精品解析：广东省深圳市深圳科学高中2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

深圳科学高中2024-2025学年第二学期期末考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：1 50分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数单调性解一元三次不等式集合，通过解一元二次不等式求出集合，再进行交集运算即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以由可解得，所以， 由可得，解得，所以， 所以. 故选：C. 2. 设，向量，，则是的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，结合充分必要条件定义即可判断. 【详解】若，则，，则，所以； 若，则，得. 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】由题意，， 在中， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为， 故选：D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，函数的最小正周期为，但在上单调递减，故B错误； 对于C，函数的最小正周期为，在上单调递增，故C正确； 对于D，函数的最小正周期为，故D错误. 故选：C. 5. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出溶液的上底面半径为，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为溶液高度恰为5cm，所以溶液的上底面半径为， 下底面半径为，高为， 所以溶液的体积. 故选：B 6. 四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为2，中位数为1 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，极差为4 D. 平均数为2，方差为2.4 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、众数、极差、方差的定义逐一分析选项即可. 【详解】对于A，平均数为2，中位数为1，说明5次点数总和为，且将5次点数从小到大排序，第三位为1， 则从小到大排序前三位是1,1,1，后两位点数之和为，不确定是否出现点数6，故A错误； 对于B，中位数为3，众数为2，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3，且2至少出现过两次， 则从小到大排序前三位是2,2,3，后两位不确定是否出现点数6，故B错误； 对于C，中位数为3，极差为4，说明将5次点数从小到大排序，第三位为3， 极差可能是，也可能是，不确定是否出现点数6，故C错误； 对于D，平均数为2，方差为2.4，说明5次点数总和为， 若出现点数6，则其他四次点数之和为，只能是1,1,1,1， 则方差， 所以一定没有出现点数6，故D正确. 故选：D. 7. 早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间的距离.对该测量过程进行简化后，得到如下平面示意图，设为地心，为月球表面上一点，为圆上不同的两点，地球半径的长记为，经测量，，则地月距离OC用可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理求；在中，由余弦定理求． 【详解】解：，，， ， ； 在中，， . ， ． 又，， 所以， 故选：A 8. 在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合已知可得，利用共面求. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可判断A选项；利用共轭复数的定义可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数的几何意义可判断D选项. 【详解】因为复数满足，则， 对于A选项，的虚部为，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，D对. 故选：ACD. 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案． 【详解】根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则 ， ， ， 所以有， ， 对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误； 对于B，，A、C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误． 故选：BC． 11. 如图，两个边长均为1正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 三棱锥与三棱锥的体积相等 D. 若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得的长及最小值判断AB；进而可证平面，可判断C，补形为正方体，求得正方体的外接球的半径计算可判断D. 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 过作于，连接， 则， 所以， 故A错误； ，当且仅当时，取等号，所以的最小值为，故B正确； 因为，又易得平面， 所以为平面的一个法向量，又，所以， 又平面，平面，又点， 所以到平面的距离相等， 所以，即三棱锥与三棱锥的体积相等，故C正确； 将原图形补成一个正方体如图所示： 则正方体的外接球符题意， 外接球的直径为，所以， 所以该球的体积是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 【答案】300 【解析】 【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解. 【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人， 则每个学生被抽到的概率为， 可得，解得（人）， 故答案为：. 13. 已知函数若，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解. 【详解】， 所以， 因为时，， 所以，，解得， 故答案为： 14. 已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，作出图形，设，，利用余弦定理求出的值，对点的位置进行分类讨论，求出的值，利用余弦定理结合基本不等式可求出的取值范围，再利用平面向量数量积的定义可求得的取值范围. 【详解】在等腰中，，则， 若，则，矛盾； 若，则，合乎题意 由于余弦定理可得， 设，， 当点在优弧（不包括点、）上运动时，，则， 由余弦定理可得， 所以，，当且仅当点与点重合时，等号成立， 又因为，此时，， 此时，； 当点与点或点重合时，； 当点在劣弧（不包括点、）上运动时，， 此时，， 由余弦定理可得， 即，当且仅当点为劣弧的中点时，等号成立， 又因为，则， 此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为，点为的中点. （1）求平面与平面的夹角的余弦值; （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接，由二面角的定义可知平面与平面的夹角的平面角为，求出、的长，即可求出的余弦值，即为所求； （2）求出三棱锥的体积以及的面积，结合等体积法可求得点到平面的距离. 【小问1详解】 取线段中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，所以， 故平面与平面的夹角的平面角为， 易知，所以， 因为平面，平面，所以， 故，所以. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问2详解】 因为，平面， 故， 由（1）知，且，故， 设点到平面的距离为，则， 因此，点到平面的距离为. 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1），单调递增，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数是奇函数应用计算求参，再代入验证，根据指数函数单调性判断函数单调性，再应用单调性解不等式即可； （2）根据解析式及不等式化简，得出恒成立，再结合指数函数及二次函数最值计算求解. 【小问1详解】 因函数为奇函数，所以，所以， 所以， ，所以符合函数是奇函数，所以； 因为单调递增，单调递减， 所以单调递增， 因为，所以， 所以，所以，解集为：. 【小问2详解】 ，，所以， 所以， 令，所以，， 当时，， 所以，即. 17. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若的周长为，面积为 求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）根据题中条件得到的关系式，结合余弦定理解得的值 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为的周长为，面积为 所以，即 由余弦定理得，即 结合方程化简得，解得 18. 由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 （1）求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； （2）以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关的概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 【答案】（1）；； （2）（i）（ii）无关，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由频率之和为，结合甲开锁1分钟时正好位于中间，从而可求解； （2）（i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况，利用概率的乘法公式算出概率，从而可求解；（ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况；假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况，利用概率的乘法公式算出每种情况的概率，从而可求解. 【小问1详解】 由，又，解得：，， 甲解锁试卷在分钟时正好位于中间， 所以甲在分钟内解开锁的频率为：. 【小问2详解】 由题可知乙在分钟内解开锁的频率为：， 设甲开锁成功为事件，则，乙开锁成功为事件，则， （i）若甲先开始解锁，求团队使用的解锁机会不超过3次就进入下一关总共有：，，共种情况， 所以其概率为：. （ii）假设甲先开锁乙后开锁进入下一关的情况有：，，，,共6种情况， 则甲先开锁乙后开锁进入下一关的概率为: ； 假设乙先开锁甲后开锁进入下一关的情况有：，，，共种情况， 则乙先开锁甲后开锁进入下一关的概率为： ， 因，所以与他们的出场顺序无关. 19. 如图，直四棱柱中，是边长为的等边三角形，，，棱的中点为. （1）求证：平面； （2）现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①存在，且；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可证得，推导出，可得出，由直棱柱的性质得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）①连接、、、，分析可知异面直线与所成的角为或其补角，由余弦定理求出的长，然后在中利用余弦定理求出的值，即可得出角的值； ②过点在底面内作，垂足为点，连接、，求出、的长，，利用换元法、基本不等式以及对勾函数的单调性可求得的最大值，即为所求. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理可得， 即，解得， 由勾股定理可得，故， 在底面中，因为，故，则， 在直四棱柱中，平面，平面，所以， 因为，、平面，因此，平面. 【小问2详解】 ①连接、、、，如图所示： 因为，，为的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 故异面直线与所成的角为或其补角， 在矩形中，， 故为等腰三角形，且为锐角，故， 由余弦定理得，解得， 因为平面，，故平面， 因为平面，，故， 因为四边形为平行四边形，所以， 在中，，，, 由余弦定理可得， 因为，故，故，所以， 故存在满足条件的，使得直线与直线所成角的余弦值为，且； ②过点在底面内作，垂足为点，连接、， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，， 当时，即当时，， 所以， 此时， 所以 ， 所以，， 令，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立； 当时，，则， 令，则， ， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 此时， 由于，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳科学高中2024-2025学年第二学期期末考试试题 科目：高一数学 考试时长：120分钟 卷面总分：1 50分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，则是的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为1cm和5cm，高为10cm（器皿厚度忽略不计）.现将该器皿水平放置后（上底位于上方）注入盐酸溶液，若溶液高度恰为5cm，则溶液体积为（ ） A. B. C. D. 6. 四名同学A，B，C，D各掷骰子5次，分别记录自己每次骰子出现的点数.根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为2，中位数为1 B. 中位数为3，众数为2 C. 中位数为3，极差为4 D. 平均数为2，方差为2.4 7. 早在1671年，两位法国天文学家就已经成功测量出了地球与月球之间距离.对该测量过程进行简化后，得到如下平面示意图，设为地心，为月球表面上一点，为圆上不同的两点，地球半径的长记为，经测量，，则地月距离OC用可以表示为（ ） A. B. C. D. 8. 在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，其中为虚数单位，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（ ） A. A与B互斥 B. A与C相互独立 C. D. 11. 如图，两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直.点，分别是对角线，上的动点，且，的长度相等，记，点是线段上的一点.下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是 C. 三棱锥与三棱锥的体积相等 D. 若点，，，，，在同一个球的球面上，则该球的体积是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则________. 13. 已知函数若，则________． 14. 已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，正方体的棱长为，点为的中点. （1）求平面与平面的夹角的余弦值; （2）求点到平面的距离. 16. 已知函数为奇函数. （1）求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集； （2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 17. 已知分别为三个内角的对边，满足 （1）求; （2）若周长为，面积为 求. 18. 由甲、乙两个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，规则如下： ①一共2道相同的密码锁，每一道密码锁都必须在1分钟以内解锁完毕才算解锁成功，否则视为解锁失败； ②第一关开始前，2人需决定由谁先开始解锁，且第一位解锁人有2次连续解锁机会，第二位解锁人也有2次连续解锁机会，第一位用完2次机会后若仍然有密码锁未被解锁成功，则替换为下一位解锁人解锁； ③若2道密码锁均被解锁成功，团队立刻进入下一关，否则视为该团队失败，淘汰出局.现根据以往100次的测试，分别获得如下甲、乙解开1道密码锁所需时间的频率分布直方图，其中 （1）求a、b的值，并求出甲解开1道密码锁的时间在1分钟以内的频率； （2）以甲、乙解开1道密码锁所需时间位于各区间的频率代替概率，且甲、乙2人每次是否成功解开密码锁相互独立，解答下列问题： （i）若2人决定由甲先开始解锁，求团队使用解锁机会不超过3次就进入下一关的概率； （ii）你认为甲、乙两人进入下一关概率是否与他们的出场顺序有关?试通过计算说明理由. 19. 如图，直四棱柱中，是边长为等边三角形，，，棱的中点为. （1）求证：平面； （2）现在将矩形以边所在直线为旋转轴，逆时针旋转至矩形，解答下列问题： （i）在旋转过程中，是否存在，使得直线与直线所成角的余弦值为？若存在，求出满足条件的；若不存在，请说明理由； （ii）在旋转过程中，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $