广东省2025～2026学年高一下学期期末数学测试

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过分层设计与真实情境考查数学眼光、思维与语言，如体质健康调查问题体现数据意识，立体几何题培养空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|复数、概率、立体几何、向量|基础概念辨析，如互斥事件判断| |多项选择|3/18|统计、正方体几何、解三角形|多维度能力考查，如线面平行证明| |填空题|3/15|复数运算、独立事件概率、体积计算|简洁性与空间想象结合| |解答题|5/77|解三角形、三角函数、立体几何、统计、动态问题|综合性强，如体质健康调查（数据分析）、动态线段最值（推理能力）|

广东省2025~2026学年第二学期高一期末数学测试 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 2.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件为对立事件 C．事件与事件为互斥事件 D．事件与事件相互独立 3.已知是两个不同的平面， 是三条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A． B． C． D． 4.已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 5.如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 6.甲，乙两人练习射击，击中目标的概率分别为和，若甲，乙两人各射击一次，则目标恰好被击中一次的概率为（    ） A． B． C． D． 7.在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 8.函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（    ） A．20000名学生的数学成绩是总体 B．200名学生是样本 C．每名学生是个体 D．样本容量是200 10.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 11.在中，，，，则（    ） A． B． C． D．外接圆半径是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数满足，则_______． 13.设随机事件，相互独立，且，，则__________． 14.如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 16.（本小题满分15分） 已知向量，设函数． (1)求函数的对称中心； (2)求函数在上的值域． 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 18.（本小题满分17分） 近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； (2)求这人日均体育活动时间不少于的人数； (3)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 19.（本小题满分17分） 在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)判断的形状； (2)已知，，点，是边上的两个动点（，不重合，且点靠近，点靠近），记，，. ①当时，求线段长的最小值； ②是否存在常数和，使得对所有，都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省2025~2026学年第二学期高一期末数学测试 （时长：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合复数模的公式，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以. 2.掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与事件为对立事件 C．事件与事件为互斥事件 D．事件与事件相互独立 【答案】D 【分析】由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可. 【详解】由题意得，故A错误， ，故B，C错误， ，，所以， 故事件与事件相互独立，故D正确. 3.已知是两个不同的平面， 是三条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，可能情况有、、，无法确定，故A错误； 对于B，可能情况有、、，无法确定，故B错误； 对于C，若一条直线垂直于一个平面， 则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立，故C正确； 对于D，缺少相交的条件，若， 可平行于平面或在平面内，不能推出，故D错误. 4.已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，. . 5.如图，是体积为2的棱柱，则四棱锥的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据棱锥与棱柱的体积关系求解． 【详解】∵， ∴， 故选：D． 6.甲，乙两人练习射击，击中目标的概率分别为和，若甲，乙两人各射击一次，则目标恰好被击中一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出各射击一次时甲中乙不中，与甲不中乙中的概率，再相加即可 【详解】射击一次： 甲中乙不中：， 甲不中乙中：， 目标恰好被击中一次的概率为： 故选：C 7.在中，若，则一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状. 【详解】由, 所以：. 因为为三角形内角，所以. 所以为等腰三角形. 故选：A 8.函数，的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. ∵ 当时，，∴ ， ∴ ，此时. 画出的大致图像如图所示： 观察图象可得，要想有且仅有两个交点，则. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（    ） A．20000名学生的数学成绩是总体 B．200名学生是样本 C．每名学生是个体 D．样本容量是200 【答案】AD 【分析】根据统计中总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断各选项. 【详解】总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩， 因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确， 又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体， 因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误， 个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误， 样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩， 因此样本容量为200，D选项正确. 10.如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为90° B． C．直线平面 D．三棱锥的体积为1 【答案】AC 【详解】A：由正方体的性质可知：平面， 因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此本选项结论不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故本选项结论正确； D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故本选项结论不正确； 11.在中，，，，则（    ） A． B． C． D．外接圆半径是 【答案】AC 【分析】应用二倍角正弦公式结合同角三角函数关系计算判断A，应用余弦定理结合二倍角余弦公式计算判断B，应用平面数量积公式计算判断C，应用正弦定理判断D. 【详解】对于A，在中，，则， 则，故A正确； 对于B，因为，，， 由余弦定理，得，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，设外接圆半径为，由正弦定理，得，则外接圆半径为，故D错误； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数满足，则_______． 【答案】 【详解】设，则，， 即， 故. 13.设随机事件，相互独立，且，，则__________． 【答案】0.7/ 【分析】由独立事件的乘法公式结合随机事件的加法公式即可求解. 【详解】由题意得， 则. 14.如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为_________________． 【答案】 【分析】借助等体积法及三棱锥体积公式计算即可得. 【详解】， 则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)若，求的面积． 【答案】【小题1】 【小题2】 【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求的大小； （2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积. 【详解】（1），可得 又 （2）由正弦定理得，， 由余弦定理，,可得，， 联立方程组整理得，，所以或（舍）． 16.（本小题满分15分） 已知向量，设函数． (1)求函数的对称中心； (2)求函数在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，再求其对称中心即可； （2）根据条件求出整体角的范围，结合正弦函数的图象，即得函数的值域. 【详解】（1）， 由，可得， 故函数的对称中心为. （2）由，可得， 由正弦函数的图象可得， 故函数在上的值域为. 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若三棱柱的体积为18，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1） 连接，可证四边形是平行四边形，从而得到，   利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用三棱柱的几何性质，利用棱柱、棱锥的体积公式，结合已知条件求出底面面积关系，进而求出四棱锥的体积． 【详解】（1）连接，分别是棱的中点， ，    在三棱柱中，． 是棱的中点，， ， 则四边形是平行四边形， ，             平面，平面， 平面． （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积， 从而三棱锥的体积，   故四棱锥的体积， 设的面积为，的面积为，的面积为， 是棱的中点，， 四边形的面积是四边形面积的， 四棱锥的体积为． 18.（本小题满分17分） 近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间．某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示． (1)求的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数； (2)求这人日均体育活动时间不少于的人数； (3)现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率． 【答案】(1)， (2)人 (3) 【分析】（1）利用频率直方图的性质求解，并计算平均数； （2）利用频率直方图得出不少于的是两组，再利用频率直方图的性质计算求出人数； （3）先结合频率直方图计算出分层抽样在和中分别抽取的学生数，再利用组合公式计算概率． 【详解】（1）频率分布直方图小矩形面积为1，即，解得， 所求平均数为：． （2）频率分布直方图中不少于的是两组， 这人日均体育活动时间不少于的人数为：人． （3）日均体育活动时间在和的中学生频率之比为， ，，则日均体育活动时间在和的中学生分别抽取4人和2人， 方法一：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A，则 ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 方法二：设从这6人中抽取3人，至多有1人体育活动时间超过为事件A， ， 至多有1人体育活动时间超过的概率为． 19.（本小题满分17分） 在中，角，，所对的边分别为，，，，. (1)判断的形状； (2)已知，，点，是边上的两个动点（，不重合，且点靠近，点靠近），记，，. ①当时，求线段长的最小值； ②是否存在常数和，使得对所有，都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)直角三角形 (2)①；②存在，， 【分析】（1）利用三角形的内角和定理和诱导公式将化为，再利用两角和差公式和二倍角公式进行化简可得，进而可得结果； (2)①设，，在中利用正弦定理求出,，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质进行求解； ②假设存在常数和，利用三角恒等变形得到恒等式，将其转化为进行求解． 【详解】（1）在中，由，得． 所以，即． 又由已知，所以，所以，为直角三角形； （2）①由（1）及已知，，， 则，． 在中，由，得，， 在中，由， 得，， 当，即时，． ②假设存在常数，，使对所有，成立． 由 ， 又， 则， 可得． 即对所有，都成立． 由为定值，所以， 因为，所以． 即，，则． 故，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $