暑假预习：利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积专项训练-2026年八年级升九年级暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦菱形性质三大应用（求角度、线段长、面积），通过例题与变式系统训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用菱形性质求角度|8题（4例+4变式）|涉及折叠、对角线、平行线|以菱形对角相等、对角线平分内角为核心，结合折叠性质与平行线性质推理角度关系| |利用菱形性质求线段长|8题（4例+4变式）|含对角线计算、中点、动点问题|基于菱形四边相等、对角线垂直平分，结合勾股定理与中点性质求解线段长度| |利用菱形性质求面积|8题（4例+4变式）|包含对角线乘积、平移重叠、实际应用|围绕菱形面积=对角线乘积/2，结合图形变换与实际情境拓展应用|

暑假预习：利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积专项训练 暑假预习：利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积专项训练 考点目录 利用菱形的性质求角度 利用菱形的性质求线段长 利用菱形的性质求面积 考点一 利用菱形的性质求角度 例1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 例4．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 变式1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·江苏·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，在菱形中，，，则________． 变式4．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 考点二 利用菱形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的面积为30，则的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 例3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形的边长为，面积为，点在上移动，，为中点，则的最小值为________． 例4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 变式1．（25-26八年级下·广西柳州·期末）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 变式4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 考点三 利用菱形的性质求面积 例1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积是（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 例2．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，在菱形中，，，则菱形面积为______． 例4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，，分别是菱形的两边，的中点，已知，，则菱形的面积等于_______． 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）在菱形中，，若菱形的边长为8，则面积为______． 变式4．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积专项训练 暑假预习：利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积专项训练 考点目录 利用菱形的性质求角度 利用菱形的性质求线段长 利用菱形的性质求面积 考点一 利用菱形的性质求角度 例1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得，根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 例2．（25-26八年级下·上海宝山·期末）如图，已知、是菱形的对角线，，那么是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出，，，确定，得出，再由菱形的性质求解即可． 【详解】：解：∵菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵菱形， ∴． 例3．（25-26八年级下·广东惠州·阶段检测）如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 例4．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）如图，菱形的对角线、相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接，若，，则的度数为_____． 【答案】/28度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得到，再由得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ∵点为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在菱形中，，点E在上，将沿着折叠，使点B的对应点F正好落在边上，对角线交折痕于点G，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质和折叠的性质解题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（2026·江苏·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，在菱形中，，，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，根据菱形对边平行结合平行线的性质可得的度数，再根据菱形对角线平分一组对角可得的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式4．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 考点二 利用菱形的性质求线段长 例1．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线，的长分别是，，于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分求出，则，由此可解． 【详解】解：如图，设交于点， 菱形的对角线、的长分别是6，8， ，，， ， ， ． 例2．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，若，菱形的面积为30，则的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】菱形的对角线互相平分，且菱形的面积等于其对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∴． 例3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，菱形的边长为，面积为，点在上移动，，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，过点作，过点作于点，过点作轴，根据菱形的性质和勾股定理可以求出点的坐标是，设点的坐标是，则有点的坐标是，把点的坐标用含的代数式表示出来，可得：点的坐标是，根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式可得：，根据任何数的平方都是非负数，可得：的最小值为，所以的最小值是. 【详解】解：如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系， 过点作，过点作于点，过点作轴， 则四边形是矩形， 菱形的边长为， ， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， 点的坐标是， 设， 则点的坐标是， 点的坐标是， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标是， ， 整理得：， 可得：， ， ， 当时，最小， 最小值为， （负值舍去）． 例4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为________． 【答案】 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， 由题意得：，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 变式1．（25-26八年级下·广西柳州·期末）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂（如图1）古典雅致，含蓄灵动．构成某扇窗棂的一个窗格可抽象成如图2所示的菱形，若测得，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质，结合勾股定理求解即可； 【详解】解：设的交点为O， 菱形，且，， 则，， 故； 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（     ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，取的中点，连接，证明，，，为的中位线，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∵F为的中点，E为的中点． ∴为的中位线，，， ∴，，， ∴， ∴. 变式3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，四边形是菱形，，于点，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、勾股定理以及菱形的面积公式.，根据菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的一半，利用勾股定理求出菱形的边长，最后利用等积法（即面积法）建立等式求解高 的长． 【详解】解：∵四边形 是菱形，，， ∴，，，, 在 中，由勾股定理得： . ∴. ∵， ∴ 解得 ． 变式4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】连接、、，作于点，由菱形的性质容易证明，则，因此．由线段公理可得，当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 考点三 利用菱形的性质求面积 例1．（24-25八年级下·广东汕头·期末）已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积是（     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题利用菱形面积等于对角线乘积的一半的性质，直接代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，该菱形两条对角线的长分别为6和8， ∴该菱形的面积． 例2．（25-26八年级下·天津津南·期末）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，由勾股定理可得，从而可得，再由菱形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 例3．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，在菱形中，，，则菱形面积为______． 【答案】35 【详解】菱形面积为． 例4．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）如图，，分别是菱形的两边，的中点，已知，，则菱形的面积等于_______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质及中位线的性质得出，，利用勾股定理求出，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵，分别是菱形的两边，的中点， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 变式1．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握是解答本题的关键．先求出两个菱形的面积再减去重叠部分． 【详解】解：菱形的面积：， 这个图案的总面积为：， 故选：A． 变式2．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，菱形花坛的边长为，沿着该菱形的对角线修建两条小路和，则菱形花坛的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质是解题关键． 由菱形的性质和得出是等边三角形，进而得出的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半即可得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵菱形花坛的边长为， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∴， ∴花坛的面积为：， 故选：B． 变式3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）在菱形中，，若菱形的边长为8，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作于，求出，再根据菱形面积公式计算面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 四边形是菱形，边长为， ， ， ∴， ∴， ， ． 变式4．（2026·海南·模拟预测）如图，菱形 边长为，，将菱形 沿方向平移得到菱形， 交于点，则重叠部分的面积与菱形 的面积之比为________． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出和的长，然后即可计算出重叠部分的面积，再计算出菱形 的面积即可得出结论． 【详解】解：连接， ，和 交于点O，连接交于点O，交于点F，如图所示， ， ∵菱形 的边长为，， ∴，， ， ∴ 是等边三角形， ， ∴， ∴， ∴菱形 的面积， ∵ ， ∴， 由平移的性质得：，，， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ， ∴重叠部分的面积为：， ∴重叠部分的面积与菱形 的面积之比为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $