精品解析：黑龙江省大庆市林甸县第一中学等三校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试题

2024-2025学年度下学期期末三校联考 高一数学试题 注意事项 1.考试时间120分钟，满分150分. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 9 B. 10.5 C. 10 D. 9.5 【答案】D 【解析】 【分析】由中位数、众数、极差和百分位数的定义求解即可. 【详解】将5人投中的次数从小到大排列，因为中位数是10，即第三个数是10， 众数是11，所以第四、第五位数是11. 极差是3，所以第一个数是8，且众数唯一，所以第二个数是9. 所以这五个数依次是8，9，10，11，11， 则该组数据的第40百分位数是. 故选：D. 2. 复数满足：，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算求出复数，再写出它的共轭复数进行加法运算找到实部虚部再计数模即可. 【详解】， ，，. 故选：C. 3. 若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，方差，代入计算可得平均数，方差的值，开方求出标准差，可得答案. 【详解】因为数据、、…、的平均数是4，方差是4， 即，， 数据、、…、的平均数 ， 数据、、…、的方差 ， 所以标准差是. 故选：D. 4. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直角三角形的边角关系，求得AE和CE的长，再利用余弦定理求得AC的长． 【详解】，， ，，， ，； 中，由余弦定理得 ， ； 即两山顶A，C之间的距离为． 故选：A． 5. 已知a，b是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断. 【详解】A：若，，则或a，故A错误； B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确； C：若，，则或α与β相交，故C错误； D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误. 故选：B. 6. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状. 【详解】由题意得， 即，由正弦定理得， 即，则，因为，所以， 又， 所以, 故，因为，所以． 综上可知三角形为等边三角形． 故选：C. 7. 在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，可得， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ） A. 外心、重心 B. 内心、垂心 C. 外心、垂心 D. 内心、重心 【答案】C 【解析】 【分析】 将三棱锥、三棱锥分离出来单独分析，根据线段长度以及线线关系证明的射影点分别是和的哪一种心. 【详解】三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接， 因为，又平面， 所以， 所以，所以为的外心； 三棱锥如下图所示：记在面上的射影点为，连接， 因为，且四边形是菱形，所以，所以， 又因为平面，所以， 所以平面，又因为平面，所以， 同理可知：，所以为的垂心， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过的射影点去证明线段长度的关系、线段位置的关系，借助线面垂直的定义和判定定理去分析解答问题. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果互斥，那么 D. 如果互斥，那么 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可. 【详解】对于AB，由可得, 所以,故AB正确； 对于CD，由互斥可得， 所以,故C正确，D错误. 故选：ABC. 10. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是关于的方程的一个根 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积. 【详解】选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数， 如，满足，但，故A错； 选项B：设（），则. 若，则必为正实数，需满足：， 若，由，此时，矛盾. 故，即，故B对； 选项C：把代入方程， 则 即等式成立，故是方程的根，故C对. 选项D：复数满足， 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）. 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对. 故选：BCD. 11. 如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明，判断B，由题可得平面，结合锥体体积公式证明三棱锥的体积不变，判断C，证明平面，设与平面交于点，根据锥体体积公式求，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D. 【详解】对于A，当时，BP最小，由于， 所以为边长为的等边三角形， 到直线的距离，故A错误； 对于B，由已知四边形为正方形，所以， 由正方体性质可得平面，又平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面，所以，故B正确； 对于C，由正方体的性质可得，平面，平面， 平面，到平面的距离为定值，    又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故C正确； 对于D，因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以，又，， 所以平面，设与平面交于点， 则三棱锥的体积， 又， ，，， ，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为， ，， 在以为圆心，为半径的圆上，    由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ， 故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内， 交线长为，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出所有可能的抽取情况，再求出满足题意的情况，最后根据古典概型的概率公式计算概率. 【详解】第一次抽取时，有3种可能的结果；因为是放回式抽取，所以第二次抽取时也有3种可能的结果. 所以共有9种情况. 满足第二次抽得的数字能被第一次抽得的数字整除的情况有5种： 第一次：1，第二次：1； 第一次：2，第二次：2； 第一次：3，第二次：3； 第一次：1，第二次：2； 第一次：1，第二次：3. 根据古典概型的概率计算满足题意的概率为： . 故答案为：. 13. 已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为，则该圆台外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由圆台的体积公式求出圆台的高，再利用球的截面圆性质求出圆台外接球的半径，最后利用球的体积公式即可得解． 【详解】设圆台的高为，圆台外接球的半径为， 由题知，， 解得．易知圆台的外接球球心在圆台的上、下底面圆心所在的直线上， 若球心位于圆台内部，则，得； 若球心位于圆台外部，则，无解． 该圆台外接球的体积为． 故答案为： 【点睛】求解与几何体的外接球有关的问题的难点在于确定球心的位置和球半径，求解时经常会用到球心与截面圆圆心的连线垂直于该截面圆，球心与球面上任意一点连线的线段都是球半径等性质． 14. 如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 正六边形的内切圆半径为， 外接圆的半径为. ， 因为，即，所以，可得． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. （1）求第一轮比赛未分出胜负的概率； （2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析第一轮比赛未分出胜负的两种情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. （2）明确甲在第3轮比赛时获胜的情况，利用独立事件和互斥事件的概率公式，可求解. 【小问1详解】 记事件“甲第i轮投中”，“乙第i轮投中”， 第一轮比赛未分出胜负是甲乙同时命中或都未命中，且与相互独立， 则第一轮比赛未分出胜负的概率. 【小问2详解】 甲在第3轮比赛时获胜，则前两轮都是平局，第3轮投球甲命中， 表示为， 则甲在第3轮比赛时获胜的概率为 . 16. 已知直三棱柱面为的中点. （1）证明：平面； （2）若直三棱柱的体积为1，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接与交于点，则为中点，为中位线， ，又面面 平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线得线线平行，即可由线面平行的判定定理求解， （2）根据线面垂直可由线面角的几何法求解其平面角，即可由三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面是在平面上射影 是直线与平面所成的角， 又， 在中，. 直线与平面所成角的正弦值为 17. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1，列出方程，求得，再由平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，结合百分位数的计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到成绩在的学生有2人，在的学生有4人，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， 可得，解得， 竞赛的平均成绩：. 【小问2详解】 解：由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，设为， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. 【小问3详解】 由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ,， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 18. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求五面体的体积． 【答案】（1） 由正方形，得，又平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2） 取的中点，连接，由为的中点，，得， 而，则，又，则，又， 平面，于是平面，而平面，则， 又，为的中点，即四边形是梯形，是平面内两条相交直线， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）取的中点，利用线面垂直的判定、性质证得平面，再利用面面垂直的判定推理即得. （3）利用锥体、柱体的体积公式分别求出四棱锥和三棱柱的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过作，交分别于，由为的中点，为的中点， 得，又， 由（2）知平面，则四棱锥的体积， 又，则四边形都是平行四边形， 于是，而平面，平面，则平面， 同理平面，又平面，因此平面面， 从而五面体为三棱柱，在三棱柱中，， 由平面，平面，得，而， 平面，则平面， 三棱柱的体积， 所以五面体的体积. 【点睛】思路点睛：求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解． 19. 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 【答案】（1）1； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及和角的余弦公式化简，再求出函数的“相关向量”，进而求出模. （2）①利用定义求出，再利用余弦定理及基本不等式求出最大值；②利用数量积的定义及运算律列式，由（1）求出范围，换元借助二次函数求出范围. 【小问1详解】 函数， 因此函数的“相关向量”为，， 所以所求模长为1. 【小问2详解】 ①由函数的“相关向量”为，得， 由，得，在中，由余弦定理得， 则， ，当且仅当时取等号，， 所以周长的最大值为 ②由①知， ，而， 即，当且仅当时取等号，于是， 令，则 所以的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末三校联考 高一数学试题 注意事项 1.考试时间120分钟，满分150分. 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并准确填涂. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4.按照题号在各答题区域内作答，超出答题区域书写答案无效. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 有5人进行定点投篮游戏，每人投篮12次.这5人投中的次数形成一组数据，中位数为10，唯一众数为11，极差为3，则该组数据的第40百分位数是（ ） A. 9 B. 10.5 C. 10 D. 9.5 2. 复数满足：，则（ ） A. B. 6 C. D. 3. 若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，，则两山顶A，C之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 在中，已知，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 平行六面体的六个面都是菱形，那么点在面上的射影一定是的________心，点在面上的射影一定是的________心（ ） A. 外心、重心 B. 内心、垂心 C. 外心、垂心 D. 内心、重心 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知，，则下列说法中正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果互斥，那么 D. 如果互斥，那么 10. 下列有关复数的结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 是关于的方程的一个根 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11. 如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 从编号的三张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为__________. 13. 已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为，则该圆台外接球的体积为______． 14. 如图，已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 甲乙两人进行投篮比赛，规定：每人每轮投球一次，若同时命中或同时未命中，则进行下一轮投球，若只有一人命中时，则命中者获得比赛的胜利，同时比赛结束.已知甲的命中率为，乙的命中率为，且各次投篮互不影响. （1）求第一轮比赛未分出胜负的概率； （2）求甲在第3轮比赛时获胜的概率. 16. 已知直三棱柱面为的中点. （1）证明：平面； （2）若直三棱柱的体积为1，且，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； （2）按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ （3）在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 18. 如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）求五面体的体积． 19. 定义向量的“相关函数”为；函数的“相关向量”为. （1）求函数的“相关向量”的模长； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“相关向量”为，且已知. ①求周长的最大值； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $