2025-2026学年度黑龙江省大庆市高中数学高一下学期期末考试模拟卷

**基本信息** 2025-2026高中数学期末模拟卷以必修第二册为范围，通过马拉松志愿者统计、校园足球比赛等真实情境，分层设计向量运算、立体几何、概率统计等问题，考查数学抽象、运算推理及数据应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|8题|向量运算、解三角形、斜二测画法|基础概念与基本运算，如平行四边形对角线计算| |多选|3题|空间线面关系、概率事件独立性|综合理解与逻辑判断，如线面垂直判定| |填空|3题|分层抽样、余弦定理、条件概率|简洁应用，如电子产品抽样计算| |解答|5题|频率分布直方图（马拉松情境）、立体几何体积表面积、三角函数图像变换|多问综合，如直三棱柱截去锥体后的表面积与外接球计算，融合空间观念与运算能力|

2025-2026学年度高中数学期末考试模拟卷 数学试卷 考试范围：必修第二册；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知平行四边形中，．则对角线的长为（   ） A． B． C． D．3 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，向量，，，若，则的值为（   ） A． B．1 C．0 D．0或 5．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A． B． C． D． 6．在中，若，，，则的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知点是边长为的等边边上一动点，为的重心，则的范围是（    ） A． B． C． D． 8．设球的半径为1，，，是球面上三点，已知到，两点的球面距离都是，且平面平面，则从点沿球面经，两点再回到点的最短距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，，则 10．已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 11．某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 三、填空题 12．某企业三个分厂生产同一种电子产品共200件，用分层抽样方法从三个分厂共抽取10件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂2件，来自第三分厂3件，则第一分厂生产的电子产品件数为________． 13．在中，已知，，，则 ______． 14．有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球，3个红球；乙袋中有2个白球，4个红球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过2，从甲袋中摸出1个球；如果点数超过2，从乙袋中摸出1个球，则摸出的是红球的概率为________． 四、解答题 15．2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值; (2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 16．如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，，，边上的中点为．    (1)求四棱锥的体积； (2)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (3)求三棱锥外接球的表面积． 17．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 18．已知函数（，）为奇函数，且的周期为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：．试确定的值，并求的值． 19．如图，在四棱锥中，，，，，为中点．    (1)证明：平面； (2)若平面，过点作出平行于平面的截面（写出作法，不要求证明），并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积； (3)若，求二面角的余弦的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度高中数学期末考试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B A B A B BC CD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】因为，所以， 所以． 2．A 【详解】设，由，得 所以,解得 所以点坐标为. 所以 . 3．B 【分析】设，整理可得，运算求解即可. 【详解】设， 因为，则，且， 可得， 则，解得. 且，则，所以. 4．B 【分析】由条件，结合向量垂直的坐标表示列方程求结论. 【详解】因为，，所以， 由可得 ，又， 所以， 化简可得，故， 解得或， 由题设，因此不符合要求，舍去，故. 5．A 【分析】先作出梯形的还原图，再计算对角线的长度. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， . 6．B 【分析】先根据正弦定理求出的值，再结合三角形大边对大角的性质，判断出正确选项. 【详解】在中，由正弦定理得，， 所以， 由于，所以，又，所以. 7．A 【详解】设与的夹角为， 在边长为的等边中， 连接并延长交于点，则垂直平分， 所以， 又因为点为的重心，则， 所以， 为在上的投影， 其最小值为，最大值为. 所以， 所以． 8．B 【分析】设所在小圆面与垂直，延长与这个小圆面相交，交点为小圆圆心，由已知可得，然后计算出弦长，得球心角，可得间的球面距离，从而得出结论． 【详解】如图，设所在小圆面与垂直，延长与这个小圆面相交，交点为小圆圆心，连接， ∵到，两点的球面距离都是，球半径为1，∴，∴， 因为平面，平面，平面，∴，所以为二面角的平面角， 而平面平面，∴，又，∴， ∴，∴间的球面距离为， ∴所求最短距离是． 故选：B． 【点睛】本题考查球面距离，求球面距离关键是求出这两点间的球心角，而要求这个球心角，一般要在小圆上求出两点间弦长． 9．BC 【分析】根据空间中线线、线面、面面间的位置关系求解即可. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或，又，则，B正确； 对于C：如图， 过直线m作平面，交平面于直线a，因为，所以； 过直线m作平面，交平面于直线b，因为，所以； 所以，且，，所以． ，，所以．又，所以．故C正确； 对于D，若，则与可以相交，D错误． 10．CD 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 11．ABD 【分析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，结合独立事件的概率公式判断A；选项B举例说明；选项C分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解；选项D分析事件包含的情况，根据互斥事件和独立事件概率公式求解. 【详解】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 12． 100 【详解】设第一分厂生产的电子产品件数为件，则有，故， 即第一分厂生产的电子产品件数为件. 13．1或2 【分析】利用余弦定理建立关于边的一元二次方程求解即可. 【详解】在中，由题意得，，， 根据余弦定理： ， 将已知条件代入得： ， 化简得： ， 因式分解得 ，解得 或， 经检验，两个解均满足三角形三边关系，故 或 . 14． 【分析】结合古典概型概率计算、相互独立事件概率计算，求得摸到红球的概率. 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，点数不超过2的概率为，从甲箱子摸到红球的概率为， 掷到点数超过2的概率为，从乙箱子摸到红球的概率为， 故摸出红球的概率P＝＝． 15．(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由图得， 解之可得； （2）根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. （3）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 16．(1)4 (2) (3) 【分析】（1）根据结合柱体及锥体的体积公式计算求解； （2）计算边长结合几何体特征计算各个面得出表面积； （3）取分别为等边，的外心，连接，，设三棱锥外接球的球心为，则在线段上，进而结合勾股定理建立方程求出外接球的半径，再根据球的表面积公式求解即可. 【详解】（1）因为底面是等边三角形，边长为2，所以， 因为三棱柱是直棱柱，所以平面， 四棱锥的体积 ． （2）由题意得， 从而，所以， 所以，， ，， ， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为 . （3）取分别为等边，的外心，连接， 则垂直于三棱柱的上下底面，且， 设三棱锥外接球的球心为，则在线段上，连接， 在等边中，易得， 则，即， 设三棱锥外接球的半径为，， 由，得， 即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为.    17．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据抽到八年级女生的概率列式求解即可. （2）先求出九年级人数，然后根据分层抽样定义求出所抽取人数即可. （3）结合列举法，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）九年级人数为， 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为（名）． （3）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数，男生数记为， 由（2）知，，． 满足题意的所有样本点是 ，共11个， 其中事件包含的样本点是共5个， ． 18．(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦函数的周期、奇偶性求得参数的值，从而得到函数的解析式； （2）利用三角函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域； （3）根据方程并结合正弦函数图象得到方程根的个数，再结合三角函数图象的对称性分组求和即可． 【详解】（1）因为函数周期，且，所以，解得， 又由函数为奇函数，可得，所以， 又，所以，所以函数. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当，即时，函数取得最小值，最小值为， 当，即时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，作出正弦函数的图象如图所示，    由图可知方程在区间上有3个根，所以， 其中，， 即，， 解得：，， 所以． 19．(1)由 是 中点，，得 ； 因为，所以 ， 因为，故 ， 所以四边形是平行四边形，所以； 平面 ， 平面 ，所以平面 ； (2) (3). 【分析】（1）先证明线线平行，即，再由线面平行判定定理证明； （2）利用面面平行作出截面，通过总体积减去小三棱锥的体积求解； （3）先找出二面角的平面角（三垂线定理），再由平面与平面垂直时找到二面角的余弦的最小值. 【详解】（1）略； （2）取的中点，连接， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 所以平面，且平面 ，，平面， 所以平面平面 ，即平面 即为过点 且平行于平面 的截面，    在 中，， 故，，， 由 平面 ， 平面 ， 又 ， 平面 ， 得 平面 ，即四棱锥高 ， 梯形 面积 四棱锥总体积 面积： 是 中点，； 三棱锥 的高 （ 为 中点，） 两平面间几何体体积：； （3）过点 作 平面 ，垂足为 ； 在平面 内，过垂足 作 ，交棱 于点 ； 连接 ，由三垂线定理：垂线 平面 ，射影 斜线 ； 所以 就是二面角 的平面角，记为 ， ， 为直角三角形，所以 当平面与平面垂直时，即当与重合时，二面角的平面角的余弦取得最小值， 在 中，， 所以，此时； 此时最小值.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $