2025-2026学年广东省深圳市高一下学期期末冲刺数学模拟卷

**基本信息** 紧密贴合深圳高一学情，以复数、向量、立体几何等核心知识为载体，通过劳动教育调研统计、新定义“相伴向量”等情境，实现基础巩固与创新应用的分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、集合运算、函数性质、立体几何判定、概率互斥独立|第8题结合古典概型考查互斥与独立，发展推理意识| |填空题|3题15分|向量共线、圆台体积、解三角形面积|第14题通过三角形面积与线段关系，体现几何直观| |解答题|5题77分|函数奇偶性与单调性、统计概率、立体几何证明与空间角、解三角形、新定义函数|第16题劳动教育满意度调研，培养数据意识；第19题“相伴向量”新定义，发展创新意识，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年广东省深圳市高一下学期期末冲刺数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法及共轭复数求解即可. 【详解】由， 得， 所以． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算即可求解. 【详解】由题意知. 故选：C. 3．已知，，则（    ） A． B． C．或 D．0 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出、，再代入计算可得. 【详解】因为，， 所以，又， 解得（舍去）或， 所以. 故选：B 4．已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案. 【详解】由， 所以，即， 即，整理得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：B. 5．下列函数中，在定义域范围内既是减函数，又是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合函数奇偶性及单调性的定义，对选项进行检验即可判断． 【详解】对于A，的定义域为， ， ，为偶函数，故A错误， 对于B，的定义域为，解得， ，，为奇函数， 令在上是增函数，在定义域内也是增函数， 根据复合函数的单调性可知，在上是增函数，故B错误， 对于C，的定义域为， ，，为奇函数， 又由对勾函数的性质可知在和上是减函数， 在和上是增函数，故C错误， 对于D，， 恒成立， 的定义域为， ， ，为奇函数， 令在上是减函数，在定义域内也是增函数， 根据复合函数的单调性可知，在上是减函数，故D正确， 故选：D. 6．已知平面，和直线，下列结论正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．若与是异面直线，，，则 【答案】B 【详解】，只有当直线垂直于两个平面交线时，， 当前条件无法推出线面垂直，故A错误； 设，由面面垂直性质，内存在直线垂直于，直线与平行， 且，故，B正确； ，两个平面可以相交， 如两个相交平面内各取一条互相平行的直线，满足条件但平面不平行，故C错误； 异面直线分别在两个平面内，两个平面可以相交，故D错误． 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 【答案】D 【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据的关系判断事件是否独立. 【详解】由，，，即，故A、B互斥，A错误； 由，A、D互斥且对立，B错误； 又，，则，C与D不互斥，C错误； 由，，， 所以，即A与C相互独立，D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 10．下列关于函数的说法正确的是（） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 【答案】AB 【分析】先把通过三角恒等变换化简为,再分别对选项A利用对称轴方程求解验证符合条件,对选项B求出函数单调递增区间并判断给定区间为其子集从而确定递增,对选项C依据三角函数平移规则验证平移结果与原式不符,对选项D求出零点表达式后列出内三个零点,进而确定的取值范围,最终判断各选项正误。 【详解】 选项A：令，解得，当时，，A正确. 选项B：即，令， 因为，所以在区间上单调递增，B正确. 选项C：左移得，C错误. 选项D：令，得，函数在区间上恰有三个零点， 则三个零点只能为：，故，D错误. 11．正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的范围为 【答案】ABC 【分析】A用等体积法求体积判断；B作出截面图形可判断；C当点P和重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球可判断；D把问题转化为线段最值问题即可． 【详解】A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，又， 平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 故到平面的距离为，故三棱锥的体积为， 所以三棱锥的体积为定值，正确； B：当与棱相交时，截面为四边形，当与棱相交时，截面为三角形，正确； C：当点和重合时，三棱锥的外接球，即为正方体的外接球， 故外接球的半径为，故外接球的体积为，正确； D：设点到平面的距离为，由， 又，则， 知点到平面的距离， 当在线段上运动时，， 当为线段的端点时，， 设直线与平面所成角为，错误； 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则______. 【答案】1 【分析】根据向量坐标运算求出的坐标，再利用向量垂直的坐标公式列出方程，最后求解方程即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得． 故答案为：1 13．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 【答案】 【分析】由圆台侧面积公式可得母线长，再求出圆台的高，利用圆台的体积求解即可. 【详解】设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为， 所以圆台的体积为. 14．在中，为边上一点，，，，且的面积为，则的值为__________． 【答案】 【分析】由三角形面积得到，由余弦定理得，利用正弦定理得到答案 【详解】，，， 故，解得，    由勾股定理得，故， 所以，， 设，则，在中，由余弦定理得 ，即， 解得，负值舍去， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 16．（15分）为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． (1)估计满意度评分的中位数； (2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组频率之和为1，则，解得. 前两组的频率之和为，前三组的频率之和为； ，中位数位于区间内. 设中位数为，则，解得. 估计满意度评分的中位数为. （2）满意度评分在的频率为，满意度评分在的频率为，两组频率之比为. 采用分层抽样的方法从这两组中抽取6人，则在中抽取的人数为，记为；在中抽取的人数为，记为. 则从6人中任取2人，所有可能的情况有，，，，，，，，，，，，，，，共15种； 其中一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的情况有，，，，，，，，共8种； . 一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率为. 17．（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又 平面，所以. 又，，，平面，所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可． （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可． （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角． 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3） 取中点，连接，， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，，所以， 所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中， 在中， 在中， 由余弦定理可得，即， 化简得，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 18．（17分）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，进而得到； （2）利用余弦定理和向量运算可构造方程组求得，代入三角形面积公式即可； （3）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、二倍角和辅助角公式可将问题转化为正弦型函数值域问题的求解；根据的范围可求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：，，即， ，. （2）由余弦定理得：…①； 为线段的中点，， ，即…②， ②①得：，解得：， . （3）由正弦定理得：，，， ； 为锐角三角形，，解得：， ，，， 又，，即的取值范围为. 19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量， (1)若， （i）求 （ii）若，且在处取到最大值，求的值. (2)若的最大值为2026，求 的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)2026 【分析】（1）（ⅰ）利用和差角的正余弦公式化简，再利用定义求出及模； （ii）设，利用向量垂直的坐标表示及给定定义，结合三角恒等变换求解. （2）设出的坐标并求出，利用二倍角公式及辅助角公式化简并求出函数最大值，再利用数量积的性质求出最大值. 【详解】（1）（ⅰ）依题意，， 所以的相伴向量，. （ⅱ）设，由，得，即，解得， 则，其中， 依题意，，即，由在处取到最大值，得， 即，因此， 而，所以. （2）设，则，， ， 因此的最大值为， 而， 则，又， 因此，即， 取，则， 且的最大值为2026，符合题意， 所以的最大值为2026. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省深圳市高一下学期期末冲刺数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C．或 D．0 4．已知平面向量的夹角为，且，，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 5．下列函数中，在定义域范围内既是减函数，又是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 6．已知平面，和直线，下列结论正确的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．若与是异面直线，，，则 7．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 8．对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D，其中，，，，，，，，则（    ） A．A与B不互斥 B．A与D互斥但不对立 C．C与D互斥 D．A与C相互独立 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（   ） A． B． C． D． 10．下列关于函数的说法正确的是（） A．直线是函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到 D．若函数在区间上恰有三个零点，则实数m的取值范围为 11．正方体棱长为2，动点在线段上，以下结论正确的为（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．过三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C．当点和重合时，三棱锥的外接球体积为 D．直线与平面所成角的正弦值的范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量，若，则______. 13．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________. 14．在中，为边上一点，，，，且的面积为，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 16．（15分）为调研某校学生的劳动教育课程开展情况，调研人员从全校学生中随机抽取1000名，记录其对劳动教育课程开展情况的满意度评分，学生独立地进行满意度评分．将满意度评分数据整理统计后，得到如下频率分布直方图． (1)估计满意度评分的中位数； (2)现采用分层抽样的方法，从满意度评分在内的学生中随机抽取6人，再从这6人中任取2人，求一人的满意度评分在内，另一人的满意度评分在内的概率． 17．（15分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．（17分）在中，角所对边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若是线段的中点，且，，求； (3)若为锐角三角形，，求的取值范围. 19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数 称向量 为函数的相伴向量，同时称函数为向量 的相伴函数.已知 分别为函数的相伴向量， (1)若， （i）求 （ii）若，且在处取到最大值，求的值. (2)若的最大值为2026，求 的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $