，但内角不相等，两个菱形是否相似？ 【解析】两个菱形对应边的比值相等（边成比例），但对应内角不相等，因此这两个菱形不相似。 【结论】：仅仅对应边成比例的多边形，不一定相似。 3.核心总结 多边形相似必须同时满足两个条件，缺一不可：对应角相等，对应边成比例。 四．经典例题 例1.（2025贵阳云岩区期末）下列图形一定是相似多边形的是（ ） A.任意两个矩形 B.任意两个菱形 C.任意两个正方形 D.任意两个等腰梯形 【答案】：C 【解析】：正方形四角都是90°，对应角相等；四边相等，对应边一定成比例，满足相似多边形定义。矩形内角相等但边长比不一定相等；菱形边长成比例但内角不一定相等；等腰梯形角、边均不固定成比例，均不一定相似。 例2.（2026贵阳南明区一模）两个相似五边形相似比为2:3，则它们对应周长比为（ ） A.2:3 B.4:9 C.: D.3:2 【答案】：A 【解析】：相似多边形周长比=相似比，直接得2:3；面积比才是相似比平方4:9。 例3.（2025贵阳花溪区期中）四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A=70°，∠B=80°，∠C'=120°，则∠D=（ ） A.70° B.80° C.90° D.100° 【答案】：C 【解析】：相似多边形对应角相等，∠C=∠C'=120°；四边形内角和360°，∠D=360°-70°-80°-120°=90°。 例4.（2026贵阳观山湖区二模）矩形ABCD与矩形EFGH相似，AB=4，BC=6，EF=2，则FG=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】：A 【解析】：相似矩形对应边成比例=，代入=，解得FG=3。 例5.（2025贵阳乌当区期末）相似多边形对应边_______，对应角________。 【答案】：成比例；相等 【解析】：相似多边形核心性质：对应角相等、对应边成比例。 例6.（2026贵阳白云区三模）△ABC∽△A1B1C1，相似比1:5，则△A1B1C1与△ABC周长比________。 【答案】：5:1 【解析】：相似多边形周长比=相似比，前后顺序颠倒，比值互换。 例7.（2025贵阳清镇市期中）两个相似四边形最长边分别为10cm、15cm，较小四边形周长24cm，则较大四边形周长_______cm。 【答案】：36 【解析】：相似比=10:15=2:3，周长比=2:3，设大周长x，=，x=36。 例8.（2026贵阳修文县一模）四边形ABCD∽四边形PQRS，AB:PQ=3:2，CD=9，则RS=________。 【答案】：6 【解析】：对应边成比例==，=，RS=6。 例9．如图所示的两个五边形相似，根据图中标注数据求a，b，c的值以及∠α和∠β的度数． 解：∵两个五边形相似，∴＝＝＝，∠β＝96°， ∠α＝540°－96°－120°－88°－136°＝100°，∴a＝12，b＝3.5，c＝13.2 例10．如图，把矩形ABCD沿一组对边AB，CD的中点E，F的连线对折，得到两个全等的小矩形．若AB＝BC，矩形ADFE与矩形ABCD相似吗？为什么？ 解：相似，理由如下：设BC＝x，则AB＝x，DF＝x， ∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝＝＝＝. 又∵矩形的四个角都是90°，∴矩形ADFE∽矩形ABCD 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025贵阳云岩区期中）下列一定相似的是（ ） A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形 C.两个等边三角形 D.两个平行四边形 【答案】：C 【解析】：等边三角形内角全60°，对应角相等，边长恒成比例，一定相似。 2.（2026贵阳南明区一模）相似多边形面积比9:4，则相似比（ ） A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.4:9 【答案】：A 【解析】：面积比=相似比平方，相似比=:=3:2。 3.（2025贵阳花溪区期末）五边形ABCDE∽五边形A₁B₁C₁D₁E₁，∠D=135°，则∠D₁=（ ） A.45° B.135° C.55° D.125° 【答案】：B 【解析】：相似多边形对应角完全相等。 4.（2026贵阳观山湖二模）△ABC与△DEF相似比3:5，△ABC周长18，则△DEF周长（ ） A.30 B.10.8 C.54 D.25 【答案】：A 【解析】：周长比=3:5，18÷3×5=30。 5.（2025贵阳乌当区期中）菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，∠A=60°，则∠A'=（ ） A.30° B.60° C.120° D.无法确定 【答案】：B 【解析】：菱形对应角相等，相似菱形对应内角相等。 6.（2026贵阳白云区三模）两个相似梯形上底2、4，下底4、8，较小腰长3，则较大腰长（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】：C 【解析】：相似比2:4=1:2，腰长同步扩大2倍，3×2=6。 7.（2024九上·沈阳期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的，符合相似形的定义，故不符合题意；B、 两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的，符合相似形的定义，故不符合题意；C、 两个图形形状相同，第二个图形是由第一个图形缩小若干倍得到的， 故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意.故答案为：D. 8.（2025九上·杭州期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（　　） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 【答案】A 【解析】由题意可知，照片E放大到F，二者形状相同，大小不同，属于图形的相似变换， 故答案为：A． （二）填空题 9.（2025贵阳清镇期末）相似多边形周长比=相似比，面积比=________。 【答案】：相似比的平方 【解析】：相似多边形核心比例性质，周长一次比、面积二次比。 10.（2026贵阳修文一模）四边形相似比5:7，小周长35，则大周长________。 【答案】：49 【解析】：35÷5×7=49。 11.（2025贵阳开阳期中）正方形边长2与4，相似比________，面积比________。 【答案】：1:2；1:4 【解析】：边长比1:2，面积比1²:2²=1:4。 12.（2026贵阳息烽二模）多边形对应角相等、对应边________，即为相似多边形。 【答案】：成比例 【解析】：相似多边形判定双条件：角相等、边成比例，缺一不可。 13.（2025贵阳贵安新区期末）△ABC∽△A'B'C'，AB=5，A'B'=10，则相似比________。 【答案】：1:2 【解析】：AB:A'B'=5:10=1:2。 14.（2026贵阳经开一模）相似四边形一组对应边6、9，小面积12，则大面积________。 【答案】：27 【解析】：相似比2:3，面积比4:9，12÷4×9=27。 15．古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的________.（选填“轴对称”“平移”“旋转”“相似”） 【答案】相似 【解析】：因为同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，所以在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的相似. 16. 如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm. 【答案】2 【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与矩形相似，∴= x=2，∴留下的矩形的宽为：2cm. 故答案为2 （三）解答题 17．画出下面平行四边形按2：1放大后的图形，再画出下面梯形按1：3缩小后的图形． 解：如图，平行四边形、梯形即为所求． 18．如图，一个长为90m，宽为60m的矩形广场内有两横和两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，若两条横向小路的宽均为1.2m，则两条纵向小路的宽均为多少米？ 解：设两条纵向小路的宽均为xm，则＝或＝，解得x＝1.8或x＝25.8(不符合实际，舍去)，∴两条纵向小路的宽均为1.8m 19．如图，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么： (1)草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？ (2)这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？ 解：(1)两个圆相似 (2)这两个圆的半径分别为50米、60米，所以它们的半径之比为5∶6，周长之比为(2π×50)∶(2π×60)＝5∶6，所以这两个圆的半径之比等于周长之比。 20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD. (1)求证：EB＝GD； (2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 解：(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD (2)连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，AB＝2，∴AE＝，BP＝AB＝1， ∴AP＝＝，∴EP＝2，∴EB＝＝＝， ∴GD＝ 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳观山湖一模）下列图形不一定相似的是（ ） A.所有圆 B.所有等边三角形 C.所有正方形 D.所有矩形 【答案】：D 【解析】：矩形内角相等，但长宽比值不一定相同，对应边不成比例，不一定相似。 2.（2025贵阳乌当期末）相似多边形相似比1:4，面积比（ ） A.1:4 B.4:1 C.1:16 D.16:1 【答案】：C 【解析】：面积比=相似比平方=1:16。 3.（2026贵阳白云二模）四边形ABCD∽A₁B₁C₁D₁，∠A=85°，则∠A₁=（） A.85° B.95° C.105° D.75° 【答案】：A 【解析】：相似多边形对应角相等。 4.（2025贵阳清镇期中）△ABC∽△DEF，周长比2:5，则对应边长比（ ） A.2:5 B.5:2 C.4:25 D.25:4 【答案】：A 【解析】：相似多边形边长比=周长比。 5. 下列各种图形相似的是（ ） A. （1）、（2） B. （3）、（4） C. （1）、（3） D. （1）、（4） 【答案】A 【解析】（1）二者形状相同，大小不同，图形相似，故正确；（2）二者形状相同，大小不同，图形相似，故正确；（3）二者形状大小不同，图形不相似，故错误；（4）二者形状大小不同，图形不相似，故错误．（1）（2）正确；故选A． 6. 下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有( ) A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 【答案】C 【解析】（1）放大镜下的图片与原来的图片，形状相同，但大小不一定相同，故正确；（2）幻灯的底片与投影在屏幕上的图象，形状相同，但大小不一定相同，故正确；（3）天空中两朵白云的照片，属于形状不唯一确定的图形，故错误；（4）卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片，属于形状不唯一确定的图形，故错误．故选C． 7. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 10 【答案】B 【解析】设这个多边形最短边是x，∵两个多边形相似，∴，解得：x=8． 故选：B． 8．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】∵ABCD是矩形，∴AD=BC，∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F，∴ ，∵矩形AEFD与矩形ABCD相似，∴ ，∴ ， ， ，∴，∴ ，故选：B． 9．如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】 A 【解析】利用相似图形的判定方法：对应角相等，对应边成比例的图形相似，即可判断出结果．∵矩形对应边外平移1个单位后，对应边的比值不一定相等，∴变化前后的两个矩形不相似，∵三角形，菱形、正方形边长改变后对应比值仍相等，且对应角相等，∴变化前后的两个三角形、菱形、两个正方形相似.故选A. 10．如图四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A．70° B．80° C．110° D．120° 【答案】D 【解析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ，∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D （二）填空题 11.（2025贵阳云岩期末）相似三角形周长比3:7，面积比________。 【答案】：9:49 【解析】：面积比=周长比平方=3²:7²=9:49。 12.（2026贵阳经开一模）相似多边形对应边_________，对应角_____。 【答案】：成比例；相等 【解析】：相似多边形定义与核心判定依据。 13.（2026贵阳南明二模）四边形相似比4:9，小边长12，对应大边长________。 【答案】：27 【解析】：=，x=27。 14.（2025贵阳花溪期末）正方形边长扩大3倍，面积扩大________倍。 【答案】：9 【解析】：边长比1:3，面积比1:9，扩大9倍。 15.（2026贵阳观山湖三模）△ABC∽△A'B'C'，∠B=50°，∠C=60°，则∠A'=________。 【答案】：70° 【解析】：∠A=180-50-60=70°，对应角∠A'=70°。 16.（2025贵阳乌当中期）相似梯形上下底3、6，腰4，另一梯形对应腰________。 【答案】：8 【解析】：相似比1:2，腰长4×2=8。 17.（2026贵阳白云一模）多边形周长比5:2，相似比________。 【答案】：5:2 【解析】：相似多边形周长比=相似比。 18.（2025贵阳清镇期末）相似四边形面积比1:16，相似比________。 【答案】：1:4 【解析】：相似比=:=1:4。 19.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____________. 【答案】 【解析】∵AB=1，设AD=，则FD=，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，解得,,（负值舍去），经检验是原方程的解．故选B． 20.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE， 它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为______. 【答案】 【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为，同理可得，第三个六角形的面积为：=， 第四个六角形的面积为：，故答案为：. （三）解答题 21.如图所示，将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） 解：可以按如下方法分割： 22．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． （1）∠B＝　 　°． （2）求边x，y的长度． 解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴∠C＝∠C'＝135°， ∴∠B＝360°﹣60°﹣96°﹣135°＝69°，故答案为69°； （2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，，解得x＝4，y＝18． 23. 阅读下列短文，并回答下列问题：我们把相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，我们就把它们叫作相似体． 如图，甲、乙是两个不同正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比( a ∶ b )，设S 甲 ，S 乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 ．又设V 甲 ，V 乙 分别表示这两个正方体的体积，则． （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体   D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三个主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于__________；②相似体的表面积的比等于__________；③相似体的体积比等于__________． 解：(1)球体形状都一样，大小不一样，故选A. (2)①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于相似比；②相似体的表面积的比等于相似比的平方；③相似体的体积比等于相似比的立方． 24.一个矩形ABCD的较短边长为2． （1） 如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2） 如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，，∴DM•BC=AB•MN，即BC2=4， ∴BC=，即它的另一边长为；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∴=，∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，∴矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2． 25.如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为mo和no，将菱形的“接近度”定义为∣m-n∣，于是∣m-n∣越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为70o，则该菱形的“接近度”等于________； ②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形． （2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≥b），将矩形的“接近度”定义为∣a-b∣，于是∣a-b∣越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义． 解：（1）40o 0 （2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但∣a-b∣却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为， 越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形与正方形的形状差异越大； 当=1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形 26.分类讨论如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20. (1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由； (2)如图②，x为多少时，图中的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？ 解：(1)不相似． 理由：因为AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而≠， 所以矩形ABCD与矩形A′B′C′D′不相似． (2)若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似，则＝或＝， 则＝或＝， 解得x＝1.5或x＝9. 故当x为1.5或9时，矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似． 27．探究下列问题： (1)图①中的两个矩形相似吗？ (2)图②中的两个矩形能否相似？若能相似，则x，y满足什么关系？ (3)图③中的矩形ABCD与矩形AFED能否相似？若能相似，则x的值是多少(其中a>b)? 解：(1)如果两个矩形相似，只能是＝，由此得到x＝0，不合题意，故图①中的两个矩形不相似． (2)能相似．若相似，则＝或＝，即＝(0<y<16)或y＝x－9(7.2<x<20)． (3)能相似．若相似，则＝，所以x＝. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026-2027学年北师大版九年级数学上预习手册9 《第3章图形的相似第1节相似多边形》预习讲义 一．学习目标 ( 1.结合生活实例，理解相似图形、相似多边形的定义，精准掌握相似多边形的两大核心特征，熟记相似比的概念及含义。 2.能准确判断两个多边形是否为相似多边形，会求解简单相似多边形的相似比、对应边长，初步掌握相似多边形的基础性质。 3.经历观察、对比、归纳的探究过程，感受图形缩放的几何变换思想，培养几何直观与归纳推理的数学思维。 ) 二．重点难点 ( （一） 重点 1.相似多边形的定义与核心判定条件。 2.相似多边形的对应角、对应边的性质应用。 （二） 难点 1.区分 “ 形状相同、大小不同 ” 的相似本质，规避 “ 仅有边成比例或仅有角相等就判定相似 ” 的易错误区。 2.准确找准相似多边形的对应边、对应角，正确计算相似比。 ) 三．知识梳理 （一）认识相似图形（直观感知） 仔细观察以下常见图形：同一张照片的原图与放大图、大小不同的正方形、放大镜观察的文字、不同尺寸的同款图片。 【思考】：这些图形的共同特点是形状______，大小______。 【概念归纳】 1.定义：形状相同的图形叫做相似图形。 2.相似图形只要求形状一致，大小可以相等也可以不相等；大小相同的相似图形即为全等图形，全等是特殊的相似。 （二）相似多边形的定义（核心新知） 1.图形对比探究 观察四组多边形： 2.定义：如果两个边数相同的多边形满足两个条件：①对应角相等；②对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 3.相似比：相似多边形对应边的比叫做这两个多边形的相似比。 【温馨提示】： （1）相似比有顺序性，多边形A与多边形B的相似比，和多边形B与多边形A的相似比互为倒数； （2）当相似比为1:1时，两个多边形全等。 4.相似多边形的表示 如图，五边形ABCD和五边形A1B1C1D1形状相同，大小不同. 记作: 四边形四边形，符号:“∽”读作相似于，书写要求:对应顶点字母顺序必须对应。 （三）相似多边形的性质 根据相似多边形的定义，自主归纳核心性质： 1.相似多边形的对应角相等； 2.相似多边形的对应边成比例； 3.拓展： （1）相似多边形的周长比=相似比 （2）相似多边形的面积比=相似比的平方 （四）相似多边形的判定 【思考1】两个多边形角都相等，一定相似？ 举例：长方形四个角均为90°，长4宽2的长方形和长5宽2的长方形，角全部相等，边是否成比例？是否相似？ 【结论】：仅仅对应角相等的多边形，不一定相似。 【思考2】两个多边形边成比例，一定相似？ 举例：菱形四条边对应成比例，但内角不相等，两个菱形是否相似？ 【结论】：仅仅对应边成比例的多边形，不一定相似。 3.核心总结 多边形相似必须同时满足两个条件，缺一不可：对应角相等，对应边成比例。 四．经典例题 例1.（2025贵阳云岩区期末）下列图形一定是相似多边形的是（ ） A.任意两个矩形 B.任意两个菱形 C.任意两个正方形 D.任意两个等腰梯形 例2.（2026贵阳南明区一模）两个相似五边形相似比为2:3，则它们对应周长比为（ ） A.2:3 B.4:9 C.: D.3:2 例3.（2025贵阳花溪区期中）四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A=70°，∠B=80°，∠C'=120°，则∠D=（ ） A.70° B.80° C.90° D.100° 例4.（2026贵阳观山湖区二模）矩形ABCD与矩形EFGH相似，AB=4，BC=6，EF=2，则FG=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 例5.（2025贵阳乌当区期末）相似多边形对应边_______，对应角________。 例6.（2026贵阳白云区三模）△ABC∽△A1B1C1，相似比1:5，则△A1B1C1与△ABC周长比________。 例7.（2025贵阳清镇市期中）两个相似四边形最长边分别为10cm、15cm，较小四边形周长24cm，则较大四边形周长_______cm。 例8.（2026贵阳修文县一模）四边形ABCD∽四边形PQRS，AB:PQ=3:2，CD=9，则RS=________。 例9．如图所示的两个五边形相似，根据图中标注数据求a，b，c的值以及∠α和∠β的度数． 例10．如图，把矩形ABCD沿一组对边AB，CD的中点E，F的连线对折，得到两个全等的小矩形．若AB＝BC，矩形ADFE与矩形ABCD相似吗？为什么？ 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2025贵阳云岩区期中）下列一定相似的是（ ） A.两个直角三角形 B.两个等腰三角形 C.两个等边三角形 D.两个平行四边形 2.（2026贵阳南明区一模）相似多边形面积比9:4，则相似比（ ） A.3:2 B.2:3 C.9:4 D.4:9 3.（2025贵阳花溪区期末）五边形ABCDE∽五边形A₁B₁C₁D₁E₁，∠D=135°，则∠D₁=（ ） A.45° B.135° C.55° D.125° 4.（2026贵阳观山湖二模）△ABC与△DEF相似比3:5，△ABC周长18，则△DEF周长（ ） A.30 B.10.8 C.54 D.25 5.（2025贵阳乌当区期中）菱形ABCD∽菱形A'B'C'D'，∠A=60°，则∠A'=（ ） A.30° B.60° C.120° D.无法确定 6.（2026贵阳白云区三模）两个相似梯形上底2、4，下底4、8，较小腰长3，则较大腰长（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 7.（2024九上·沈阳期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 8.（2025九上·杭州期末）如图，照片E放大到F这种图形变化是（　　） A．相似 B．平移 C．旋转 D．轴对称 （二）填空题 9.（2025贵阳清镇期末）相似多边形周长比=相似比，面积比=________。 10.（2026贵阳修文一模）四边形相似比5:7，小周长35，则大周长________。 11.（2025贵阳开阳期中）正方形边长2与4，相似比________，面积比________。 12.（2026贵阳息烽二模）多边形对应角相等、对应边________，即为相似多边形。 13.（2025贵阳贵安新区期末）△ABC∽△A'B'C'，AB=5，A'B'=10，则相似比________。 14.（2026贵阳经开一模）相似四边形一组对应边6、9，小面积12，则大面积________。 15．古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的________.（选填“轴对称”“平移”“旋转”“相似”） 16. 如图，在长8 cm、宽4 cm的矩形中截去一个矩形(阴影部分)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的宽为________cm. （三）解答题 17．画出下面平行四边形按2：1放大后的图形，再画出下面梯形按1：3缩小后的图形． 18．如图，一个长为90m，宽为60m的矩形广场内有两横和两纵四条小路，且小路内外边缘所围成的两个矩形相似，若两条横向小路的宽均为1.2m，则两条纵向小路的宽均为多少米？ 19．如图，有一个半径为50米的圆形草坪，现在沿草坪的四周开辟了宽10米的环形跑道，那么： (1)草坪的外边缘与环形跑道的外边缘所成的两个圆相似吗？ (2)这两个圆的半径之比和周长之比分别是多少？它们有什么关系吗？ 20．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，连接EB，GD. (1)求证：EB＝GD； (2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2026贵阳观山湖一模）下列图形不一定相似的是（ ） A.所有圆 B.所有等边三角形 C.所有正方形 D.所有矩形 2.（2025贵阳乌当期末）相似多边形相似比1:4，面积比（ ） A.1:4 B.4:1 C.1:16 D.16:1 3.（2026贵阳白云二模）四边形ABCD∽A₁B₁C₁D₁，∠A=85°，则∠A₁=（） A.85° B.95° C.105° D.75° 4.（2025贵阳清镇期中）△ABC∽△DEF，周长比2:5，则对应边长比（ ） A.2:5 B.5:2 C.4:25 D.25:4 5. 下列各种图形相似的是（ ） A. （1）、（2） B. （3）、（4） C. （1）、（3） D. （1）、（4） 6. 下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片．其中相似的组数有( ) A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 7. 一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 10 8．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形ABCD相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 9．如图，分别将三角形、矩形、菱形、正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到下列图形，其中变化前后的两个图形不一定相似的有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 10．如图四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ） A．70° B．80° C．110° D．120° （二）填空题 11.（2025贵阳云岩期末）相似三角形周长比3:7，面积比________。 12.（2026贵阳经开一模）相似多边形对应边_________，对应角_____。 13.（2026贵阳南明二模）四边形相似比4:9，小边长12，对应大边长________。 14.（2025贵阳花溪期末）正方形边长扩大3倍，面积扩大________倍。 15.（2026贵阳观山湖三模）△ABC∽△A'B'C'，∠B=50°，∠C=60°，则∠A'=________。 16.（2025贵阳乌当中期）相似梯形上下底3、6，腰4，另一梯形对应腰________。 17.（2026贵阳白云一模）多边形周长比5:2，相似比________。 18.（2025贵阳清镇期末）相似四边形面积比1:16，相似比________。 19.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=_____________. 20.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE， 它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为______. （三）解答题 21.如图所示，将下列图形分别分成四小块，使它们的形状、大小完全相同，并且与原图形相似，应怎样分？（画出大致图形即可） 22．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． （1）∠B＝　 　°． （2）求边x，y的长度． 23. 阅读下列短文，并回答下列问题：我们把相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，我们就把它们叫作相似体． 如图，甲、乙是两个不同正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比( a ∶ b )，设S 甲 ，S 乙 分别表示这两个正方体的表面积，则 ．又设V 甲 ，V 乙 分别表示这两个正方体的体积，则． （1）下列几何体中，一定属于相似体的是（ ） A．两个球体 B．两个圆锥体 C．两个圆柱体   D．两个长方体 （2）请归纳出相似体的三个主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于__________；②相似体的表面积的比等于__________；③相似体的体积比等于__________． 24.一个矩形ABCD的较短边长为2． （1） 如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2） 如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 25.如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为mo和no，将菱形的“接近度”定义为∣m-n∣，于是∣m-n∣越小，菱形越接近于正方形． ①若菱形的一个内角为70o，则该菱形的“接近度”等于________； ②当菱形的“接近度”等于________时，菱形是正方形． （2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≥b），将矩形的“接近度”定义为∣a-b∣，于是∣a-b∣越小，矩形越接近于正方形． 你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义． 26.分类讨论如图，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20. (1)如图①，若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似吗？请说明理由； (2)如图②，x为多少时，图中的两个矩形，即矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？ 27．探究下列问题： (1)图①中的两个矩形相似吗？ (2)图②中的两个矩形能否相似？若能相似，则x，y满足什么关系？ (3)图③中的矩形ABCD与矩形AFED能否相似？若能相似，则x的值是多少(其中a>b)? ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $