菱形的性质、添加一个条件使四边形为菱形、菱形的判定与性质综合专项训练-2025-2026学年北师大版九年级数学上册

菱形的性质、添加一个条件使四边形为菱形、菱形的判定与性质综合专项训练 菱形的性质、添加一个条件使四边形为菱形、菱形的判定与性质综合专项训练 考点目录 菱形的性质 添加一个条件使四边形为菱形 菱形的判定与性质综合 考点一 菱形的性质 例1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形为菱形， ，且为的中点， 为的中点， 为△的中位线， ， 故选：． 例2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】C 【详解】解：∵M，N分别是边，的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵点M是的中点，， ∴， 故选：C． 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 【答案】C 【详解】解：A、菱形的四个内角不一定相等，故该选项不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，故该选项不符合题意； C、菱形的四条边都相等，故该选项符合题意； D、菱形的周长和面积一定相等是不正确的，故该选项不符合题意； 故选：C 例4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 【答案】 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 例5．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小时最小， 根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值即为， 在菱形中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为9， ∴的最小值为， 故答案为：． 例6．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵，点恰好为边的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴（等底等高）， 故答案为：3． 变式1．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 故选：C． 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点C作轴，如图所示： 设菱形的边长为， 则， ∵点C的坐标为， ∴， ∵轴， ∴在中，则， ∴， 解得， ∴， 即点B的坐标为， 故选：A． 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 变式4．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵是中点， ∴，， ∴根据勾股定理，得． 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为 ． 【答案】65 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． 变式6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在菱形中，，，对角线交于点O，点E是上一个动点，点F为菱形内部一点，连接，若，，则的最小值为 ．（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：取中点G，连接、、，则， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； 在和中， ∴， ∴； ∴，当C、E、G共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 在等边中，G为的中点， ∴，， ∴， 故的最小值为． 故答案为：． 考点二 添加一个条件使四边形为菱形 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 故A不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故B不符合题意； 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， 故C不符合题意； 无法证明四边形是菱形， 故D符合题意； 故选：D． 例2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合． 故选：D． 例3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：在中，对角线相交于点，则， ， ， 在四边形中，，则四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， 平分， 即， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 当时，是菱形， ， ，，， ， 则，即四边形是菱形； 此外，还有对角线垂直也可以判定四边形是菱形； 综上所述，选取其中一个即可， 故答案为：（答案不唯一）． 例4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，及四个条件：①；②；③；④．从四个条件中任选一个，可判定一定是菱形的概率为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴添加或， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 添加：， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵四边形是平行四边形， ∴添加， ∴四边形是矩形， ∴从四个条件中任选一个，可判定一定是菱形的概率为． 故答案为： 变式1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 变式2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ A、当时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； B、当平分时，， ∵， ∴， ∴， ∴，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 、当，时，不能证明是菱形，故本选项符合题意； D、当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形，故本选项不符合题意； 故选：C． 变式3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加，则是菱形； 故答案为：（答案不唯一）． 变式4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 考点三 菱形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：点E是的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形为菱形； （2）解：， 根据（1）可得， ， ，， ， ， ， 例2．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，，平分，交于点C，平分，分别交，于点O，D，连接，过点C作于点E． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的长为 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴，结合， ∴， ∴． （2）解：∵平分，， 由（1）中同理可证，结合， ∴，又∵， ∴四边形为平行四边形，又∵， ∴四边形为菱形． （3）解：∵四边形为菱形， ∴、互相平分且垂直， ∵，， 由勾股定理可得， ∴， 又∵，即， 解得， 故的长为． 例3．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，，点分别是和上的点，连接交于点，此时．若，，，于，解决下列问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 为直角三角形，， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， 即， ． 变式1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，， ，分别是和的中点， ，. ，， 四边形为平行四边形. ， ， 四边形为菱形； （2）如图，过点作于点， 由（）知四边形为菱形， ∵，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 变式2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，分别是，的中点，连接，，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，分别是，的中点，，， ，， ，， 四边形是平行四边形，又， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于点． 四边形是菱形，，， ，，， ，， ． 答：菱形的面积为． 变式3．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为16，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，分别是，的中点， ，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接交于点，如图所示： 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， 即菱形的周长为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $菱形的性质、添加一个条件使四边形为菱形、菱形的判定与性质综合专项训练 菱形的性质、添加一个条件使四边形为菱形、菱形的判定与性质综合专项训练 考点目录 菱形的性质 添加一个条件使四边形为菱形 菱形的判定与性质综合 考点一 菱形的性质 例1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，菱形的周长为，对角线，相交于点，是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，若，，则的长为（　　） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 例3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）下列关于菱形的说法正确的是（ ） A．菱形的四个内角一定相等 B．菱形的对角线一定相等 C．菱形的四条边都相等 D．菱形的周长和面积一定相等 例4．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕 ． 例5．（25-26九年级上·浙江金华·月考）已知菱形中，，，边，上有点E、点F两动点，始终保持，连接，，取中点G，连接，则的最小值是 ． 例6．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为 ． 变式1．（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在菱形中，，点A的坐标为，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点，顶点B在x轴正半轴上，已知点C的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图，在菱形中，，点E在边上，连接，将沿折叠，若点B落在延长线上的点F处，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 变式4．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，，分别为，的中点，连接，则的长为 ． 变式5．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数为 ． 变式6．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在菱形中，，，对角线交于点O，点E是上一个动点，点F为菱形内部一点，连接，若，，则的最小值为 ．（结果保留根号） 考点二 添加一个条件使四边形为菱形 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，下列条件不能使其成为菱形的是（　　） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是菱形，这个条件可以是 ．（填一个正确条件即可） 例4．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，及四个条件：①；②；③；④．从四个条件中任选一个，可判定一定是菱形的概率为 ． 变式1．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）如图，添加下列条件不能判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B．平分 C．， D． 变式3．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，对角线相交于点，添加一个条件判定是菱形，所添加的条件为 （写出一个即可） 变式4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件 ，使四边形是菱形． 考点三 菱形的判定与性质综合 例1．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 例2．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，，平分，交于点C，平分，分别交，于点O，D，连接，过点C作于点E． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，求的长． 例3．（25-26九年级上·辽宁丹东·月考）如图，，点分别是和上的点，连接交于点，此时．若，，，于，解决下列问题： (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 变式1．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，，分别是和的中点，连接，，，，交于点，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)在的延长线上取一点，使，连接．若，，求的长． 变式2．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，，分别是，的中点，连接，，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 变式3．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，中，点，分别是，的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的面积为16，求四边形的周长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $