利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求边长 利用正方形的性质求面积 正方形的证明问题 考点一 利用正方形的性质求角度 例1．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，在正方形中，点为对角线上一点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·陕西渭南·月考）如图，是正方形的对角线上一点，且，连接，则的度数是 ． 例4．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．若四边形的面积为，，则旋转角度为 ；的长为 ． 变式1．（2025·陕西渭南·一模）如图，是正方形的一条对角线，延长至点E，使得，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·甘肃甘南·期中）如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为 ． 变式4．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，以正方形的一边向形外作等边，与交于点，则 °． 考点二 利用正方形的性质求边长 例1．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）正方形的一条对角线长为，则另一条对角线长为（    ） A．2 B．4 C．8 D． 例2．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形为正方形，，于是绕点逆时针旋转60°得到，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·辽宁本溪·月考）如图，在正方形中，，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的长为 ． 例4．（25-26九年级上·广西南宁·月考）如图，正方形中，为延长线上一点，取的中点，连接和．若，则的最大值为 ． 变式1．（25-26九年级上·天津河西·月考）如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知在边长为2的正方形中，点E为对角线上一点，且，过点E作交于点F，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·天津·一模）如图，正方形边长为6，点E在边上，，且，G为的中点，则：    （1）的度数为 ； （2）的长为 ． 变式4．（25-26九年级上·湖南·月考）如图，正方形沿对角线对折得，已知，，点为边上的点，点在边上移动，若的最小值是，则 ． 考点三 利用正方形的性质求面积 例1．（25-26九年级上·江西九江·期中）如图，三个边长为4cm的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分（阴影）的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、64，则阴影部分的面积为（    ） A．89 B．64 C．69 D．49 例3．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）如图，在△中，，，以△的各边为边作三个正方形，点落在上，若正方形的面积是15，，则阴影部分的面积为 ． 例4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，正方形的面积为4，分别取，，，的中点得到正方形；再分别取，的中点得到正方形；…．则正方形．的面积为 变式1．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级上·福建漳州·期中）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为（   ） A．100 B．63 C．58 D．56 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为 ． 变式4．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为 ． 考点四 正方形的证明问题 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点P是矩形的边的延长线上一点，连接，过点B作于点E．过点D作于点F，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 例2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，点是矩形内一点，，把绕点按顺时针方向旋转，得到（点对应点，点对应点）．延长交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，，求． 例3．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 变式1．（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 变式2．（25-26九年级上·广东河源·月考）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 变式3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，是边上的中线，以为边作，连接分别与相交于点． (1)求证：四边形为正方形； (2)若，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 考点目录 利用正方形的性质求角度 利用正方形的性质求边长 利用正方形的性质求面积 正方形的证明问题 考点一 利用正方形的性质求角度 例1.(25-26九年级上河南郑州月考)如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点.若∠AEB=65°，则 ∠CBE的度数为() E B A.15 B.20 C.25 D.30 【答案】B 【详解】解：：正方形ABCD中，AB=BC,∠ABC=90°， :∠ACB=∠CAB=45°， :∠AEB=65°，∠AEB=∠ACB+∠CBE, :LCBE=∠AEB-∠ACB=65°-45°=20°， 故选：B. 例2.(25-26九年级上·辽宁沈阳期末)如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，∠CDE的度数为() D B A.75° B.60° C.45° D.30° 【答案】A 【详解】解：四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形， ∴BC=CD=CE,∠BCD=90°，∠BCE=60°， ∠DCE=90°-60°=30°， 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 ÷∠cDE=∠CED=180°-30°-75°. 2 故选：A. 例3.(25-26九年级上·陕西渭南月考)如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一点，且CE=CB,连接BE,则 ∠AEB的度数是 【答案】112.5° 【详解】解：在正方形ABCD中， 则LACB=45°， CE =CB, 六∠CEB=∠CBE=180°-450 =67.5°， ∠AEB=180°-67.5°=112.5°. 故答案为：112.5 例4.(25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中)如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺 时针旋转到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为144，AE=13,则旋转角度为 ；DE的长 为」 E B 【答案】 90° 【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAD=90°，则∠DAE+LBAE=90°， :把ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置， .∠BAF=∠DAE, 则∠BAF+LBAE=90°=∠EAF, :旋转角度为90°； :由旋转的性质可知，S。ABF=S4DE, .SE方形4BCD=S四边形1EcF=144,即AD2=144, 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 解得AD=12, 在RtAADE中，LD=90°，AE=13,AD=12,则由勾股定理可得DE=√AE2-AD2=V132-122=5; 故答案为：90°，5. 变式1.(2025·陕西渭南·一模)如图，AC是正方形ABCD的一条对角线，延长BC至点E,使得CE=AC,连接 AE,则∠E的度数为() B E A.22.5° B.30° C.32.5° D.35 【答案】A 【详解】解：AC是正方形ABCD的一条对角线， ·∠ACB=45°， CE=AC, ·∠CAE=LE, .LACB=∠CAE+LE=2LE=45°， LE=22.5°； 故选A. 变式2.(25-26九年级上·甘肃甘南期中)如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接BP,若 ∠BPC=55°，则LPBC的度数为() D B A.80° B.75 C.70° D.65° 【答案】A 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， LBCA=45°， 在△BCP中，LBPC=55°， ∴.∠PBC=180°-∠BPC+∠BCA)=180°-55°+45)=80°. 故选：A· 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 变式3.(25-26九年级上·重庆月考)如图，在正方形ABCD中，点E为AD边的中点，将aCDE沿CE折叠，使点 D落在正方形ABCD的内部一点F处，则∠AFB的度数为」 A D F B 【答案】135°135度 【详解】：四边形ABCD是正方形，点E为AD边的中点， ∴BC=DC,AE=DE,∠D=∠BCD=90°， 由折叠得：FC=DC,FE=DE,∠CFE=∠D=90P,∠DEC=∠FEC=}∠DER,∠DCE=∠FCE=∠DCF, 2 ,AE=FE,BC=FC,∠DEF=2∠DEC, ∠EB4=∠BR,∠CFB=∠CF-80-∠BcF=90-BcF, .∠DEF=∠EFA+∠EAF=2∠EFA, :2LEFA=2∠DEC, ·∠EFA=∠DEC=90°-∠DCE=90°-1 ∠DCF, 2 ∠CB+∠EF1=180-<BcF+∠DCr=18r- ∠BCD=135, ∴.∠AFB=360°-∠CFB+∠EFA-∠CFE=135°. 故答案为：135°. 变式4.(25-26九年级上山东青岛月考)如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE,BD与EC交于点F, 则∠AFD= B B 【答案】60° 【详解】解：~四边形ABCD是正方形， BC=BA,∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°， 又~BF=BF, 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 AABF≌△CBF(SAS), .ZAFB ZCFB ~△ABE是等边三角形， ∴AB=BE,∠ABE=60°， ∴BC=BE,LCBE=LABC+LABE=150°， :∠BEC=∠BCE=180°-∠CBE-15°， 2 ∠BFC=180°-15°-45°=120°， ∠AFB=120°， ∠AFD=180°-∠AFB=60°， 故答案为：60°. 5 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 考点二 利用正方形的性质求边长 例1.(25-26九年级上宁夏固原期中)正方形的一条对角线长为8，则另一条对角线长为() A.2 B.4 C.8 D.4√2 【答案】C 【详解】解：正方形的两条对角线相等，且已知一条对角线长为8， “另一条对角线长也为8. 故选：C 例2.(24-25九年级下·湖北黄石·期中)如图，四边形ABCD为正方形，AB=2,于是ABC绕点A逆时针旋转60° 得到△AEF,连接DF,则DF的长为() F A.6-√2 B.V2-1 C.5 D.2 【答案】A 【详解】解：如图，连接FC,延长FD交AC于点G. B 四边形ABCD为正方形， ∠ADC=90°，AB=AD=DC=2, AC=VAD2+CD2=V22+22=2V2. ~ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF, AC=AF,∠FAC=60°， ∴△ACF是等边三角形， ∴AF=CF=AC=2√2， AD=DC, 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 ∴点D、F都在AC的垂直平分线上， ∴DF是AC的垂直平分线， ACLGF AG- Gf=VAF2-AG=V2列-(=6， ∠ADC=90°，AG=)4C DG=4C=5. ∴DF=FG-DG=√6-√2. 故选：A 例3.(25-26九年级上·辽宁本溪·月考)如图，在正方形ABCD中，AB=5,E为对角线BD上一点，F为CD延长 线上一点，满足AE=EF,AD平分∠FAE,则DF的长为 B D 【答案】5√2-5/-5+5V2 【详解】解：作MN⊥AB,如图所示： A E D N 则四边形ADNM为矩形， AM=DN,∠ENF=∠AME=90°， 由题意得：∠EDN=45°， ∠DEN=45°=LEDN, :.EN DN AM AE =EF, RtA AME≌Rt△ENF(HL, 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 ·∠AEM=LEFN, LEFN+∠FEN=90°， LAEM+∠FEN=90°， ∠AEF=90°，即△AEF是等腰直角三角形， ∠EFA=∠EAF=45°， AD平分∠FAE, ∠FAD=∠FAE=22.5°， 2 ∠ADF=90°， .∠AFD=67.5°， ∴∠EFD=∠AFD-∠EFA=22.5°， ∠DEF=∠EDN-∠EFD=22.5°=∠EFD,∠FEN=67.5°=∠EAM, :.DF=DE, ∠ABE=45°，∠EAM=67.5°， ∠BEA=67.5°=∠EAM, .BE AB=5, ~BD=√2AB=5√2， ∴DF=DE=BD-AB=5V2-5, 故答案为：5√2-5 例4.(25-26九年级上广西南宁·月考)如图，正方形ABCD中，E为BA延长线上一点，取DE的中点M,连接 MA和MC,若MA=1,则MC的最大值为 D E A B 【答案】1+√2 【详解】解：如图，在DM的右侧构造等腰直角三角形DMF DM=DF,∠MDF=90),连接CF, D M 四边形ABCD是正方形， B 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 .∠DAB=∠ADC=90°，DA=DC, .∠DAE=90°， EM DM :AM EM DM =1, :.DM=DF=1, MF=+12=√2， ∠MDF=∠ADC=90°， LADM=∠CDF, DM=DF,DA=DC, .△ADM≌△CDF(SAS), :AM =CF=1, :CM≤CF+FM=1+V2, .CM的最大值为1+√2. 故答案为：1+2. 变式1.(25-26九年级上·天津河西·月考)如图，E是正方形ABCD的边DC上一点，九年(3)班同学仿照教材例 题的做法，把ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为20，DE=2,则AE的长为 () D E B A.4 B.25 C.6 D.2W6 【答案】D 【详解】解：正方形ABCD, ∠ABC=∠D=90°， ~ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置， ∴SADE=SABF,LABF=LADE=90°， .∠ABF+∠ABC=180°， ∴F,B,C三点共线， 0 利用正方形的性质求角度、边长与面积、正方形的证明问题专项训练 ~四边形AECF的面积为20， 六SE方形BCD=S。DE+Sg边形HBCE=S.4Br+Sg造形4BCE=S日边形AECF=20, AD2=20, DE=2, 六Rt△ADE中，AE=√AD2+DE2=V20+22=2V6. 故选：D. 变式2.(25-26九年级上陕西西安·月考)如图，己知在边长为2的正方形ABCD中，点E为对角线BD上一点，且 DE=DC,过点E作EF⊥CE交AD于点F,则DF的长为() D A.2-② B.2-√2 C.2√2-2 D.2+ ② 2 2 【答案】C 【详解】解：~四边形ABCD为正方形，且边长为2， DC=DE=2,BD=22, ∴BE=BD-DE=2√2-2， ~四边形ABCD为正方形， ∴∠EDF=LEBC=45°， DE=DC, .LDEC=∠DCE, 又LDEF+∠DEC=90°，∠ECB+∠DCE=90°， ∴∠DEF=LECB, 在△DFE和BEC中， ∠EDF=∠EBC DE=BC, ∠DEF=∠ECB ∴aDFE≌aBEC(ASA, DF BE=22-2. 10